工程力学第11章答案(DOC)

1、第十一章 梁弯曲时的变形第十一章 梁弯曲时的变形习题11- 1 用积分法求下列简支梁A、B 截面的转角和跨中截面 C点的挠度。MeMeA EIAl/2 l/2(a)(b)解：（ a）取坐标系如图所示。弯矩方程为： Mex l挠曲线近似微分方程为：EIyMe ex l积分一次和两次分别得：EIyM e 2e x2 C ，2l（a）EIyM e 3 e x3 Cx D(b)习题11- 1 图边界条件为： x=0 时， y=0，x=l 时，y=0，代入（ a）、（b）式，得： C 6 l,D0梁的转角和挠度方程式分别为：y 1 ( M e x2EI 2l16 )，y EI (MelMe x3 Mel

2、x)66l所以：M el6EIB3MEeI l,B 3EIyCM el 216EIb）取坐标系如图所示。AC 段弯矩方程为： M M ex1BC 段 弯 矩 方(0 x1 2)程为EI BBM Mle x2 Me (2l x2 l)两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：CyMeA EIMeEIl/2 l/2Bx第十一章MeAC 段： EIy1e x1lM e 2EIy12le x12 C1 ，(a)EIy1M e x13 C1x1 D1 (b)6lBC 段： EIy2M e x2 M eEIy2M e x22 M e C2 ，(c)M e 3EIy2e x23 M ex2 C2x2 D2 (

3、d)6l边界条件为： x1=0 时，y1=0，x2=l 时， y2=0，变形连续条件为：x1 x2 2 时， y1 y2， y1 y2112M4 e l,D1 0，D224M e 2el2,8代入（a）、（b） 式、（c）、（d） 式,得：C1 M24e l, C2 梁的转角和挠度方程式分别为： AC 段：EI2lx1Mel24），y1EI6lx124lx1)BC 段：y2EI2lx2M ex211M el24），y2EI6lx2x211MlxMel24所以：M el24EI24EIl, yC11- 2 用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。解：M（a）b）习题 11- 2 图a）取坐标

4、系如图所示。弯矩方程为：qxAa）第十一章 梁弯曲时的变形挠曲线近似微分方程为： EIy q x22积分一次和两次分别得： EIy q x3 C ，（a）6EIy q x4 Cx D (b)2418ql边界条件为： x=l 时， y=0，y = 0， 代入（ a）、（b）式，得： Cql36 梁的转角和挠度方程式分别为：1 q 3 q 3 1 y ( x l ) ， yEI 6 63ql所以： AyA6EI A 8EIq 4 q 3 1 4( x l x ql ) EI 24 6 8 ql4b）取坐标系如图所示。弯矩方程为： M M挠曲线近似微分方程为： EIyM exAEIBleMe积分一次

5、和两次分别得： EIyMex Ca）EIyM e x2 Cx D (b)2 边界条件为： x=l 时， y=0，y = 0，代入（ a）、（b）式，得： C Mel,D 1M el 22e梁的转角和挠度方程式分别为：E1I ( M ex M el)y 1 ( M e x2EI 2所以： A M elM elx 1M el 2)Mel2, yAM2EelIEI11- 3 一悬臂梁在 BC 段受均布荷载作用，如图所示，试用积分法求梁自由 端截面 C 的转角和挠度。q习题 11- 3 图l/2 yqEICl/2第十一章解：取坐标系如图所示AB 段弯矩方程为： Mql2 x138ql2(0 x1 2)

6、12q(x2 两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为： 3 l 28BC 段弯矩方程为： Mql232x2 8ql 2l 2 l2l )2 (2l x2 l)AB 段： EIy1qlx1 3ql28ql 2 3 2EIy14 x1 8ql x1 C1 ，a)EIy1q123lx13 136 ql2x12 C1x1 D1 (b)BC 段：EIy2ql x2 3ql2 1q(x2 l )222 2 82 2 2EIy2q4l x22 83ql2x2 61 q(x2 2l )3 C24862c)ql 3 3 2 2 1 l x2ql x2q(x2 )12 2 16 2 24 2 边界条件为： x1=

7、0 时，y1=0，y1=0，EIy2C2x2 D2 (d)变形连续条件为： x1 x2时， y1代入( a)、(b) 式、(c)、(d) 式, 得： 梁的转角和挠度方程式分别为：32 8ql2x1) ，AB 段： y1E1I( q4l x12y2，y1 y2C1 0, C2 0,y1 1 ( q lx131 EI 12 1D1 0，D2 016ql2x12)BC 段：1 ql y22 EI 42x2328ql2x216q(x2 2l)33 ql16所以： C 7ql , yC C 48EI C11- 4 一外伸梁受均布荷载，如图所示，试用积分法求 A、B 截面的转角以 及 C、 D 截面的挠度

8、。y2 1 ql2 EI 123x232 2 1 l 4 2x22 24q(x2 2)441ql 4 , 0, yC 0 384EI CqD EI BDy习题 11- 4 图EI第十一章 梁弯曲时的变形解：取坐标系如图所示AB 段弯矩方程为：M 3ql x1 1qx12 (0 x1 2l)BC 段弯矩方程为：3ql 1 2 9Mx2qx22ql(x2 2l) (2l x2 3l)424两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：AB 段： EIy13qlx11qx12141213ql 21 3EIy1x1qx1 C1 ，(a)861EIy13qlx13 1 qx14 C1x1 D1 (b)2424

9、BC 段： EIy23ql x2 1qx22 9ql(x2 2l)4 2 43ql 2 1 3 9 2EIy2x22qx23 ql(x2 2l) 2 C2 (c)868EIy2q8l x23 214 qx24 294 ql (x2 2l)3 C2x2 D2 (d)边界条件为： x1=0 时，y1=0， 变形连续条件为： x1 x2 2l时， y1 y2 0， y1 y2 代入( a)、(b) 式、(c)、(d) 式,得： C1 1ql3, C2 ql ,D1 0，D2 0 66梁的转角和挠度方程式分别为： AB段： y1 E1I ( 38ql x12 61qx13 16ql3)1 q 3 y1

10、 EI ( 8lx13 BC 段：1 3ql y2 x2 EI 8214 qx1424ql63x1)y2 E1I 16 qx2369298ql(x2 2l)21ql36ql x32 1 qx428 2 24 293294ql(x2 2l)316ql3x2所以： ql 3ql4 ql 4A 6EI , B0, yC 8EI , yD 12EI第十一章11- 5 用积分法求位移时，下列各梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程 式？试分别列出积分常数时所需的边界条件和变形连续条件。q(a) (b) 习题 11- 5 图 解：(a)分三段。 AB 、BC、CD 段位移分别为 y1、y2、y3。则边界条件

11、B 点： x1 x2 2l 时 , y1 y2 0,C 点：3lx2 x3 2 时 , y3 y2 0,变形连续条件为： x1x22l 时,y1y2 ,x1x22l 时 ,y1y2( b)分两段。 AB、BC 段位移分别为 y1、y2。 则边界条件 A 点： x1 0时 , y1 0,B 点： x2 x3 l 时, y1 y2 0,变形连续条件为： x1 x2 l时 , y1 y2 ,21 1 2EIy21qlx M e 21qx2解：取坐标系如图所示。11- 6 一简支型钢梁承受荷载如图所示，已知所用型钢为 18 号工字钢， E = 210GPa， M = 8.1kN m，q = 15kN/

12、m，跨长 l = 3.26m。试用积分法求此梁跨中 点 C 处的挠度。挠曲线近似微分方程为：积分一次和两次分别得：EIy1qlx2 M ex 1qx3 C(a)4 e 6EIy112 qlx 3 M2e x2 214 qx4 Cx D (b)第十一章 梁弯曲时的变形边界条件为： x=0=l 时， y=03代入( a)、(b)式，得： CM2el q2l4 , D 0梁的挠度方程式为：EI 112 qlx3214qx1( 214 qlMex2)x所以4 2 3 4 3 2 y 5ql 4M el15151033.2648.11033.262yC 384EI 8EI 210 109 1660 10

13、 8 384 8-33.24 10-3(m) 3.24mmC 点的挠度。11- 7 一简支梁受力如图所示，试用叠加法求跨中截面习题 11- 7 图解：当右边的 F 单独作用时，查表得：yCFbx (l 26lEI (lx2 )Fa6 4a EI2 2 2 16a 2 a2 4a 211Fa312EI由对称得：3311Fa311Fa 3yC2C 12EI6EI试用叠加法求 A、B截面的转角和跨中截面 C 的挠度。11- 8 一简支梁承受均布荷载作用，并在 A 支座处有一集中力偶作用，如 图所示，已知： M q2l0 ，解：当 q 单独作用时，32q4lEI , Bqql 3 ,24EI4 y5q

14、l 4yCq 384EI当 Mq 单独作用时，AMMl3ql33EI Ml60EIBq 6EI3ql3120EI以Ml 216EIql4320EIAMql34q0lEI , B Bq BMql 3 ,30EI ,19ql4yC yCq yCM 1920EI11- 9 一悬臂梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。习题 11- 8 图习题 11- 9 图第十一章, Bql 3 ql, B 6EI2l ql 32 48EI解： yB q l 4 ql4 B 8EI 2 128EI4 所以： yCyB 2l B 12q8l EI11- 10 一外伸梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的

15、转角和挠度。 已知： F = ql/6。7ql4384EI48EI, C Bql348EIl/2习题 11- 10 图解：对 AB 段，看作在均布荷载和力偶 Fl/2 作用下的简支梁，3ql324EIFl 2ql36EI 36EI所以：B Bq BM 72EI则，BqBM 3EI3yC2B 2lql4144EI将 BC段看作悬臂梁，固定端处有转角 B , 则yC1 Fl 3 Fl 3 ql4C1 3EI 2 24EI 144EI所以： yC yC1 yC2 0CFFFlql2EI 28EI48EI则 CCF B3ql348EI3ql372EI3ql3144EI11- 11 试用叠加法求下述悬臂

16、梁自由端截面的挠度和转角F M=Fl(a)EIal/解：(a)当 M 单独作用时， yCM(b)习题 11- 11 图Ml 2 Fl 3 , Ml Fl22EI 2EI , CM EI EI第十一章 梁弯曲时的变形当 F 单独作用时，所以： yCF y BFy BF 3EI 224EIBF 2EI2l 2 8FElI2BF 2l 5Fl 348EICFBFFl28EIFl3则： yCyCMyCF2EI5Fl 348EI29Fl 348EI解：（b）当 C 点处的 F 单独作用时，Fa3yC 3EIFl2CM CF EIFa22EIFl28EI9Fl28EI此时 y B1 yC C 2a4Fa3

17、3EIB1CFa22EI当 D 点处的 F 单独作用时， y DF(2a)38Fa33EI3EIDF(2a)22Fa22EIEI此时 y B2 yDD a 143FEaI 3B22Fa2EI6Fa3所以 y B yB1yB2EIB1B25Fa22EI11- 12 一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示， 已知：l = 6m， M = 4kNm，f1q=3kN/m， lf 4100 ，工字钢为 20a，钢材的弹性模量 E = 200GPa，试校核梁的刚度。AMEI lq习题 11- 12 图MAAqFBEIl/2l/2习题11-13 图By max5ql 4Ml 22384EI 16EI200 10

18、9 2370 10 8 (345 3 103 64384324 103 422 ) 0.01448m 14.48mm16则 ymaxl 4114 lf 4100 ，所以刚度满足要求。第十一章11- 13 一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知： l = 6m，F = 10kN， q = 4kN/m ， f 1 ，材料许用应力 150MPa ，弹性模量 E = 200GPa，试l 250 选择工字钢的型号并校核梁的刚度。解：跨中最大弯矩为：maxF4l24 621 10 64) 33kNql8W333 103150 1060.12 10 3m3 220cm 3取20a，则ymax45ql438

19、4EIFl48EI1 ( 5 4 103 64 98200 109 2370 10 8 3843210 103 6248) 0.0237 m 23. 73m mymax1252.8 l 250，所以刚度满足要求11- 14 在下列梁中，指明哪些梁是超静定梁， 并判定各种超静定梁的次数。FqFqa）q(c)q(e)b）(f)习题11- 14 图解：（a）2次；（b）1次；（c）2 次；（d）1 次；（e）静定结构；（f）3次。(b)(a)F11- 15 试画出下列各超静定梁的弯矩图。第十一章 梁弯曲时的变形解：（a）该梁为一次超静定梁，将 B 支座视为多余约束，解除该支座，并施 加多余约束反力

20、FRB。根据该梁的变形条件，梁在 B 点的挠度应为零，即补充方 程式为：yB 0a）由叠加法:yByBMyBF 0式中：yBM 为梁在力偶单独作用下引起的 B 点的挠度（图 d），由表格 11- 1 可查得：yMl 2yBM2EIyBF为梁在 FRB单独作用下 B点的挠度，同样由表格11- 1可查得：FRBl2FRBl 3yBF 2lBF 6EI 3EI 将 （b） 、（c）两式代入式（ a），得：Ml 22EI33EI 0FRBlb）c）d）由该式可解得： FRB3M2l则 M 图为：（b）该梁为一次超静定梁，将 B 支座视为多余约束，解除该支座，并施加 多余约束反力 FRB。根据该梁的变形

21、条件，梁在 B 点的挠度应为零，即补充方程 式为：yB 0a）由叠加法:yByBFyRB 0第十一章式中： yBF为梁在 F单独作用下引起的 B点的挠度，由表格 11- 1可查得： yBFyCCaF(2a)3F(2a)2a 14Fa3BFC C 3EI 2EI 3EIyRB为梁在 FRB单独作用下 B点的挠度，同样由表格 11- 1可查得：FRB39FRBayRB3ERBI (3a) RB将 (b) 、(c)两式代入式( a)，得： 14Fa3 9FRBab)EIc)由该式可解得：FRB303EI EI14F27d)则 M 图为：(c) 该梁为一次超静定梁，将 B 支座视为多余约束，解除该支座

22、，并施加多 余约束反力 FRB。根据该梁的变形条件，梁在 B 点的挠度应为零，即补充方程式 为：yB0由叠加法:yRB 0( a)B 点的挠度，由表格 11 - 1 可查得： x2 ) 11Fa 3yB yBF式中： yBF为梁在 F单独作用下引起的y Fbx(l 2 b2yBF6lEI 12EIyRB为梁在 FRB单独作用下 B点的挠度，同样由表格 11- 1可查得：FRB 364FRBayRB(4a)RB 48EI 48EI 将 (b) 、(c)两式代入式( a)，得：11Fa 3 64FRBab)c)3012EI 48EId)由该式可解得： FRB 11FRB 16则 M 图为：(d)

23、该梁为三次超静定梁，将 A 支座化为固定铰支座，解除该支座的转动 约束，并施加多余约束反力 MA。将 B 支座化为可动铰支座，解除该支座的转动 约束和水平约束，并施加多余约束反力 MB 和水平力 HB，由于水平支反力对位移 的影响可忽略不计，所以先不考虑 HB，根据该梁的变形条件，梁在 A 点和 B 点 的转角应为零，即补充方程式为：A 0 B 0由叠加法:A AF AMA AMB 0, B BF BMA BMB 0,(a) 式中： AF和 BF为梁在 F单独作用下引起的 A 点和 B点的转角，由表格 11- 1 可查得：第十一章 梁弯曲时的变形F(2a)2Fa2,F(2a)2Fa2 ,AF1

24、6EI4EI ,BF16EI4EI ,AMA 和 BMA 为梁在 MA单独作用下 A点和 B点的转角，同样由表格 得：AMA MA (2a) 2MAa, BMAMA (2a) MAa,AMA 3EI 3EI BMA 6EI 3EI(b)11- 1 可查(c)11- 1 可查6MEBI (2a) M3EBIaBMA 3EI (2a)2M Ba3EId)将 (b) 、c)(d) 式代入式( a)，得：Fa24Fa242M Aa M BaAB3EI 3EIM Aa 2M BaAB3EI 3EI由上式可解得：MAFaMBFa4AMB 和 BMB 为梁在 MB单独作用下 A 点和 B 点的转角，同样由表

25、格 得：则 M 图如下：(e) 该梁为一次超静定梁，将 B 支座视为多余约束，解除该支座，并施加 多余约束反力 FRB。根据该梁的变形条件，梁在 B 点的挠度应为零，即补充方程 式为：yB 0由叠加法:yB yBq yRB 0式中： yBq为梁在 q单独作用下引起的 B点的挠度，由表格 11- 1可查得： 2 2 2 2qx2( x2 6l2 4lx) q(2a)22 2yBq24EI24EI4(2a)2 6(3a)2 4 3a 2a 364EqaIyRB为梁在 FRB单独作用下 B点的挠度，同样由表格 11- 1可查得： yRBFRB (2a)3 8FRBaRB3EI 3EI将 (b) 、(

26、c)两式代入式( a)，得：34qa 8FRBa306EI 3EIa)b)c)d)由该式可解得： FRB 17qa8则 M 图为：11- 16 一集中力 F 作用在梁 AB 和 CD 连接处，试绘出二梁的弯矩图。已 知：EI1 = 0.8EI 2。第十一章习题 11- 16 图解：该梁为一次超静定梁， AC 和 CD 梁的受力图如图所示，其中 FC为未知力变形条件为：二梁在自由端处挠度相等，即： yB A yCD由表格 11- 1 可查得：3yBA F3EIF1C (2a)3 8(3F 0.8FECI)2a3yCDFC 3 a 3EI2代入上式解得：FC 1101F则弯矩图为：11- 17 在

27、下列结构中，已知横梁的弯曲刚度均为 EI，竖杆的拉伸刚度均为 EA，试求图示荷载作用下各竖杆内力。l(a)qACl/2l/2(b)习题 11-17 图a）解：（a）该结构为一次超静定结构，将 BC 杆的拉力 FBC看作多余约束，变形方程为：yBAyBC式中 yBA为梁 AB在 q和拉力 FBC共同作用下，B端的挠度。yBC为拉杆 BC的伸长 量。yBA yqyFBC 8EqI l4FBCl3EIFBC yBCaBC EA第十一章 梁弯曲时的变形代入（ a）式得： FBC3Aql48( Al 3 3aI )a）b）该结构为一次超静定结构， 将 EC 杆的拉力 FEC看作多余约束， 变形方程为：yCEyC式中 yC为梁 AB在q和拉力 FEC共同作用下， C点的挠度。 yCE为拉杆 EC的伸长 量。代入（ a）式得：5q 4 FECl yCyqyFEC 384EI l 48EIFEC yECaEC EAF5Aql 4EC 3EC 24( Al 3 16aI )11- 18 梁 AB因强度、刚度不够，用同一材料和同样截面的短梁 AC