北京市十届甲乙组试题与解答

1、第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答(2007 年 10 月 14 日 下午 2： 30-5 : 00)注意：本考卷共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题 一、 填空题(每小题 2分，共20分)1. 设当xt 1时，1 一my是x -1的等价无穷小 ，贝V m =1 +x 十+xmA 解 m = 3.(x -1)(x -2) (x -n)2. 设 f (x),贝V f (1)=.(x+1)(x+2)(x + n)解f(1)=止n(n +1)3. 已知曲线y =f(x)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为一1,则lim V f(1)n 口n1解 lim 1 f (1)n =e.ken

2、1n -n”：nn4. lim 'n _. k =1n25.2 x sin xn2巧(1 cosx)解原式=4 - n.6. 设函数z=f(x,y)在点(0,1)的某邻域内可微，且f(x,y2x 3y - oG7'),其中x2y2,则曲面z = f(x,y)在点(0,1)处的切平面方程为.解 切平面方程为2x，3y-z-2 0.7. 直线口=二口 绕z轴旋转的旋转曲面方程 为0 1 1解旋转转曲面方程x2 y2 -z =1.8. 设L为圭寸闭曲线 |x|x，y| = 1 的正向一周，贝V - x2y2dx -cos(x y)dy 二.解原式=0.9. 设向量场 A=2x3yz

3、i -x2y2 z j- x2yz2 k,则其散度 div A 在点 M (1,1,2)处沿 方向I二2,2,-1的方向导数(divA) |M二.cl解原式旦.310. 设y =e2x (1 x) ex是二阶常系数线性微分 方程y” ： y，y二ex的一个特解,则 心十呼十丫2 =.解 / ,又一泊丈x| *y| *.x2 y2. x2y2x2 y2x2y2x2 y2所以li&X ：少以2丫)j.由定义f(x, y)在(0,0)点处可微.x 0 x y三、(10分)设f (x)在区间-1,1上三次可微，证明存在实数匚三(-1,1),使得 f 輕)f(1)f(_1)6f(1)-f(0)

4、f (0) f 20 f(1)=f(0)f(0)f (0) 一f (2),2!3! f(1)-f(-1) =2f(0) f ( 1) - f ( 2).6由导数的介值性知存在实数；(1, -2),使得f ()=丄f 厂f (2).于是 6 -四、(10分)设函数u(x,y),v(x,y)在闭区域D: x2y2 <1上有一阶连续偏导数，又：u -i ：v _ ：v j,且在d的边界上有伙:y:x:yu(x, y)=1, v(x,y)=y,求 iif *g d：D =14.二、(10分)设二元函数f (x,y) =|x - y|®(x,y),其中®(x, y)在点(0,0

5、)的一个邻域内连续 试证明函数f(x, y)在(0,0)点处可微的充分必要条 件是(0,0) =0.证(必要性)设f(x, y)在(0,0)点处可微,则fx(0,0), fy (0,0)存在. 由于fx(0,0)邨 f(x,0)f(0,0)x|(X,。)且 lim |x| ：(x,0)“(0,0),x_0 x(充分性)若(0,0) =0,则可知f (x, y) - f (0,0) - fx(0,0)x - fy (0,0) y | x - y | :(x, y)limx一0 -fx(0,0) =0, fy(0,0) =0.因为|x| (x,0) _ _ (0Q),故有：(0,0)=0.-f (

6、0).f ( 1)3!f (x,y)=v(x,y) i u(x,y) j, g(x,y)二x«g 二 V:U：u；：v：vU Ir.fII.rrIr；x:-y:-X:-y:-Xi : _d uvdx uvdy ydx ydyd：yLL2 n(-sin2 v sin vcosv)dv - - n, L : x2y20五、（10分）计算启u兰二凹一如jy；:yjx ：y=1,正向.222222 Zx dydz y dzdx z dxdy,其中匕:(x -1)(y -1)1(y _1),取外侧.一42设0：y=1,左侧,D :(x -1)2 -1,则原式='!巴4"3-d

7、zdx - -2 n,D2=2 111 (x y z)dv =2 111 (x y)dv =2 苦 d" i 2(r cosvsin亠 rsin vsin。亠2)r sin dr 亍 vV0001xVn n 1 2 1 2 2=4971 ( costs in2si n vsi n2sin )d :=19c 25，” 原式=n+2 n =n.33另解设厶：y =1,左侧,D:（x -1）219n3 n，2: _1,则原式一-.W20故原式=2 | (x y - z)dv 2 n.V2二- dzdx = -2 n,=2 11 (x y z)dv,血 V2 24z111 xdv xdx 1

8、1 dydz = n x(2x x )dx n, Dx : (y -1)2x x ,y _1,00342221 12 z22111 ydv = ydx 11 dzdx = n y 2 (2y y )dy n, Dy : (x -1)2y - y ,心1 xJ064VDy原式 =8 冗* 11 n+ 2 n330 Dx225n.3六、（10分）设正项级数3+2a2+八十(1)nm 1200an收敛,且和为S.试求：nFnana1 2a2na.;(2)nnmn (n 1)解(1)a12岂nan=SnSn_SSn_S2 Sn_ S.n仝n-2弘n»SS陥 n"n+2a2 + +n

9、an.lim -2nn .：na- 2a2 亠 亠 nan() n(n T)a1 2a2 亠 亠 nan=S 'S = 0;a 2a2 亠亠 nana1 2a2 亠 亠 nannn +1a- 2a?nan (n 1)ain +1bn /纽叫n则 a1 2a2 nann(n +1)=bn_ bn：；1 * an 1oOn =12a2 - nann (n 1)解水平方向的阻力由牛顿第二定律，有Rx =kxv2,垂直方向的阻力 Ry =kyv2,摩擦力 W =(mg-Ry). d2s . kx - ky2-dt2 m厝）2飞“.分离变量得-.'g,根据题意知AvdVB“,积分得d2s

10、ds 2dv2A 0.于是有 一2 - A()2 - B =0,即Av2 - B =0.dtdtdt1Aarctan(. v) - J C.ABBoOoO=b1 二 an 1an = S.n 丄n -1七、（10分）飞机在机场开始滑行着 陆.在着陆时刻已失去垂直 速度,水平速度为V0米/秒. 飞机与地面的摩擦系数 为,且飞机运动时所受空气 的阻力与速度的平方成 正比,在水 平方向的比例系数为kx千克 秒2 /米2,在垂直方向的比例系数 为ky千克秒2/米2.设飞 机的质量为m千克,求飞机从着陆到停止所 需的时间.代入初始条件t =0, v =v0, 得T=arctankilv0).<AB

11、 B,，_A1TAtarctan(, v0厂arctan(.v).AB、BJABB当 v =0时，t = J_ arctangBvo) = m arctan Jkx% (秒).ABFb 0丿Ukx-也)旳mMg°以下两题乙组考生不做八、（10分）证明sin 1是无理数.证 设sinl是有理数，则sin 1二卫，p, q是互素的正整数.q根据si nx的展开式有 卫=1 -丄 丄一丄.4 Cdcos (2 n- 1 . q). q 3!5!7!(2n -1)!(2n+1)!由 (2 n- 1)!卫=(2 n-1)!1 11-凹 (1) cos 知，q3!5!7!(2n 1)!2n(2n

12、 +1)()n2n(2n1)cos-是整数(两个整数之差仍是整数).然而|cos V，2n 1,故("cos不可能是整数，矛盾.2n (2 n +1)所以 sin 1是无理数.,n九 (10分)在区间(0,)内，试比较函数tan(sin x)与sin(tan x)的大小，并证明你的结 论. 2解 设 f(x)二tan(sinx) -sin(tanx),则22cos3 x -cos(tan x) cos2(sin x)f (x) =sec (sin x)cosx-cos(tanx)sec x22cos (sin x) cos x当 0 <x carcta n 上时， Octa n

13、xv n, 0 <s in x < .2 2 2由余弦函数在(o,n上的凸性有23 cos(tanx)cos2(sin x) _cos(tanx) 2cos(sinx) _cos _.33x设 :(x) =tanx 2sinx-3x, (x) =sec2 x 2cosx-3 = tan2x-4sin20.2 tanx 2sin x2, .、3<cosx,即 cos(tanx)cos (sin x) <cos x.于是 tanx 2sinx 3x,所以 cos3于是当x (0, arctan)时，f"(x)>0,又 f(0)=0,所以 2当 x 可arctan ,n)时,si