人教版八年级下册数学17.1勾股定理同步练习(解析版)

1、17.1 勾股定理同步练习一.选择题（共10小题）1 .如图，在 ABC中，AB=AC=5 , BC=8, D是线段BC上的动点（不含端点B、C）.若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）S BCA. 5个B. 4个 C. 3个 D. 2个选CB 口 EC2 .如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3 , BC=4, CD=5,则AD的长为（）BA. 3>/2B. 4C. 23D. 4/2解：在 RtAAOB 中，AO2=AB2BO2;RtzXDOC 中可得：DO2=DC2-CO2; .可得 AD 2=AO2+DO2=AB2 - BO2+DC2 - CO2=18, 即

2、可得AD= T7=3;故选A.3.如图，在4X 4方格中作以AB为一边的RtAABC,要求点C也在格点上,这样的RtAABC能作出（A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有:C、D, E, H 四个;当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是F点;G.因而共有6个满足条件的顶点.故选D.4.如图1是我国古代著名的 赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为 x,则形围成的.若AC=6, BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延解：依题意，设 x2=1

3、22+52=169所以x=13所以数学风车”的周长是：（13+6）X4=76.故选：D.5.勾股定理被誉为 几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.如 图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股 定理.图2是由图1放入长方形内得到的，/ BAC=90 , AB=3, AC=4,点D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（A. 90 B, 100C, 110D. 121解：延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,如图所示: 则四边形OALP是矩形. / CBF=90 , ./ABC + /OBF=90 ,又. RtABC

4、中，/ABC+/ ACB=90 , ./ OBF=/ACB ,在AOBF和4ACB中， rZBAC=ZB0F，ACB=/OBF,bBC=BF.-.OBFAACB (AAS), .AC=OB ,同理：ACBzXPGC,PC=AB , . OA=AP ,矩形AOLP是正方形，边长 AO=AB +AC=3+4=7, .KL=3+7=10, LM=4 +7=11,长方形KLMJ的面积为10X 11=110.故选：C.HP0(图1 )(军2 )16.已知 ABCE中，/A=/B=/C,则它的三条边之比为（A. 1: 1:5解：Z A= Z B=2C, / A+/ B+/ C=180 ,B. 1:返：2

5、C. 1:限时 D. 1: 4: 1/ A=30° , / B=60° , / C=90 , -c=2a, b= .:a,.三条边的比是1: '巧：2.7 .利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦）公式.图.观察图形，可以验证（A. (a+b) (a- b) =a2-b2B. (a+b) 2=a2 - 2ab+b2C. c2=a2+b2D. (a- b) 2=a2-2ab+b2解：二.大正方形的面积表示为:c22_ C =4+ (b - a) 2,又可以表示为:4+ (b - a) 2c2=2ab+b2- 2ab+a2, c2=a2+b2.

6、8 .已知，如图长方形 ABCD中，AB=3cm, AD=9cm ,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则4ABE的面积为（A . 3cm2B . 4cm2C. 6cm2D.12cm2解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，BE=ED.V AD=9cm=AE +DE=AE +BE . .BE=9-AE,根据勾股定理可知 ab2+ae2=be2.解得AE=4.ABE的面积为3 X 4 + 2=6.故选C.9.已知x、y为正数，且|x2-4|+ （y2-3） 2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A. 5B. 25C. 7D.

7、 15解：依题意得：x2-4=0, y2-3=0,x=2, y=限、斜边长=.，；= ' 所以正方形的面积=（巾）2=7.故选C.10. 一直角三角形两边分别为3和5,则第三边为（）A. 4B. V34 C. 4 或标D. 2解：当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是 4;当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是 7sW=4-故选C.二.填空题（共5小题）11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E, / DAB= / CDB=90 , /ABD=45 , D DCA=3 0 , AB=踞，则AE= 2 （提示：可过点 A作BD的垂 线）C解：过A作AFXBD,交BD

8、于点F,. AD=AB , /DAB=90 ,.AF为BD边上的中线，,AF=BD,.AB=AD= .i.,根据勾股定理得：BD=V6+6=2区 .AF= h/3,在 RtzXAFE 中，/EAF=/DCA=30 ,ef4ae,设 EF=x, WJ有 AE=2x,根据勾股定理得：x2+3=4x2,解得：x=1 ,贝U AE=2.故答案为：212.如图，RtAABC的周长为（5+3“）cir,以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN .若这两个正方形的面积之和为 25 cm2,则4ABC的面积是 5cm2.BC解：如图，a2=c2+b2=25,则 a=5.又 RtAABC的周长为(5

9、+3赤)阻a+b+c=5+3 V S, b+c=3次(cm). .ABC 的面积=Sc=g (c+b) 2 (c2+b2) +2卷(3)2 25 +2=5 (cm2).故答案是：5.B & C13.如图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则第5个三角形的面积为与一第n个三角形的面积为JrAA解：根据勾股定理:第一个三角形中:第二个三角形中:OA22=OA12+1=1+1+1,S2=OA1X1+2=X1+2=1;第三个三角形中:OA32=OA22+1=1+1+1+1,S3=OA2X1+2=VX 1 + 2=J3 2OAi2=1+1, Si=1X1+2号;第5个三角形的面积=1目 r2n 第

10、n个三角形的面积Sn=E 2故答案为:14.如图，在 RtAABC 中，/ACB=90 , AC=3, BC=4,点 D 在 AB 上，AD=AC ,AFXCD交CD于点E,交CB于点F,则CF的长是 1.5DC解：连接DF,如图所示:.在 RtAABC 中，/ ACB=90 , AC=3, BC=4,.AD=AC=3 ,AFXCD, .CE=DE, BD=ABAD=2, .CF=DF,在4ADF和4ACF中,AD=ACDF=CFAF=AF.ADFAACF (SSS), ./ADF=/ACF=90 ,丁. / BDF=90 ,设 CF=DF=x, WJ BF=4-x,在RtBDF中，由勾股定理

11、得：DF2+BD2=BF2, 即 x2+22= (4 - x) 2,解得：x=1.5; .CF=1.5;故答案为：1.5.15 .把两个全等的直角三角形拼成如图图形，那么图中三角形面积之和与梯形面积之间的关系用式子可表示为 二（a+b） （a+b）=Labx 2+c2 ,整理后即为一22_2_a2+b2=c2 .解：梯形面积：(a+b) (a+b) =-1-abx2+1-c2, LilIi整理得：(a+b) 2=2ab+c2,a2+2ab+b2=2ab+c2,a2+b2=c2,故答案为:(a+b) (a+b) =Hat>x24c?；a2+b2=c2.解答题（共5小题）16 .在4ABC

12、中，AB=15, BC=14, AC=13,求 ABC 的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.ADIBC 于 D, 设BD = h,用含：r 的代数式表示CO根据勾度定理，利用 作为“桥梁二建 JL方程模型求出工利用旬限定理求 出AD的长，再 计算三甫形而和A解：如图，在 ABC中,AB=15, BC=14, AC=13,设 BD=x, WJ CD=14-x,由勾股定理得：AD2=AB2- BD2=152-x2, AD2=AC2CD2=132- (14 x) 2,故 152- x2=132- ( 14-x) 2,解之得：x=9. .AD=12

13、 .S"bc=±BC?AD=_x 14X 12=84.2217 .学完了勾股定理后，张老师给同学们布置了这样一道题：有两个形状、大小完全相同的香烟盒按照图1放置，从正前方看图1得到的图形如图2所示，你能运用这个图形证明勾股定理吗？赶紧试一试吧，相信你一定能行！（提示：连接AC、CF、AF)证明：连接AC、CF、AF.A D由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=L (a+c) (a+c).2|从上图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，即-Lac+lacJ-b2.222两者列成等式化简即可得：s2+c2=b2.18 .在四边形 ABCD 中，AB=AD=8 , /

14、A=60° , / D=150° ,四边形周长为 32,求BC和CD的长度.解：如图，连接 BD,由AB=AD , /A=60° .则 ABD是等边三角形.即 BD=8, /1=60°.又 / 1 + 7 2=150° ,则 / 2=90°.设 BC=x, CD=16-x,由勾股定理得：x2=82+ (16-x) 2,解得 x=10, 16 x=6所以 BC=10, CD=6.19 .如图，在四边形 ABCD中，AD / BC, AB ± BC,对角线AC LCD,点E在边 BC 上，且/ AEB=45 , CD=10.(1

15、)求AB的长；(2)求EC的长.解：(1)在 RtAACD 中，. / D=60 , CD=10, .AC=10<3, / DAC=30 , 又: AD / BC, / ACB= / DAC=30 , 在 RtAACB 中，AB= -AC=(2)在 RtAABE 中，/ AEB=45 , BE=AB=卜通由(1)可知，BC= :AB= :-=15, .EC=BC - BE=" - 5五20.如图，点C在线段BD上，ACXBD, CA=CD ,点E在线段CA上，且满 足DE=AB ,连接DE并延长交AB于点F.(1)求证：DELAB;(2)若已知BC=a, AC=b, AB=c,设EF=x,则AABD的面积用代数式可表示(1)证明：在 Rl&ABC 和 R+4DCE 中，irCA=CDDE二