清华大学数字信号处理--第三章离散傅里叶变换复习提要小结ppt课件

1、第三章 离散傅里叶变换复习提要第三章学习目标第三章学习目标理解傅里叶变换的几种形式了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷积过程理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系了解频域抽样理论理解频谱分析过程了解序列的抽取与插值过程 时间函数 频率函数连续时间、连续频率傅里叶变换连续时间、离散频率傅里叶级数离散时间、连续频率序列的傅里叶变换离散时间、离散频率离散傅里叶变换连续时间、连续频率傅里叶变换时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。()( )j tX jx t edt 1( )()2j tx tX jed00

2、0/20/201()( )TjktTX jkx t edtT00( )()jktkx tX jke()( )jj nnX ex n e1( )()2jj nx nX eed210( )( )NjnkNnX kx n e2101( )( )NjnkNkx nX k eN( )() x nx nrNrN周期序列：为任意整数 为周期000 ( )() ( )( )aajktakx tx tkTTx tA k e连续周期函数：为周期0002 /jktTke 基频：次谐波分量：0 ( )( )jknkNx nA k e为周期的周期序列：002 /jknNke基频：次谐波分量：周期序列的DFS正变换和反变

3、换：21100( ) ( )( )( )NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W2110011( )( )( )( )NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN2jNNWe其中： X kz与 变换的关系： 010 x nnNx nn令其它xn z对 作 变 换 :10NnnnnXzxnzxnz 210jkkNNNnkNz WenX kx n WX z 可看作是对 的一个周期 做 变换然后将 变换在 平面单位圆上按等间隔角 抽样得到 X k x n x nzz2Nz其中， 为任意常数, a b11( )( )X kDFS x n22( )( )Xk

4、DFS x n假设1212( )( )( )( )DFS ax nbx naX kbXk那么2 ()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k( )()nlNDFS W x nX kl1210( )()Nmx m x nm12( )( )( )Y kX kXk假设1120( ) ( )( )()Nmy nIDFS Y kx m x nm那么142512( )( ) ( )(1)( )6( )( )x nR nx nnR nx nx n例：已知序列，分别将序列以周期为 周期延拓成周期序列和，求两个周期序列的周期卷积和。1120( )( )()Nmy nx m x nm解： 512

5、0( )()mx m x nmn m1/x n m2xm21xm22xm23xm24xm25xm2/xn m( )y n( )()rx nx nrN( )( )( )Nx nx n Rn ( )( )NX kXk( )( )( )NX kX k Rk同样：X(k)也是一个N点的有限长序列( )( )Nx nNx n长度为 的有限长序列周期为 的周期序列( )Nx n( )x n的主值序列( )x n 的周期延拓10( ) ( )( ) 01NnkNnX kDFT x nx n WkN101( )( )( ) 01NnkNkx nIDFT X kX k WnNN2jNNWe其中：10( )( )

6、( )( )( )NnkNNNnX kx n WRkX k Rk或 101( )( )( )( )( )NnkNNNkx nX k WRnx n RnNDFTz与序列的DTFT和 变换的关系：10( )( )NnnX zx n z10( )( )NnkNnX kx n W10()( )Njj nnX ex n e2()jkNX ex(n)的DTFT在区间0，2上的N点等间隔抽样。2( )jkkNNz WeX z10( ) ( )( )( )NnkNNnX kDFT x nx n WRk101( )( )( )( )NnkNNkx nIDFT X kX k WRnN2jNNWe其中： , a b

7、为任意常数这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且12max,NN N11( ) ( )X kDFT x n22( )( )XkDFT x n假设1212( )( )( )( )DFT ax nbx naX kbXk那么( )()( )mNNxnx nmRn 定义：( ) ( ) ()x nx nx nm( )mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。( )( ) ()( )mmNNXkDFT xnDFT x nmRn( )mkNWX k序列的Fourier变换的对称性质中提到：(

8、)( )( )eox nx nx n*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*( )()1/2 ( )()oox nxnx nxn 其中：任意序列可表示成 和 之和:( )ex n( )ox n*( )()1/2 ( )()oox nxnx nxn *1/2 ( )() NNx nxNn共轭反对称分量：*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*1/2 ( )() NNx nxNn共轭对称分量：( )( )( )eox nx nx n任意周期序列：( )( )( )epopx nxnxn则任意有限长序列：( )( )( )opoNxnx n Rn *1/2 ( )()

9、 ( )NNNx nxNnRn圆周共轭反对称序列：( )( )( )epeNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnRn圆周共轭对称序列：*( )()( )epepNNxnxNnRn Re( )Re()( )epepNNxnxNnRn实部圆周偶对称 Im( )Im()( )epepNNxnxNnRn 虚部圆周奇对称 ( )()( )epepNNxnxNnRn幅度圆周偶对称arg( )arg()( )epepNNxnxNnRn 幅角圆周奇对称 *( )()( )opopNNxnxNnRn Re( )Re()( )opopNNxnxNnRn 实部圆周奇对称 Im( )Im(

10、)( )opopNNxnxNnRn虚部圆周偶对称 ( )()( )opopNNxnxNnRn幅度圆周偶对称 幅角没有对称性 序列 DFT( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 序列 DFTRe ( )( )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 序列 DFTRe ( )0( )0epx nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX

11、 k*( )()( )()( )NNNNDFT x nXkRkXNkRk11*001( )( )( )( )NNnkx n y nX k YkN1210( )() ( )NNNmx m xnmRn12( )( )( )Y kX kXk假设1120( ) ( )( )() ( )NNNmy nIDFT Y kx m xnmRn那么12( )( )x nx nN设和都是点数为 的有限长序列1212max(,)NNNN NN（若不等，分别为、点，则取，对序列补零使其为 点）11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk12( )( )x nx nN1120( )( )() (

12、 )NNNmy nx m xnmRn1210( )() ( )NNNmx m xnmRn21( )( )x nx nNN用 表示圆周卷积和1524 ( )(5)( )( )( )x nn R nx nR n例：已知序列，求两个序列的6点圆周卷积和。n m1/x n m2/xn m 266xmRn 2661xmRn 2662xmRn 2663xmRn 2664xmRn 2665xmRn26xm 26xm( )y n1122( )01 ( )01x nnNx nnN设：12max,NN N令1112120( )( )*( )( )()Nlmy nx nx nx m x nm2121210( )()

13、( )*( )Nmx m x nmx nx n线性卷积：112120( )( ) ( )( )() ( )NcNNmy nx nx nx m xnmRn121210( )() ( )( ) ( )NNNmx m xnmRnx nx nN点圆周卷积：NN121NNNN即 当圆周卷积长度时， 点圆周卷积能代表线性卷积12( )1ly nNN而的长度为( )( )NclNy ny n点圆周卷积是线性卷积以 为周期的周期延拓序列的主值序列。12-1( )lNNNy nN只有当时，以 为周期进行周期延拓才无混叠现象N1212( ) ( )( )*( )x nx nx nx n1212102NNNnNN(

14、 )( )* ( )( ) ()my nx nh nx m h nm补N-N1个零x(n)N点DFT补N-N2个零h(n)N点DFTN点IDFTy(n)= x(n)*h(n)( ) ( )( )( )y nIZT Y zIZT X zH zz z( ) ( )( ) ( )X zZT x nH zZT h n时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原原连续信号。频域抽样呢？抽样条件？内插公式？( )X k由频域抽样序列 还原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。( )x n所以：时域抽样造成频域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓NM

15、( )( )( )( )( )NNNxn RnIDFS X k Rnx n( )X k( )x n1101( )1N NkkNzX kNWz( )Mx nNNM点有限长序列，频域 点等间隔抽样，且 1100( )( )( )MNnnnnX zx n zx n z11001( )NNnknNnkX k WzN11001( )NNnknNknX kWzN11011( )1NkNNNkkNWzX kNWz用频域采样 表示 的内插公式( )X k( )X z1101( )( )1N NkkNzX kX zNWz内插公式：111( )1NkkNzzNWz内插函数：10( )( )( )NkkX zX k

16、z则内插公式简化为： 20,1,.,1jrNzerN零点：，20 (-1)jkNzeN极点：， 阶()( )jjkkz eez ()jX e用频域采样 表示 的内插公式( )X k1(1)2sin21sin2kNjNjNNkNeeNkN10()( )( )()jNjjkz ekX eX zX ke12sin12 ( )sin2NjNeN内插函数：102 ()( ) ()NjkX eX kkN内插公式：212 ()20kikNkNiikN00shTfTFNf时域采样间隔时域采样频率信号记录长度（频率分辨率）频域采样间隔采样点数信号最高频率00sTfNTF1/sfT2shff001/TF0sfNF

17、0TNT对连续时间非周期信号的DFT逼近过程1时域抽样2时域截断3频域抽样0() ( )X jkT DFT x n01( )()x nIDFT X jkT近似逼近：对连续时间非周期信号的DFT逼近01() ( )X jkDFS x nN0( )()x nN IDFS X jk近似逼近：对连续时间周期信号的DFS逼近00sTfNTF2shff时域抽样：001/FT频域抽样：同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。00sTfNTFhsff要增加信号最高频率则0NF当 给定必，即分辨率0001FTF要提高频率分辨率，即则shNTff当 给定 则要不产生混叠， 必信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏1增加x(n)长度2缓慢截短DFT只计算离散点基频F0的整数倍处的频谱，而不是连续函数001/FT112()()()jasakkkX eXjjkXjTTT1()()jdaskXeXjjkTTDT22ssTDTD T