损伤力学的基本原理

1、河海大学硕士学位论文7河海大学硕士学位论文第二章混凝土材料的损伤理论 2.1损伤力学的基本原理自然界中的每一次物质运动或状态变化都是一个热力学过程。可逆热力学过程是指过程 的每一步都可在相反的方向进行而不在外界引起其他变化。当运动或状态改变并伴有能量耗 散时，其热力学过程就是不可逆的。尽管，各种材料不同情况下的损伤表现形式很多、很复 杂，但它们有一个共同的特点：即损伤是一个需要耗散能量的不可逆热力学过程。因此，作 为含损伤（连续的缺陷场）的连续介质，需要满足连续介质力学的基本方程（质量守恒方程、 动量守恒方程、能量守恒方程）。静载下发生的损伤仍然可认为是准静态的过程：即过程变 化的非常慢，以至

2、于在极限意义下其每一时刻都可认为是平衡态。2. L 1损伤变量与热力学状态变量由连续损伤介质构成的集合体在热力学中称为一个系统。一个热力学系统中的状态变量 是一种可以直接或者间接测量的物理量。如果一个状态变量不是以前所发现的那些状态变重 的函数，它就被称为基本状态变量。例如，应变是可测量的，它反映了系统的畸变状态的程 度，通过应变的变化可以改变物体的内能，因此人们认为应变张量是描述固体介质热力学状 态的基本状态量；当应变保持为常值时，一个纯加热的热力学过程也可以改变固体的内能, 因而温度也是热力学系统中的一个基本状态变量。通常温度、应变这种基本状态变量又被称 为外部状态变量。内部状态变量是一种

3、不一定能够被直接测定，但实际上又可以像外部状态 变量一样处理、与基本状态变量独立的热力学变量，它们与基本状态变量一起唯一地决定一 个不可逆系统的状态。损伤变量便是一种用于描述材料内部损伤状态变化发展及其对此材料 力学作用影响的内部状态攀量。在外部因素（如力、盧/等）的作用下，材料内部将形成一定的微观缺陷，这些缺陷扩 展、汇合将造成材料逐渐劣化甚至破坏。从本质上讲，这些微缺陷是离散的，但作为一种简 单的近似，在连续损伤力学中，所有的微缺陷被连续化，它们对材料的影响用一个或几个连 续的内部场变量来表示，这种变量被称为损伤变量。损伤变量的定义和量化是损伤力学中两 个重要的概念。针对不同的问题，对损伤

4、变量的定义也不相同。如果不考虑损伤的各向异性, 损伤变量是一个标量，即在各个方向的损伤变量的数值都相同，没有方向性。如果考虑到损 伤的各向异性，损伤变量是一个矢量或者二阶张量甚至是更高阶的张量。为了便于建立较合 适的损伤模型来描述受损材料的力学效应，因此也可以根据材料的损伤将会引起其微观结构 和某些宏观物理性能变化的特点，从微观和宏观两方面来选择度量损伤的基准。例如：从微 观方面，可以选用孔隙的数目、长度、面积、体积或者裂隙的张开、滑移、闭合等缺陷；从 宏观方面，可以选用弹性模量、泊松比、屈服应力、拉伸强度、伸长率、密度、电阻、超声 波速和声辐射等。下面介绍一下关于损伤变量的两种定义。2.LL

5、1基于缺陷面积定义的损伤变量材料的一个代表性体积单元，设其在垂直于n方向的总截面面积为A,由于微缺陷的存在，导致实际的有效承载面积入比A小.即(2J)式中Ap为考虑了应力集中和缺陷相互作用之后的缺陷面积。在各向同性的假设下，损伤变 量D不随截面方向而变化，即与n无关，因此可以定义损伤变量缺陷面积与总面积之比,(Z2)d=t式中D=0对应于无损状态，D-1对应于材料的完全断裂。在此损伤变量的定义下，有效应 力张量可以表示为(2J)式中W为Cauchy应力张量.由此可见，这种损伤变量的定义隐含了一个假设，即认为所有 缺陷对拉伸和压缩的影响是相同的。这使得其应用受到了一定的限制。2. L L 2基于

6、弹性模量定义的损伤变量材料损伤通常导致材料中弹性刚度的降低.弹性模量在材料损伤阶段亦随之降低。于是损伤可以用弹性模量的变化来描述。1978年，Lemaitre和Chaboche以一维问题为例，将有 效应力的概念应用于弹性应变E和名义应力0下的损伤材料弹性变形，有 = o?/E(D) = S/E = g/E(1 D)(2.4)D = 1-E(D)/E7(2.5)V v r厂: 这里，E(D) ,E分别是损伤材料和无损材料的弹性模量，S为有效应力。方程(2.2)是损伤变量D的一种定义.将上述方法推广至三维问题中，如果损伤材料和无损材料的四阶弹性张 量分别记为总(D)和E,方程(22)可推广为(2,

7、6)S = E：g：(D)7w2. L2状态函数与损伤本构关系一个系统的不可逆热力学状态由一组基本状态变量和内变量确定之后，则应力张量与内 变量共辄的广义力及内能密度均为基本状态变量和内变量的函数。对于任何一个经受热力学 过程的不可逆系统，存在一个称为埼的状态变量，并且由爛可以推出自由能状态函数自由WE能状态函数是指等温过程中可用于对外做功的内能部分。因此一旦规定出状态变量之后，就 可以假定存在着某种热力学势，它是不同的独立状态变量的函数。如选取基本状态变量为应 变列和温度T,将其相关变量即对偶力和矯S加在一起，这四个状态变量仅有两个是独立的。任取其中的两个状态变量为自变量，则可组成不同的状态

8、函数即能量函数如Helmholtz自由能密度函数:=AJ(2.7)内能密度函数:(2,8)这两个状态函数之间的关系为 = e-Ts(2.9)状态方程是描述应力、广义力、爛与基本状态变量和内变量之间关系的方程，又被称为 本构方程，通常也将状态变量之间的关系称为本构关系。由于内变量可用于描述不可逆的耗散过程，因而又可称为耗散变量。应变可分解为弹性应变硏和非弹性应变畸，即(2.10)用D表示损伤变量（一般变量），其他变量（如表示塑性.粘性等影响）用A&表示，则Helmholtz自由能可表示为e=i)(AijA，T)(2.11)热力学第二定律的表达式为： pT_g_（pe-吋 ij）NO上式中大于0表

9、示不可逆过程，等于0表示可逆过程，式中p为物体密度；T为绝对温度（K）, h为热通量；g为温度梯度；e为单位质量含有的内能。将微分式（2.1D及式（2.9）带入式（2.12）得(2.12)Gj -p誥）號（$+寻）十+。屁-p因%-p話人-半咔。(2.13)由于药,T的任意性.则得损伤材料的本构关系为,(24a)(2.14b)11第二章混凝土材料的损伤理论Y宀P佥炉n）(2.14c)上式中丫为损伤能量释放率;Y*为相应的耗散内变量对偶力；n为除损伤变量之外，其他内变量的数目据此（2.13）式可简化为昭 + YR% + 丫人- g 。（2.15）式（2.15）为热力学第二定律的另一种表达形式，它

10、表示材料损伤、塑性.粘性等过程与热耗散之间的耗散关系。2.13损伤演变方程非平衡态热力学的最小爛原理指出：一个线性非平衡区系统.随着时间的推移将总是朝着使总爛产生的减少方向进行，直至达到一个稳定态，并且在此稳定态的总爛达到最小值。 由此可得，一个线性非平衡系统中发生的耗散过程，总是以最小耗散能率方式进行。设4）为单位质量的耗散能率，则由式（2.15）可得hPQ = 5尼 + 丫抄” + YaAa-g(2.16)对于不同的耗散过程，其相应的约束条件不同假设对于带损伤内变量的约束条件，可用对偶力形式表示为f(6Y,Y.,g) = 0引入Lagrange乘子入并令H=P -入 f根据毘小耗散原理，由

11、于各对偶力相互独立。则得dfdadf(2. 17)(2. 18)(2. 19)(2.20)df(2.21)式（2.19）, （2.20）, （2.21）分别为非弹性变形、损伤变量及其它可能引入的内变量的演变方程。Lagrange乘子入一般可由下式的一致性条件确定(2.22)f = 02.1.4耗散势与正交法则河海大学硕士学位论文从物理本质上讲，耗散是过程相关的，因此不存在势。这里所提的耗散势其实是一种伪 势。假设存在耗散势e,它是流动变量的连续正值函数，并以状态变量为参数。在流动变量 空间的原点处，耗散势为零。(223)式中 咯轴,人，为流动变量；砖,j,Aa，T为参变量。(2.24)根据势函

12、数中流动变量和相应的广义力之间的正交法则，得. y笔(2.25)由以上的分析可以看出：引入热力学势的概念后，可得到一个非常清晰的理论框架，并由此可导出材料的本构方程和演变方程。这也正是不可逆热力学的优越之处。当然在假定热 力学势的时候，必须仔细的推敲热力学变量的选定，由此也便带来了热力学势选取的主观性 和技巧性问题。2.2混凝土的损伤现象及损伤机理221损伤的宏观实验现象作为土木工程中常用的王程材料，如混凝土，在自然状态下属于明显的多孔介质材料, 混凝土受到一定的外力作用后，它的内部往往会在骨料界面附近产生许多微裂纹（损伤），其开裂面大体上同最大拉应力或者最大拉应变方向垂直，裂纹主要沿骨料界面发展，使混凝 结构的局部应力重新分布.例如，在非均匀应力场中，高应力区裂缝的产生会对低应力区产 生卸载效应，同时这种应变的软化还将引起混凝土泊松比的下降和体积应变的改变。土的应力应变关系曲线出现“应变软化”效应（如2）所示。应变的软化引起材料内部如果将应力张量分解为应力球量和应力偏量.相应的应变也分解为应变球量和应变偏量，对混凝土进行损伤力学