第三章刚性板

1、1 (3) 板单位宽度断面上的力和力矩为板的弯曲刚度2222222221 xyxywwMDxywwMDyxwMDx y 3212(1)EtD式中2用矩阵表达为222222322322222222101012(1)12(1)1002(1)2xyxywwwxyxMEtwwEtwMyxyMwwx yx y MD应变矢量薄板弯曲问题中的 “弹性矩阵”3(4) 静力平衡条件，板的弯曲微分方程式4对于oy轴的合力矩为零，得方程式dddddy ddddd dddd22d( , )d d02xyxxxxyxyyxxyyMMMyMxyMxMxxyNNxxNxx yNxNyxxyxq x yx yxyxxMMNx

2、y略去三阶微量同除以dxdy5同理列出所有力对于ox轴合力矩为零的方程式，得所有的力在oz轴上的投影之和等于零，得yxyyMMNyx( , )yxNNq x yxy 由三个平衡方程式可得222222( , )xyyxMMMq x yx yxy 6由前推导知由前推导知代入代入2222222221 xyxywwMDxywwMDyxwMDx y 44442242( , )wwwDq x yxxyy222222( , )xyyxMMMq x yx yxy 刚性板一般弯曲的平衡微分方程式四阶常系数线性偏微分方程7可简写为可简写为此处求得板的挠曲函数w(x,y)，可得板弯曲时的应力为22( , )Dwq

3、x y 444224224( )( )( )( )2xxyy 312xxyyxyxyMzMtM可以看出，板弯曲和梁弯曲的求解非常类似83 3.4.2 .4.2 边界条件边界条件 四阶线性偏微分方程，求解时将有八个任意常数 讨论几种最常见的支持周界的边界条件 必须具有八个边界条件(每边两个条件)(1) 板自由支持在刚性周界上22220, 0, 00, 0, 0处：处：wxxawxwyybwy22220, xwwwMDxy9(2) 板刚性固定在刚性周界上0, 0, 00, 0, 0wxxawxwyybwy处：处：(3) 若板 y = b 边为自由边应满足：弯矩Mx = 0 剪力Ny = 0 扭矩M

4、xy = 0222233320 20wwyxwwyxyddxyyMxNxx=0 xyyMNx103.5 刚性板弯曲的解3.5.1 应用双三角级数解四边自由支持板的弯曲将w(x,y)写成级数形式11( , )sinsinmnmnn ym xw x yAab22( , )Dwq x y 未知的待定常数22211sinsin( , )mnmnn ymnm xDAq x yabab11将q(x,y)展成相对应的级数形式(傅里叶级数)11( , )sinsinmnmnn ym xq x yqab式中004( , )sinsind d abmnn ym xqq x yx yabab222mnmnqAmnD

5、ab22211sinsin( , )mnmnn ymnm xDAq x yabab12板的挠曲线方程式(1) 板上受均布载荷q0时0004sinsind d abmnn ym xqqx yabab024(coscoscoscos1)mnqqmnmnmn22211( , )sinsinmnmnqn ym xw x yabmnDab02222sinsin16( , )mnn ym xqabw x yDmnmnab级数的分母是m、n的五次式弯矩时级数的分母是三次式13(2) 板上受集中力板上受集中力 P 时在集中力的作用处，取边长为 dd 的矩形微块，并且认为在此微块 dd 上作用分布载荷,d dP

6、q 142cos(d )cos4dcos(d )cos dmnmmPaaqmnabnnbbddsinsin4d dd d mnn ym xPabqx yab15当d, d趋于零时，其极限为4sinsinmnn yPm xqabab222sinsin4( , )sinsinmnmnn yPm xabw x yabDabmnxab位移互等定理应用双三角级数对板弯曲问题的解称为“纳维叶解”163.5.2 应用单三角级数解一对边自由支持板的弯曲应用单三角级数解一对边自由支持板的弯曲x = 0及x = a边为自由支持，解取为单三角级数形式( , )( )sinmmm xw x yfya24IV( )2(

7、 )( ) sin( , ) mmmmmmm xfyfyfyaaaq x yD为 y 的任意函数由平衡方程式和y = 0及y = b处的边界条件来决定代入微分方程式17将载荷q(x,y)展成相应的单三角级数02( )( , )sindamm xqyq x yxaa( , )( )sinmmm xq x yqya24IV( )2( )( ) sin1 ( )sinmmmmmmmmm xfyfyfyaaam xqyDa24IV( )( )2( )( )mmmmqymmfyfyfyaaD18单三角级数解题的本质是分离变量法，即将偏微分方程化为常微分方程( )chshch sh( )mmmmmmmmm

8、mfyAyByCyyaaaammDyyFyaa常微分方程的一般解为积分常数，由 y = 0及 y = b处的边界条件来决定特解。由 板上外载荷来决定19例例 x = 0及x = a处自由支持及y = b/2处刚性固定， 板上受均匀分布载荷q0，求板的挠曲面挠曲面对称于ox轴，因而函数fm(y)中的奇函数项的系数应等于零，即Bm = Cm = 0( )chsh( )mmmmmmmfyAyDyyFyaaa20(m = 1,3,5,)24IV04( )2( )( )mmmqmmfyfyfyaam D常微分方程的一般解为= 00042( )( , )sindamqm xqyq x yxaam( )mF

9、y4054( )()mq aFyD m系数 Am 和 Dm 利用 y = b/2 的边界条件确定21板的挠曲面函数为40551,3,5,22shsh412( , )1shchsh2 1sinshch2mmmmmmmmmm yuq am yaw x yuuaDmm yuum xauuua应用单三角级数对板弯曲问题的解称为“Levy解”mbuma当b/a，即um时，上面板的挠曲面函数变为40551,3,5,41( , )sinmq am xw x yaDm22这是用李兹法求解从板中沿 x 方向切出的、两端自由支持的板条梁，得到的挠曲函数用筒形板横弯曲方法的求解结果为434034( , )224q

10、axxxw x yD aaa40551,3,5,41( , )sinmq am xw x yaDm434034240551,3,5,( , )2242shshchsh4122 1sinshshch2mmmmmmmmmq axxxw x yDaaam ym yuuuq am ym xaauuuauuaDm233.5.3 四周刚性固定的板的弯曲四周刚性固定的板的弯曲大多数受均布载荷作用的船体板、由于载荷和结构都对称于板格的支座，因此通常认为板的四边都是刚性固定在刚性支座上求解要比具有一对边或四边自由支持的板困难除了用能量法求解外均布载荷作用下四周刚性固定板相当于用“力法”来求解板的弯曲问题24长边

11、为 a、短边为 b 的四周刚性固定受均布载荷作用的矩形板的挠度与弯矩计算公式板中点挠度413qbwkEt板中点，与短边平行的断面(垂直于x轴的断面)中的弯矩板短边中点的弯矩板长边中点的弯矩板中点，与长边平行的断面(垂直于y轴的断面)中的弯矩212Mk qb223Mk qb214Mk qb225Mk qb25系数k1、k2、k3、k4及k5随板的边长比而变化不论板的边长比为多少，板总是在长边中点的弯矩最大，因此该处应力也最大26当a/b相当大时，k5 = 0.0833，由此得长边中点断面的最大弯曲应力为22max2265000100Mbqtt此式常用来校核船体板在局部强度中的应力当板边比相当大，

12、沿船长方向的板的应力21750100bqt213430100bqt纵骨架式船体板(ab)222500100sqt225000100sqt横骨架式船体板(b=s)27习题习题8.8 P238 (交大版P236习题9.2)442max5355 0.05 800 (1 0.3 )3843842 1020 /12qlwD板条梁两端自由支持，l = 800mm，t = 20mm，q = 0.05N/mm2 ，外加中面拉力0 = 80 MPa作用。在计算板条梁的应力与变形时中面力是否要考虑？求中点A的挠度及上下表面应力解：解：(1) 当板条梁仅受横荷重时的最大挠度= 1.80mm 0.2t = 0.220

13、 = 4mm 因为板弯曲而产生的中面力可不考虑282025212(1)80012 80 0.911.320.5222 1020luEt(2) 对外加中面力 0 = 80 MPa 外加中面力对弯曲要素的影响必须考虑(3) A点上下表面应力2200226660.05 80080()( )800.5884008AAMqlutt上下(本题不存在两种中面力复合的情况)2 45.28034.8N/mm114.829习题习题8.1 P237 (交大版P236习题9.4)( , )( )sinmmm xw x yfya四周自由支持的矩形板，沿 x = c 的线上作用有单位长度为 p 的分布。试作为刚性板，用单三角级数法解之解：设解：设24( , )( )2( )( ) sinIVmmmmmmm xq x yfyfyfyaaaD代入微分方程( , )( )sinmmm xq x yqya展成相应的三角级数02( )( , )sindamm xqyq x yxaa 300002( )limsind()coscos2 lim2()2 limsinsincmcpm xqyxaam cmcpaampmmcpm cmaaaa本题可看成q(x, y) = q0 = pb/b = p/ (0的极限情景)2( , )sinsinmpm cm xq x