2013版平面向量高考数学一轮复习精品习题

1、金太阳新课标资源网 2013版高考数学一轮复习精品学案第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【知识特点】平面向量作为工具性知识，和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系。其中平面向量的共线与垂直，平面向量的运算，平面向量的数量积及其应用，是重点内容，也是高考考查的重点。对于数系的扩充和复数的引入这部分内容，其独立性较强，一般是单独命题，其中复数的概念和复数的运算是重点知识，也是高考考查的重点。【重点关注】1、平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容，需重点关注。2、平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型，此类

2、题可以是选择、填空，也可以为中档的解答题。向量与数列、不等式、圆锥曲线，函数等知识的综合问题。对学生能力的考查有较高的要求。3、本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。【地位和作用】向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。同时，向量又有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。这些体现了数学中化归和

3、数形结合的思想。向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁。在运用向量知识时，充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。通过分析进两年高考中本章相关知识点的考查汇总，可以看出本章在高考命题中呈现出以下特点：1、考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题；2、重点考查向量的共线与垂直，向量的夹角、模与数量积及复数的运算，注重在知识交汇处命题；3、预计在本意在今后的高考中，将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的运算为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主。4.1平面向量【高考新动

4、向】一、平面向量的概念及其线性运算1、考纲点击（1）了解向量的实际背景；（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；（3）理解向量的几何表示；（4）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；（5）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；（6）了解向量线性运算的性质及其几何意义。2、热点提示（1）平面向量的线性运算是考查重点；（2）平面向量基本定理的理解和应用是重点,也是难点;（3）题型以选择题和填空题为主，常与解析几何相联系。二、平面向量的基本定理及坐标表示1、考纲点击（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面

5、向量的加法、减法与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。2、热点提示（1）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点；在高考中常以选择题、填空题的形式出现，难度为中低档；（2）向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角形和解析几何知识结合为常见。三、平面向量的数量积及平面向量应用举例1、考纲点击（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；（5）会用向量方法解决某些简

6、单的平面几何问题；（6）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。2、热点提示（1）平面向量数量积的运算是高考考查的重点，多以选择、填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变；（2）应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直关系是难点；（3）向量的数量积常用来判断三角形的形状，求两直线的夹角或线段的长度等，易与其他知识结合在知识交汇点处命题，是高考的一个热点，应引起重视。【考纲全景透析】一、平面向量的概念及其线性运算1、向量的有关概念及表示方法（1）向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或模）零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作单位向量长度等

7、于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量与任一向量平行或共线共线向量平行向量双叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为（2）向量的表示方法字母表示法，如：等；几何表示法：用一条有向线段表示向量。2、向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：。（2）结合律：减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算（1）（2）当>0时，与的方向相同；当<0时, 与的方向相反；当=0时, =注：式子的几何意义为：平行四边形两条对角线的平方和等于它们四条边的平方和。3、向量与向量共线

8、的充要条件为存在唯一一个实数，使注：用向量法证明三点A、B、C共线时，首先求出，然后证明，即共线即可。方法提示：数学中研究的向量是自由向量：两个向量只要它们的模相等、方向相同，它们就是相等向量，而与它们的起点在哪里没有关系。这就为我们应用向量带来方便，可以任意选取有向线段的起点，可以把向量自由平移。向量的线性运算规律：向量的加减法都可以推广到若干个向量间进行。加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”，用字母表示的向量进行线性运算时可以类比多项式加法和数乘多项式进行。二、平面向量的基本定理及坐标表示1、两个向量的夹角（1）定义已知两个非零向量

9、和，作，则AOB=叫做向量与的夹角。（2）范围向量夹角的范围是001800，与同向时，夹角=00；与反向时，夹角=1800。（3）向量垂直如果向量与的夹角是900，则与垂直，记作。注：在ABC中，设，则向量与的夹角为ABC是否正确？（答：不正确。求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量与的夹角为-ABC）。2、平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（2）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。（3）平面向

10、量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一实数x,y,使，把有序数对（x,y）叫做向量的坐标，记作=（x,y）,其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。设，则向量的坐标（x,y）就是终点的坐标，即若=（x,y），则点坐标为（x,y），反之亦成立。（O为坐标原点）方法提示：平面向量基本定理应用时的注意点向量共线的充要条件中要注意，否则可能不存在，也可能有无数个；应用平面向量基本定理时注意待定系数法和方程思想的运用；利用向量共线证明平面几何中点共线或直线平行时注意强调平面中这些元素的位置关系。3、平面向量的坐标运算（1

11、）加法、减法、数乘运算向量+-坐标（x1,y1）(x2,y2)(x1+x2, y1+ y2)(x1-x2, y1-y2)（x1,y1）（2）向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；已知（x1,y1），B(x2,y2)，则=（x2-x1，y2-y1），即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标。（3）平面向量共线的坐标表示设=（x1,y1），=(x2,y2)，其中0，则与共线= x1y2- x2y1=0。注：=（x1,y1），=(x2,y2)，则/的充要条件不能写成，因为x2,y2有可能为0，故应表示成x1y2- x2y1=0。三、平面向量的数量积及其应用举例（一

12、）主要知识：1平面向量数量积的概念； 2平面向量数量积的性质：、；3向量垂直的充要条件：（二）主要方法：1注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2垂直的充要条件的应用；3当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；4距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决 （三）平面向量的应用一个是向量在几何中的应用，一个是向量在物理中应用。【热点难点全析】一、平面向量的概念及其线性运算（一）向量的有关概念相关链接1、着重理解向量以下几个方面：（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：（1）零向量的方向及与

13、其他向量的关系；（2）单位向量的长度及方向。例题解析【例1】下列结论中，不正确的是 （ ）向量，共线与向量/同义；若向量/，则向量与共线；若向量=，则向量=；只要向量，满足|=|，就有=。解答：选。根据平行向量（或共线向量）定义知，B均正确；根据向量相等的概念知C正确，不正确。【例2】给出下列命题：有向线段就是向量，向量就是有向线段；若则BCD为平行四边形；若若。其中正确命题的个数是 （ ）（）0 （B）1 （C）2 （）3思路解析：正确理解向量的有关概念是解决本题的关键。注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反倒即可。解答：选B。错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段。错，因为则可能、

14、B、C、四点在一条直线上。正确。错，若，则对不共线的向量与，也有/，/，但与不平行。（二）向量的线性运算相关链接（1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理；（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。注：若为BC的中点，则。例题解析例1在BC中，。思路解析：解本题要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如在进行计算时要充分利用BC，ADNABM等条件。解答： 由ADEAB

15、C，得，又AM是ABC的中线，DE/BC，且AM与DE交于点N，得。2在OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使。DC与OA交于E，设用表示向量及向量。解答：A是BC的中点，即（三）向量的共线问题例设两个非零向量与不共线，若求证：A、B、三点共线；试确定实数k，使和共线思路解析：（1）由已知求判断和的关系判断、B、D的关系；（2）应用共线向量的充要条件列方程组解方程组得k值。解答：（1）、共线，又它们有公共点B，、B、三点共线（2）和共线，存在实数，使=（），即=。、是不共线的两个非零向量，=，-1=0。=±1。注：（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线量时，通

16、常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想。（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。二、平面向量的基本定理及坐标表示（一）平面向量基本定理及其应用相关链接1、以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同；2、对于两个向量，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映与的关系；3、利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算。注：由于基底向

17、量不共线，所以不能作为一个基底向量。例题解析例如图：在平行四边形BC中，M，N分别为DC，BC的中点，已知试用表示。思路解析：直接用表示有难度，可换一个角度，由表示，进而解方程组可求。解答：方法一：设,则将代入得代入得方法二：设因M，N分别为CD，BC中点，所以因而即（二）平面向量的坐标运算相关链接1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用；2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；3、利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，

18、再用待定系数法求出线性系数；4、向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。例题解析例已知（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）。设且求：（1）（2）满足的实数m,n;（3）M、N的坐标及向量的坐标。思路解析：利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解。解答：由已知得（1）=3（5，-5）+（-6，-3）-3（1，8）=（15-6-3，-15-3-24）=（6，-42）（2）（3），。M（0，20）又，N（9，2）。（三）平面向量共线的坐标表示相关链接1、凡遇到

19、与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件；2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题。例题解析例已知当k为何值时，与平行；平行时它们是同向还是反向？思路解析：将用坐标表示将用坐标表示应用共线向量的充要条件求k把k代入向量判断结果。解答：=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4），与平行等价于（k-3）（-4）-10（2k+2）=0，解得k=。故当k

20、=时，与平行。此时=，与反向。注：向量平行的坐标公式裨是把向量问题转化为实数的运算。通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用。（四）向量与其他知识的综合例已知向量现向量的对应关系用表示。（1）设，求向量与的坐标；（2）求使（3）证明：对任意的向量及常数m,n恒有成立。思路解析：本题关键是找出“函数” 的对应关系，此处的变量为向量的坐标，因此，可通过坐标运算来解决问题。解答：（1）又（2）（3）注：对于信息处理题应注意以下几点：认真领会题中所给信息（注意概念的内涵与外延）；将所得到的信息，应用于题目中去，即解决实际问题（当然注意条件与结论，往往是三

21、段论推理）。三、平面向量的数量积及平面向量应用举例（一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题相关链接1、向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式来计算，二是利用来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：例已知，与的夹角为，求：（1）；（2）。思路解析：利用平面向量数量积的定义及其运算律，可求出第（1）问；求可先求，再开方。解答：（1），=（2），（二）平面向量的垂直问题相关链接1、非零向量2、当向量与是非坐标形式时，要把、用已知的不共线的向量表示。注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运

22、算，要因题而异。例已知向量，（1）求证：;（2）若存在不等于0的实数k和t，使满足试求此时的最小值。思路解析：（1）可通过求证明;（2）由得，即求出关于k，t的一个方程，从而求出的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小值。解答：（1）（2）由得：，即（三）平面向量的夹角问题相关链接1、当与是非坐标形式时，求与的夹角。需求得及或得出它们的关系。2、若已知与的坐标，则可直接利用公式.注：平面向量、的夹角例题解析例已知、都是非零向量，且+3与垂直，与垂直，求与的夹角。思路解析：把向量垂直转化为数量积为0联立求与的关系应用夹角公式求结果。解答：（四）向量的综合应用例1设BC的外心为O

23、，则圆O为BC的外接圆，垂心为H。求证：思路解析：本题的关键是探求的联系，利用向量的三角形法则可得下一步需确定的关系，由条件O为BC的外心，可延长BO交圆于O于点，连D、DC，利用圆周角是直角的性质可证四边形ANCD为平行四边形，从而问题得以解决。解答：延长BO交圆O于D点，连AD、DC，则BD为圆O的直径，故BCD=BAD=900。又AEBC，DCBC。各AH/DC，同理DA/CH。四边形ANCD为平行四边形，。又又注：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O为外心，H为垂心，在本题中作用最大；另外，平面解析几何中的一些性质在解题中也有很大的用处。例2已知力与

24、水平方向的夹角为30°（斜向上），的大小为50N，拉着一个重80N的木块在摩擦系数=0.02的水平平面上运动了20m，问和摩擦力所做的功分别是多少？(g=10 N/kg).思路解析：力在位移上所做的功，是向量乘积的物理含义，要先求出力，和位移的夹角，然后应用数量积公式求解。解答：设木块的位移为则，在铅垂方向上分力大小为sin30°=50×=25(N). =8×10=80(N)摩擦力的大小为，=1.1×20×(-1)=-22(J).所做的功分别是500J、22J。注：力在力的位移上所做的功，就是力与位移所对应两向量的数量积。故在解决此类

25、问题时可转化为数量积的运算，据题意构造平面图形，把已知、所求各量用向量的对应量表示出来。然后结合向量的加减法及平面几何的知识求得向量的模及夹角，再利用数量积的运算公式求得力对物体所做的功。【高考零距离】1.（2012·广东高考文科·3）若向量，则A.（4.6） B.（-4,-6） C.（-2，-2） D.（2，2）【解题指南】 本小题考察了平面向量的坐标运算解题关键.【解析】选A. .2. （2012·浙江高考文科·7）设a，b是两个非零向量。.若|a+b|=|a|-|b|，则abB.若ab，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，

26、则存在实数，使得b=a.若存在实数，使得b=a，则|a+b|=|a|-|b|【解题指南】考查向量间的线性运算关系以及向量三角不等式中等号成立的条件【解析】选C. 对于：若|a+b|=|a|-|b|，则与共线，且与反向，故选项也不对，故选项正确3（2012·广东高考文科·10）同（2012·广东高考理科·8）对任意两个非零的平面向量，定义. 若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且和都在集合中，则= B C1 【解题指南】 解决本小题首先搞清的定义，然后根据,再结合确定是解决本题的关键。【解析】选C.,.4 （2012·江西高考文科

27、3;12）设单位向量m=（x，y），b=（2，-1）。若，则=_【解题指南】由已知条件联立方程组求得向量m的坐标，然后求。【解析】由可得，又因为m为单位向量所以，联立解得或，故=。答案：.5 （2011·北京高考理科·T10）已知向量，若与共线，则= .【思路点拨】先求坐标，再利用向量共线定理. 【精讲精析】1.由与共线得，解得.6 （2011·福建卷理科·10）已知函数.对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点,B,C，给出以下判断：BC一定是钝角三角形BC可能是直角三角形BC可能是等腰三角形BC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ）. B.

28、 C. .【思路点拨】设出表示，结合，B，C三个点的横坐标判断的符号，的符号判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形或是直角三角形，再 【精讲精析】选B. 设，正确，不正确，对于，,选，错误.7 （2011·福建卷文科·13）若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_.【思路点拨】用数量积的坐标运算法则求值.【精讲精析】1. .【考点提升训练】一、选择题(每小题6分，共36分)1.下列命题中是真命题的是( )对任意两向量a、b均有：|a|-|b|<|a|+|b|对任意两向量a、b,a-b与b-a是相反向量在BC中，0在四边形BCD中，() (B)(C)

29、 ()2.若向量=( )3.已知a=(x,x), b=(x,t+2),若函数f(x)= a·b在区间-1,1上不是单调函数，则实数t的取值范围是( )()(-,-4 (B)(-4,0(C)(-4,0) ()(0,+)4.(2012·石家庄模拟)已知锐角三角形BC中，|=4，|=1，BC的面积为，则·的值为( )()2 (B)-2 (C)4 ()-45.(2012·大连模拟) a,b为非零向量，“函数f(x)=(ax+b)2为偶函数”是“ab”的( )()充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件()既不充分也不必要条件6.（预测题）设O为坐标原点，

30、动点P(x,y)满足则z=y-x的最大值是（ ）()-1 (B)1 (C)-2 ()二、填空题(每小题6分，共18分)7.若的取值范围是_.8.设F为抛物线y2=4x的焦点，、B、C为该抛物线上三点，若则=_. 9.若向量a=(cos,sin), b=(cos,sin),且-=k(kZ)，则a与b一定满足：a与b夹角等于-;|a|=|b|;ab;ab.其中正确结论的序号为_.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·东北师大附中模拟)已知a=(1,2), b=(-3,2),当k为何值时，(1)ka+b与a-3b垂直？(2)ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？

31、11.（2012·厦门模拟)已知a=(cosx+sinx,sinx), b =(cosx-sinx,2cosx).（1）记f(x)= a·b,若x0,，求f(x)的值域；（2）求证：向量a与向量a不可能平行.【探究创新】(16分)抛物线y=-x2上有两点(x1,-x12),B(x2,-x22),且(O为坐标原点)， =(0，-2).(1)求证：；(2)若求BO的面积.答案解析1. 【解析】选.假命题.当该命题不成立.真命题.这是因为a-b与b-a是相反向量.真命题.命题成立.假命题.该命题不成立.假命题.该命题不成立.2.【解题指南】解本题可以用待定系数法，设利用向量相等列

32、出关于m,n的方程组.也可用验证法，把选项逐一代入验证.【解析】选B.设，则(4，2)=(m-n,m+n).c=3a-b.【一题多解】选B.对于，3a+b =3(1,1)+(-1,1)=(2,4)c,故不正确；同理选项C、也不正确；对于B，故B正确.3.【解析】选C.f(x)= +(t+2)x,f(x)=2x+(t+2),令f(x)=0得又f(x)在-1，1上不单调，-1<<1,即-4<t<0.4.【解析】选.由题意得所以故sin=,又为锐角，所以=60°，×cos=4×1×cos60°=2.5.【解析】选C.f(x)=,a、b为非零向量，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)恒成立，若f(x)为偶函数.综上，选C.6.【解析】选.由已知（x,y）, 可行域为图中阴影部分，由图象可知直线z=x-y经点时，z=y