复积分的计算方法及其应用(共33页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上摘 要在复变函数的理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算理论中处于关键地位,柯西积分公式、柯西积分定理及其推论、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.本文首先阐述复积分的相关概念，在此基础上介绍复积分的几种基本求法，如：用参数方程法、牛顿莱布尼兹公式、柯西积分定理、柯西积分公式、复周线柯西积分定理、解析函数的高阶导数公式、留数定理.针对每一种计算方法给出相应的例子.对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.关键词：复积分；解析函数；

2、柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理ABSTRACTIn complex function theory, complex integration is an important tool of analytic function.Analytic function of many important properties are using the complex function integral to prove.Cauchy integral theorem in the calculation of complex integration theory in a key positi

3、on,Cauchy integral formulas, Cauchy integral theorem and its corollary, Cauchy higher derivatives formula and residue theorem of integral to the complex calculation has played a significant role. This paper first describes the complex integration of related concepts introduced on this basis, the com

4、plex integration of several basic method for finding such as : parametric equations , Newton - Leibniz formula , Cauchy's integral theorem, Cauchy integral formula , complex contour Cauchy integral theorem, the formula of the higher order derivatives of analytic functions , residue theorem to gi

5、ve the corresponding examples for each type of calculation.The calculation method of complex integral to make a summary of the system, from which generalizes the complex functions for solving integral method and the skill. Key words: Complex integral; Analytic function; Cauchy integral theorem; Cauc

6、hy integral formula; the residue theorem目 录摘要. I ABSTRACT.II1 前言.12 预备知识.23复变函数积分的计算方法.63.1用参数方程法. 6 3.2用牛顿莱布尼兹公式计算复积分.8 3.3 用柯西积分定理计算复积分.10 3.4 用柯西积分公式计算复积分.12 3.5 用复周线柯西积分定理计算复积分.143.6 用解析函数的高阶导数公式计算复积分.163.7 用留数定理计算复积分.20结论.24参考文献.25致谢.26专心-专注-专业1前 言2006年3月淮南师范学院的崔东玲研究的复积分的计算方法，他通过变量代换、柯西积分公式、柯西积

7、分定理、留数定理从中揭示诸多方法的内在联系.在研究复积分的计算方法这一方面取得了许多进展，证明了复变函数积分的计算方法.复变函数积分的计算方法灵活多样，而目前对复变函数积分的计算方法作出较系统的归纳却很少见.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧. 2预备知识定义2.1 设为复平面上以为起点，而以为终点的光滑曲线（有连续导数），在上取一系列分点把分为段，在每一小段上

8、任取一点作和数,当，且每一小段的长度趋于零时，若存在，则称沿可积，称为沿的路径积分.为积分路径，记为(若为围线（闭的曲线），则记为). (在上取值，即在上变化).图2.1 定理2.1 若函数沿曲线连续，则沿可积，且 (1.1)复变函数积分的基本性质 设函数沿曲线连续，则有下列性质：(1) 是复常数：(2) ;(3) 其中由曲线和衔接而成;(4) (5) 这里表示弧长的微分，即定义2.2 如果函数在区域内可微,则称为区域内的解析函数,或称在区域内解析.定理2.2 函数在区域内解析的充要条件是：(1) 在内连续； 对任一周线,只要及其内部全部含于，就有.定义2.3 若函数在不解析,但在的任一邻域内

9、总有的解析点,则称为函数的奇点.定义2.4 如果函数在点的某一去心邻域(即除去圆心的某圆)内解析，点是的奇点，则称为的一个孤立奇点.定义2.5 设为函数的孤立奇点.(1) 如果在点的主要部分为零，则称为的可去奇点.(2) 如果在点的主要部分为有限多项，设为()则称为的m阶极点.一阶极点也称为单极点.(3) 如果在点的主要部分有无限多项，则称为的本质奇点.定理2.3 如果为函数的孤立奇点，则下列三条是等价的.它们中的任何一条都是可去奇点的特征.(1) 在点的主要部分为零；(2) ；(3) 在点的某去心邻域内有界.定理2.4 如果函数以点为孤立奇点，则下列三条是等价的.它们中的任何一条都是m阶极点

10、的特征.(1) 在点的主要部分为（）；(2) 在点的某去心邻域内能表成，其中在点邻域内解析，且；(3) 以点为阶零点(可去奇点要当作解析点看，只要令).注 第(3)条表明：以点为阶极点以点为阶零点.定理2.5 函数的孤立奇点为极点的充要条件是.定理2.6 函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是:，即不存在.定理2.7 若为函数 之一本质奇点，且在点的充分小去心邻域内不为零，则亦必为的本质奇点.定理2.8 如果函数在单连通域内处处解析，那么积分与连结起点与终点的路线无关.定理2.9 如果函数在单连通域内处处解析,那么函数 必为内一个解析函数，并且.定义2.6 如果函数，那么称为在区域内的原函数.注

11、 原函数之间的关系：的任何两个原函数相差一个常数.定义2.7 称的原函数的一般表达式（C为任意常数）为的不定积分，记作.定义2.8 考虑条周线,其中中的每一条都在其余各条的内部，而它们又全都在的内部.在内部的同时又在外部的点集构成一个有界的连通区域,以为它的边界.在这种情况下，我们称区域的边界是一条复周线,它包括取正方向的,以及取负方向的.换句话说,假如观察者沿复周线的正方向绕行时，区域的点总在它的左手边.定义2.9 如果函数在点是解析的,周线C全在点的某邻域内，并包围点，则根据柯西积分定理得注 如果为的一个孤立奇点,且周线C全在的某个去心邻域内，并包围点，则积分的值，一般来说，不再为零.设函

12、数以有限点为孤立奇点，即在点的某个去心邻域内解析，则称积分 为在点的留数（residue），记为Res.3复变函数积分的计算方法3.1用参数方程法设有光滑曲线：（），这就表示在上连续且有不为零的导数，又设沿连续.令 由 (式1.1) 得 即 (1.2)或 (1.3)公式(1.2)、(1.3)是从积分路径的参数方程着手，称为参数方程法. (1.2)、(1.3)称为复积分的变量代换公式.注 (1) 一个重要的常用积分：(这里是以为圆心，为半径的圆周)(2) 如果是由等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线,则(3)在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的, 曲线是按段光滑的. 例3.1 计算，

13、其中为：圆周.解 积分路径的参数方程为,(因为) .例3.2 计算积分,积分路径是连接由0到的直线段.解 的参数方程是由参数方程法得： .注 通过上面的例子，我们知道在计算沿光滑曲线的复变函数积分的时候，可利用曲线的参数方程把复积分化为定积分，这是计算复积分的基本方法.凡是在定积分和线积分中使用的技巧,在这里都可以照常使用.在解题的时候要注意曲线用参数方程来表示时,正方向是参数增大的方向.参数的取值应与起点和终点相对应；在分段光滑曲线时，要注意各段曲线的起点与终点所对应的参数值的准确性.3.2 用牛顿莱布尼兹公式计算复积分牛顿-莱布尼兹公式 如果函数在单连通域内处处解析,为的一个原函数，那么，

14、这里为内的两点.例3.3 求的值.解 .注 此题先使用了微积分学中的“凑微分”法,然后运用牛顿-莱布尼兹公式进行求解.例3.4 求的值.解 .注 此题先使用了微积分中的“分部积分法”，然后运用牛顿-莱布尼兹公式进行求解.例3.5 求的值，其中是连接到的摆线：解 因为函数在复平面内处处解析，所以积分与路线无关，由牛顿莱布尼兹公式得： .注 利用这种方法将复变函数积分转化成定积分来计算，方法虽然很好，但是要求非常苛刻，函数必须在单连通域内解析，而很多函数都不具备这一性质，所以在应用时需注意.3.3用柯西积分定理计算复积分柯西积分定理 如果函数在单连通区域内处处解析,那么函数沿内的任何一条周线的积分

15、为零.即:.注 (1) 定理中的可以不是简单曲线.(2) 如果曲线是区域的边界，函数在在内C上解析,即在闭区域上解析，那么。(3) 如果曲线是区域的边界，函数在内解析，在闭区域上连续，那么定理依然成立。例3.6 计算积分 解 函数在内解析,根据柯西积分定理，则有.例3.7 计算积分解 因为和都在上解析，根据柯西积分定理得： 注 (1) 定理的条件是“单连通域”.(2) 定理不能反过来用.即:不能由，而说在内处处解析.利用柯西积分定理有一定的局限性，主要体现在被积函数上，只有某些特殊的函数或能拆成若干个特殊函数的函数计算起来较方便.3.4用柯西积分公式计算复积分 柯西积分公式 如果函数在区域内处

16、处解析，为内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于，为内任一点，那么注 关于柯西积分公式的说明：(1) 把函数在内部任一点的值用它在边界上的值表示;(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式.(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值；如果计算复积分在圆周则 .例3.8 求下列积分：(1) ; (2)解 (1) 因为在复平面内解析，位于内，由柯西积分公式得： (2) .例3.9 计算积分解 此题用柯西积分定理解析见例3.7;令因为在内解析，由柯西积分公式得： .注 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式，它的证明基于柯西积分定理

17、，它的重要性在于：一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示，因此它是研究解析函数的重要工具. 3.5用复周线柯西积分定理计算复积分定理3.1 设是由复周线所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则，或写成 或写成 .即：沿外边界积分等于沿内边界积分之和.例3.10 计算积分，为包含圆周在内的任何正向简单曲线.解 因为函数 在复平面内有两个奇点和,依题意知也包含这两个奇点，在内做两个互不包含也不相交的正向圆周和，只包含奇点,只包含奇点,根据定理3.2得： . 例3.11 求，为含的任一简单闭路，为整数解 因为在曲线内部，故可取很小的正数，使，在以为边界的复连通域内处处解析

18、，由定理3.2令 故注 利用复周线柯西积分定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法，使用定理时，要注意以下几点：(1) 曲线的不同方向; (2) 必须是简单闭曲线; (3) 内部若干条曲线互不包含，互不相交； (4) 是全部闭曲线构成区域边界.当且仅当这些条件都完全符合时,才可以应用柯西积分定理的推论把沿区域外边界线的回路积分,化为沿区域内边界曲线的回路积分，利用一些已知结果使积分易于计算.(5) 当计算不封闭曲线为积分路径的复积分时，可把积分路径作为部分曲线来构造封闭曲线，首先计算封闭曲线的复积分，再计算最初的沿不封闭曲线的积分.3.6 用解析函数的高阶导数公式计算复积分柯西积分 设为任一条简单逐

19、段光滑曲线（不必闭合），是在上有定义的可积函数，则有如下形式的积分： 称为柯西积分.定理3.2 若函数沿简单逐段光滑曲线（不必闭合）连续，则有柯西型积分 所定义的函数，在平面上外任一区域内解析，且其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于。例3.12 计算下列积分，其中为正向圆周(1) (2) 解 (1) 函数在处不解析，但在内处处解析，根据公式得： ；(2) 函数在内的处不解析，在内以为中心作一个正向圆周，以为中心作一个正向圆周，则函数在由围成的区域内解析，根据复周线柯西积分定理得:同理可得：于是 注 推导1 .推导2 .例3.13 求积分.其中：解 函数有两个

20、奇点和(1)，仅包含奇点，取则.，两个奇点和都包含在内，作简单闭曲线和分别包含0和2，和互不包含且互不相交，根据复合闭路定理和高阶导数公式有 .注 高阶导数公式是计算复积分的重要公式. 解析函数的高阶导数公式是一个利用导数来求复积分的公式,使求沿闭曲线的积分更加简捷.尤为重要的是：由柯西高阶导数公式得出解析函数的无穷可微性，只要函数在闭区域内解析,则它在区域内的各阶导数存在且解析.高阶导数公式的作用在于通过求导来求积分. 柯西积分公式与解析函数的无穷可微性在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数，二者在计算时都常与柯西积分定理相结合.3.7 用留数定理计算复积分柯西留数定理 在周线或复周

21、线所范围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则（“大范围”积分） 定理3.3 设为的阶极点,其中在点解析，则,其中代表，并且有.推论3.1 设是的一阶极点,则.推论3.2 设是的二阶极点,则.定理3.4 设是的一阶极点（只要及在点解析，且）则.函数在无穷远点的留数 设为函数的一个孤立奇点，即在去心邻域N内解析，则称 为在点的留数,记为，这里是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）设在内的洛朗展开式为由逐项积分定理知,也就是说,等于在点的洛朗展式中这一项的系数反号.定理3.5 如果函数在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则在各点的留数综合为零.例3.

22、14 计算积分.解 在单位圆周的内部,函数只有一个本质奇点.在该去心邻域内有洛朗展式,于是 故由留数定理得.例3.15 计算积分，C为正向圆周.解 由于，有两个一阶极点1，而这两个极点都在圆周内，所以，由推论3.1得：； 所以.例3.16 计算积分，为正向圆周.解 为被积函数的一阶极点,为被积函数的二阶极点，而所以 .例3.17 计算积分,为正向圆周.解 在的外部外无奇点,因此;即 .注 由以上讨论可以得出，留数定理与复变函数积分中柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的关系为： 在留数定理中,若被积函数在积分区域内为解析函数,留数定理就变成柯西积分定理,可见柯西积分定理是留数定理的

23、特殊情形； 在留数定理中,若被积函数在积分区域内只有一阶极点,留数定理中的结论就是柯西积分公式； 留数定理中,若被积函数在积分区域内有阶极点,留数定理中的结论就是柯西高阶导数公式. 理解了留数定理与复变函数积分中的柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的内在联系之后，前面所举的求复变函数积分的例子，现在都可以用留数定理来求解.只要掌握了各种情况下留数的求法就可以了，而且有时解题会显得更为简捷.结 论  积分在复变函数论中处于相当重要的地位,文章以复积分的计算方法为中心张开，分别论述了利用参数方程法、牛顿-莱布尼兹公式、柯西积分公式、柯西积分定理及其推论、留数定理来计算复积分

24、.对于每一种方法都列举了相应的例题加以说明,对有些例题用多种方法进行求解.文中对每一种求解方法在解题时需要注意的问题加以注释,几种方法之间的内在联系也予以说明.掌握了这些方法，在解题的时候弄清楚被积函数所满足的条件是什么，然后选择适当的方法，复积分的计算问题就迎刃而解.参 考 文 献1 钟玉泉. 复变函数论M.第3版. 北京:高等教育出版社,2004.1: 96-1302 麻桂英. 计算复积分的常用方法J. 阴山学刊,2003,(1):49-503 郭芳. 沿不闭曲线的复积分计算方法探析J. 保定师范专科学校学报,2006.19(2):6-84 李明泉. 复积分的求法探究J. 通化师范学院学报,2008,29(10):9-115 崔冬玲. 复积分的计算方法J. 淮南师范学院学报,2006,8(3):31-326 杨秀玲,李延. 在含区域上解析函数的复积分计算J. 高师理科学刊,2008,28(6):16-17,607 吴白旺. 利用复积分计算一种特殊类型的定积分J. 科技创新导报，2010,(02)：2418 完巧玲. 利用复积分计算实积分J. 菏泽学院学报，2010,32(2):28-319 严之山, 杨芬兰.关于复积分的计算J. 青海师专学报(教育科学),2004,(5):34-3610 白椿, 浅谈利用解析函数的变量替换求复积分J. 科技资讯，2010,(33)