高等数学第四章 不定积分ppt课件

1、单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-41单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-412/4/20221第四章 不定积分第一节 不定积分的概念第二节 换元积分法第三节 分部积分法第四节 有理函数的积分举例单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-42单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-422/4/20222原函数)()(xfxFxxfxFd)()(d或如果在某一区间上，

2、函数 与 满足 )(xf)(xF则称在该区间上，函数 是 的一个原函数. )(xF)(xf单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-43单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-432/4/20223原函数的性质如果)(xf在某区间上连续，则在该区间上)(xf的原函数一定存在. 如果)(xF是)(xf的一个原函数，则CxF)(是)(xf的全部原函数， （其中C为任意常数）且)(xf的任一个原函数与)(xF相差一个常数. 性质一 性质二 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式

3、第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-44单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-442/4/20224示 例xxx2sin2)2sin(212cos21证明函数 都是的原函数.10cos, 5sin,2cos2122xxxx2sin的原函数都是xxxx2sin10cos, 5sin,2cos2122xxxx2sincossin2)5(sin2xxxx2sin)sin(cos2)10cos(2单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-45单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版

4、文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-452/4/20225不定积分函数)(xf的全体原函数称为)(xf的不定积分不定积分，记作 xxfd)( 其中“”称为积分号，)(xf称为被积函数， xxfd)(称为被积表达式，x称为积分变量 由上述定义知，如果)(xF是)(xf的一个原函数，则)(xf的全体原函数 可表示为 CxFxxf)()(d，其中C 称为积分常数 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-46单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-462/4/20226示

5、例求下列不定积分： xxxxdd1)2,cos) 1xxcos)(sinCxxsincosdxxxxxxx11 )ln(,01)(ln,0时时；Cxxxln1d单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-47单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-472/4/20227不定积分的几何意义如果函数)(xf在某区间上的一个原函数是)(xF，通常我们把这个 原函数)(xF的图象称为)(xf的一条积积分分曲曲线线，其方程为)(xFy ， 因此)(xf的不定积分在几何上就表示全体积分曲线所组成的积

6、积分分 曲曲线线族族，它们的方程为CxFy)( 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-48单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-482/4/20228示 例)(xFy C31532)63()(2xxxxFCxxxxxF3d) 32()(2求一积分曲线，已知曲线经过点 ，且平行于 轴平移后能与 重合.)5 , 1 (x632xxy设所求曲线方程为 由不定积分的几何意义和原函数的定义可知， 由所求曲线过点 知， )5 , 1 (132xxy所求曲线为1C单击此处编辑母版标题样式 单击

7、此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-49单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-492/4/20229不定积分的基本性质微分运算和积分运算互为逆运算 性质一 Cxfxxfxfxxf)()()()(d，d单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-410单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4102/4/202210性质二 两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和 xxgxxfxxgxfddd

8、)()( )()(不定积分的基本性质单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-411单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4112/4/202211不定积分的基本性质性质三 )0()()(kxxfkxxfkdd被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号前 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-412单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4122/4/202212基本积分公

9、式表单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-413单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4132/4/202213求不定积分的注意事项积分常数C不能丢掉，否则就会出现概念性错误.分项积分后，不必分别加任意常数，只要在总的结果中加一个C即可.检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-414单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第

10、五级2022-2-4142/4/202214示 例xexxd)12(cos2xexxxxddd2112cosCexxxarcsin2sin求不定积分xexxd)12(cos2单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-415单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4152/4/202215示 例xxxxxxxxdd133) 1(313233xxxxxd)33(21616121xxxxxxxxdddd2161612133求不定积分xxxd33) 1(Cxxxx216567232518718

11、32单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-416单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4162/4/202216示 例xxxxxxdd222cos2sin12cos1sin1Cxxxx21tand21sec2求不定积分xxxd2cos1sin12xxxd22tan21sec21单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-417单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4172

12、/4/202217第四章 不定积分第一节 不定积分的概念第二节 换元积分法第三节 分部积分法第四节 有理函数的积分举例单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-418单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4182/4/202218如果xxfd)(CxF)(，则CuFuuf)()(d， 其中)(xu是x的任一个可微函数 第一类换元积分法单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-419单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式

13、 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4192/4/202219)(d)(d)()(xxfxxxf凑微分CuFudufxu)()()(换元CxFxu)()(还原以第一类换元法思路单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-420单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4202/4/202220示 例xxxxxdd5512) 12(21) 12(）（Cuduu111求不定积分xxd5) 12() 12d() 12(215xx得设12 xuCxCuuuxx6655) 12(12161

14、21d21) 12(d单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-421单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4212/4/202221示 例xxxxxxdd)(sin2sinCx cos2求不定积分xxxdsin）（ xx dsin2单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-422单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4222/4/202222示 例xaaxxaxaxxad

15、dd1111112222Cax arcsin求不定积分)0(122axxadaxaxxaxaxd111122d单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-423单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4232/4/202223示 例xxxxxxxxddtansec)tan(secsecsec)tan(secdtansec1xxxx求不定积分xxdsecxxxxxxdtansectansecsec2Cxxtansecln单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第

16、四级 第五级2022-2-424单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4242/4/202224示 例xxxxxxxxddd22244343Cxx242arcsin3求不定积分xxxd243)4d(41212arcsin322xxx单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-425单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4252/4/202225示 例xxxxxxxddcoscossincossin2434)d(sin)sin(s

17、in64xxx求不定积分xxxd34cossin)d(sin)sin1 (sin24xxxCxx75sin71sin51单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-426单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4262/4/202226示 例)cos(sinsincos1sincossincosxxxxxxxxxdd求不定积分xxxxxdsincossincosCxxcossinln解法一 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4

18、27单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4272/4/202227示 例解法二 xxxxxxxxxxxxxddd2cos2sin1sincos)sin(cossincossincos222xxxxd2tand2secCxxx2cosln212tan2secln21单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-428单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4282/4/202228示 例解法三 xxxxxxxxxxxxxddd2si

19、n12cos)sin(cossincossincossincos222)2sin1d(2sin1121xxCx 2sin1ln21单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-429单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4292/4/202229第二类换元积分法设)(tx具有连续导数)(t，且0)( t，又设)()(ttf具有 原函数)(tF， )(1xt是)(tx的反函数，则)(1xF是)(xf 的原函数，即 tttfxxfdd)()()(CxF)(1单击此处编辑母版标题样式 单击此处

20、编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-430单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4302/4/202230示 例tttttttxxxddd11) 1(22112Cxxx1ln22求不定积分xxxd1Ctttttt1ln211122d单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-431单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4312/4/202231示 例Ctttttxxx254331151)2(31131d

21、dCxxCtt)513() 13(151)5(153232求不定积分xxxd3131ttxtxtxdd233),1(31,13则令Cxx)2() 13(5132单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-432单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4322/4/202232示 例tttttxxdddcossecsec) 1(13232Ct sin求不定积分xxd32) 1(1Cxx12ttxtxtxdd2332sec,sec) 1(,tan则令单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版

22、文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-433单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4332/4/202233示 例)()1 ()1 (102102uuuxxxdduuuuuuuudd)2()21 (121110102求不定积分xxxd102)1 (Cuuu131211131122111xuxudd则令,1Cxxx131211)1 (131)1 (122)1 (111单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-434单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二

23、级 第三级 第四级 第五级2022-2-4342/4/202234积分公式表单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-435单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4352/4/202235示 例tttttxxxdd1111222求不定积分)1(12xxxxdttd112解法一 tttxtxtxdd1,1,1222则令CxCt1arctanarctan2单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-436单击此处编辑母版标题样式 单击此

24、处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4362/4/202236示 例ttttttxxxdddtansectansec112解法二 tttxttxddtansec,20,sec则令CxCt1arccos单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-437单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4372/4/202237示 例111122xxd解法三 111122222xxxxxxxxxddd1)1(11222xxdCx1arctan2单击此处编辑母版标题样式 单击

25、此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-438单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4382/4/202238第四章 不定积分第一节 不定积分的概念第二节 换元积分法第三节 分部积分法第四节 有理函数的积分举例单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-439单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4392/4/202239设 )(xuu 及)(x 具有连续导数，由两个函数乘积的微分公式 uuuddd)(

26、移项得 uuuddd)(两边求不定积分得： duuud分部积分法单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-440单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4402/4/202240示 例xxxxxxxxxddd)cos(cos)cos(sin求不定积分xxxdsinxxxxdcoscosxvxxxvxucos,sin,ddudd则令Cxxxsincos单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-441单击此处编辑母版标题样式 单击此处编

27、辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4412/4/202241示 例)31d(lnln32xxxxxd求不定积分xxxdln2xxxxd2331ln33231,1,lnxvxxxxvxuddudd则令Cxxx9ln333单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-442单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4422/4/202242示 例)(cosd2sin2xxxx求不定积分xxxdcos2xxxxxxdcos2cos2sin2xxxxxxxxxxddsin2

28、sin)d(sincos222Cxxxxxcos2sin2sin2单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-443单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4432/4/202243示 例)d(sincosxxexxe求不定积分xxexdcosdxxexedexdxxexxxx)sin(coscoscosxxexexexxxdcossincosCxxexxexx)cos(sin21cosd单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-44

29、4单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4442/4/202244示 例xxxxxxxxdd1lnsinlncoslncos求不定积分xx dlncosxxxxxxxxd1lncoslnsinlncosxxxxxxdlncoslnsinlncosCxxxxx)lncosln(sin21lncosd单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-445单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4452/4/202245分部积分适用场合单击

30、此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-446单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4462/4/202246示 例2)2d(2xxxxeexxexed求不定积分xexexxd 2xeexexxxxd22222d2tttxtxtetexxd22),2ln(,2,2222d则令单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-447单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4472/4/2

31、02247ttexxd)221 (4222ttttexxexexxxd2222222dCttexx2arctan22422Ceeexxxx22arctan242422示 例单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-448单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4482/4/202248示 例232211d)1 (xxxxxd求不定积分xxxd322)1 (xxxxd22111Cxxxarcsin12分部积分法 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级

32、第五级2022-2-449单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4492/4/202249示 例ttttxxxdcoscossin)1 (32322dttdtan2ttd) 1(sec2换元积分法 ttxttxtxdcosd,cossin11,sin22则令Cxxxarcsin12Ctt tan单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-450单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4502/4/202250第四章 不定积分第一节

33、 不定积分的概念第二节 换元积分法第三节 分部积分法第四节 有理函数的积分举例单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-451单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4512/4/202251形如 nnnnmmmmbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(的函数称为有有理理函函数数 当nm 时，称有理函数是真真分分式式；当nm 时，称有理函数是假假分分式式 有理函数其中m与n都是正整数，0a，1a，ma及 0b，1b，nb都是实数,并且00a，00b 单击此处编辑母版

34、标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-452单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4522/4/202252利用多项式的除法，我们总可以将一个假分式化成一个多项式和有理真分式之和的形式因此，有理函数的积分关键是有理真分式的积分 有理函数的积分单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-453单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4532/4/202253有理真分式的积分步骤一 将真分式分

35、解成部分分式 步骤二 对部分分式积分 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-454单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4542/4/202254有理真分式的分解单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-455单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4552/4/202255示 例)2)(1(22xxxx将 分解成部分分式2322xxx得令，2) 1()2(2123222

36、xxxBxAxBxAxxx) 1()2(32xBxAx3135BA，)2( 31) 1( 352322xxxxx单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-456单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4562/4/202256示 例223) 1(2xxxxx将 分解成部分分式xxxx23221221232) 1() 1(21xBxBxAxxxx令得，2212) 1() 1() 1(xxxBxxBxA单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级202

37、2-2-457单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4572/4/2022570, 2, 112BBA223212121xxxxxxxBxxBxAx2122) 1() 1(1示 例单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-458单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4582/4/202258示 例)3)(1()33()(32233xxxxxxxx将 分解成部分分式3243xxx3132423xxCBxxAxxx令得，) 3)(

38、1() 1)() 3(22xxxxCBxxxA单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-459单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4592/4/202259) 1)() 3(42xCBxxxAx1, 1, 1BCA31113111324223xxxxxxxxxxx示 例单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-460单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2022-2-4602/4/202260部分分式的积分有理真分式的积分大体有以下三种形式： 单击此处编辑母版标题样式 单