精彩片断--有关相似三角形复习课一个拓展题的处理

1、 片断背景： 在复习完相似三角形的内容后，我对本节内容进行了拓展延伸，出示了以下问题：问题：问题：如图1，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，GEF=90，则GF的长为 说明：本题是天津市2008年中考数学试题填空题第16小题试题以正方形为背景，通过去掉部分干扰图形，如图2，背景图实际上是直角梯形命题人之所以这样设计，一是可以使题目短小，便于考生解答；二是使正方形与梯形有机结合起来，体现知识的前后衔接；三是通过学生在解答问题时，对图形、条件精简，考查学生分析数学和解决数学问题的能力 个人觉得：中考试题这样处理有利于改变程式化的教学，有利于

2、创造意识及应变能力的培养；这样做，不仅能培养学生对问题认识的深刻性、广阔性，而且能培养学生的创新能力、应用意识和发散思维下面对其多种解法进行探讨师：本题是天津市2008年中考数学试题填空题第16小题试题以正方形为背景，通过去掉部分干扰图形，如图2，背景图实际上是直角梯形通过观察条件，发现点E是AB的中点，根据这一重要信息，有哪位同学有好的解法？想一想？生1：可能通过作梯形中位线来解决：要求GF的长，可以看作求RtEFG的斜边由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故可取GF的中点H，连接EH，只要求得EH的长，即可求得GF的长由于已知点E为AB的中点，可知EH为梯形ABFG的中位线，利用梯形

3、中位线定理可得EH的长 生2：可以作全等三角形来解决：由于点E为梯形ABFG的中点，故延长GE后与FB的延长线相交于点H，可知AGE与BHE全等利用全等三角形的性质可知BHAG，GEHE，从而可知EF为线段GH的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，要求的线段GF等于线段HF，从而求得线段HF即可师：两位同学的想法非常好，哪位同学愿意把这道题的过程写下来呢？生3用方法1：解：如图3，取GF中点H，连接EH四边形ABCD为正方形，AGBFAG=1，BF=2，AGBF，四边形ABFG为梯形E为AB边的中点，线段EH为梯形ABFG的中位线由梯形中位线定理可知，EH （AGBF）（12）1.5 GE

4、F=90 ，在RtEFG中，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，EHGF，GF2EH32121生4用方法2：如图4，延长GE交FB的延长线相交于点H四边形ABCD为正方形，AGBF，AHBE在AGE和BHE中A=HBE，AE=BE，AEG=BEG，AGE BHE，BHAG1，GEHE，FHFBBH213，FHGH，FH为线段DG的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，GFFH3生5：从方法1可以看出：在梯形中，取两腰的中点，可构造梯形的中位线中位线与上、下底既有位置关系：梯形的中位线平行于两底；又有数量关系：梯形的中位线等于上、下底和的一半从而通过添加中位线，将比较分散的梯形上、下底聚

5、集在一个三角形（RtEFG）中，使问题得到解决生6：从方法2我想说两点：（1）取梯形一腰中点（E），连接梯形的顶点和这个中点（GE）并延长，与梯形的底边所在的直线（FB）相交（于点H），即可得全等三角形（AGE和BHE），这两个三角形关于这个中点（E）中心对称（2）本方法的解法不唯一，延长FE与GA的延长线相交，也可求得GF3学生做完后，我进行了点评，并问学生通过方法1和2，你有什么启示：师：通过观察通过观察条件，发现GEF=90 ，根据这一重要信息，有哪位同学有好的解法？想一想？生7：可以用用勾股定理来解决：由GEF=90 ，可知EFG为直角三角形只要能求得这个直角三角形的两条直角边EG、E

6、F的长，利用勾股定理，就可求得GF的长借助GEF=90可知，AGE与BEF相似，利用相似三角形对应边成比例，从而可求得AEBE的长在RtAEG中可求得GE的长，在RtBEF中可求得EF的长，在RtEFG中可求得GF的长师：想法非常有创意，已经把我们所内容充分运用其中了，通过生7，我们得出这样的认识：勾股定理是中学数学中几个重要的定理之一，它体现了由“形”到“数”和由“数”到“形”的数形结合思想.应用勾股定理解题的前提是在直角三角形中，否则勾股定理是不适用的.掌握勾股定理要注意以下三点：一是勾股定理所揭示的是直角三角形三边之间平方关系的定理，它反映了直角三角形三条边之间的数量关系；二是在直角三角

7、形中如果已知两边就可以求出第三条边，但在运用勾股定理解决问题时，一定要分清已知的边是直角边还是斜边；三是勾股定理只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形或钝角三角形. 师：我们再观察一下图2，这个梯形有没有什么特殊的地方？生齐答：它是一个直角梯形。师：那好，既然是一直角梯形，那它对你解决本题有没有帮助？请想一想？生8：作梯形的高来解决：作梯形的高来解决：由方法三，可知AB2从而直角梯形ABFG的三条边AG、AB、BF为已知故过点G作GHBF，垂足为点H，可知GH2，FH1在RtGFH中，用勾股定理可求得GF的长 生8说的太好了， 有哪位同学愿意总结一下生8的方法。生9：生8的方法启示了我两点：

8、（1）对于一般的梯形，从上底的两个端点向下底作垂线，可以得到一个矩形和两个直角三角形；对于直角梯形，从上底的一个端点（G）向下底（BF）作垂线，可以得到一个矩形（矩形ABHG），和一个直角三角形（RtGHF）（2）本方法的解法不唯一，过点F作AG的垂线，构造一个矩形和一个直角三角形；或者过点A作GF的平行线，构造一个平行四边形和一个直角三角形；这两种方法也可求得GF3 师：本节课是对相似三角形的复习，能不能运用本节的知识来解决呢？生10：运用相似可以解决：由方法三知AE和GE的长，可知AGE与BEF相似，从而可知EFG与AEG也相似利用相似三角形的对应边成比例，可求得GF的长师：生10说得非常

9、好，但要提醒同学们与三角形相似有关的问题，要善于寻找、发现相等的角或三角形边之间的比例关系得出两角相等的有效途径主要有：公共角相等、对顶角相等、同角（或等角）的余角（或补角）相等、高线（或垂直）有直角相等另外，应用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判定两个三角形相似时，所需要的对应边之间的比例式，往往通过证明另两个三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例得到另外本题中的三个三角形（AGE、EGF、BEF）均相似，所以本方法的解法也不唯一 教学反思：人们常说：数学是思维的体操。数学课堂中一题多解的练习往往会使同学教学反思：人们常说：数学是思维的体操。数学课堂中一题多解的练习往往会使同

10、学们越来越聪明。这类训练不仅让同学们体验到成功的喜悦，而且促使同学们综合运用们越来越聪明。这类训练不仅让同学们体验到成功的喜悦，而且促使同学们综合运用各种数学知识的能力，更有利于开拓思维的灵活性。各种数学知识的能力，更有利于开拓思维的灵活性。 在平日解答习题时，大多数同学往往就题论题，不多加思考即快速写出答案了事。在平日解答习题时，大多数同学往往就题论题，不多加思考即快速写出答案了事。其实这种做法是不可取的，它会使学生头脑中的知识零乱分散，不能形成系统性，也其实这种做法是不可取的，它会使学生头脑中的知识零乱分散，不能形成系统性，也会使学生的思维空间缩小。解答习题时应善于借题发挥、扩展思路，一题

11、多解，多题会使学生的思维空间缩小。解答习题时应善于借题发挥、扩展思路，一题多解，多题一解即通过不同角度思考问题，提高知识迁移能力，寻找解决问题的多种途径及多种一解即通过不同角度思考问题，提高知识迁移能力，寻找解决问题的多种途径及多种可能的结论，这样能促进思维的灵活性。同时多解中的新思路、新方法，又有利于创可能的结论，这样能促进思维的灵活性。同时多解中的新思路、新方法，又有利于创新思维的形成，而在应用多种解法中选择更简、更优的解法，有利于优化思维品质。新思维的形成，而在应用多种解法中选择更简、更优的解法，有利于优化思维品质。就本题而言，虽然它仅是一个填空题，可通过五种方法解决这个题目，不仅加深了

12、学就本题而言，虽然它仅是一个填空题，可通过五种方法解决这个题目，不仅加深了学生对如何求生对如何求GF长的理解和掌握，还训练了学生思维的发散性，灵活性，创造性。鼓励长的理解和掌握，还训练了学生思维的发散性，灵活性，创造性。鼓励了学生对一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系去理解和探讨。了学生对一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系去理解和探讨。 进行一题多解的训练，是培养学生思维的敏捷性，提高学生的变通能力与综合运用进行一题多解的训练，是培养学生思维的敏捷性，提高学生的变通能力与综合运用数学知识的行之有效的方法数学知识的行之有效的方法 , 它能促进学生智能和思维的发展

13、，起到意想不到的教学效它能促进学生智能和思维的发展，起到意想不到的教学效果。老师在平时的教学中要有意识地激发学生思维的创造性、灵活性，使学生在积极果。老师在平时的教学中要有意识地激发学生思维的创造性、灵活性，使学生在积极主动的状态下探索，为学生的思维发散提供情景、条件和机会，启发和引导学生从不主动的状态下探索，为学生的思维发散提供情景、条件和机会，启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程解决同一道数学问题，有意识同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程解决同一道数学问题，有意识地锻炼学生思维的灵活性，培养了学生的开拓性和创造性。地锻炼学生思维的灵活性，培养了学生的开拓性和创造性。 数学教学的新活力来源数学教学的新活力来源于学生。如果我们能取之于学生，用之于学生，让学生体会探索、发现的乐趣，也许于学生。如果我们能取之于学生，用之于学生，让学生体会探索、