数学建模 水厂选址

1、水厂供水方案学号：311009030218专业班级：信管1002班 姓名：李亚坤水厂供水方案摘 要：选址是生活中经常遇到的问题，如向居民输送自来水等都是实际需要考虑的问题，在解决此类问题时，可以将实际问题具体化，首先将总区域建立成一个平面坐标，接着将居民区简化成坐标，如此，便可将复杂的生活问题化成数学建模问题。从建造和经营两方面考虑，在水厂规模及位置未知时，根据日供水收益、居民点分布、投资修建管道的费用等关系，通过约束条件来约束各个变量之间的关系，将其转化为线性规划问题，建立对应的数学模型，利用lingo软件进行求解，得出最优方案。本文正是研究了一个向六个居民区输水的A、B水厂的选址问题。对于

2、问题一，本论文采用线性最优化的思想，对成本在约束函数的条件下，求解其最小值，求解过程使用lingo软件。对于问题二，由于A、B水厂地址不确定，建立模型为二元二次函数求解。对于问题三，可在问题二的基础上进一步讨论。关键字：线性最优化，选址，lingo问题重述水厂供水方案 某城市拟建A、B两个水厂。从建造和经营两方面考虑，水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨。由于水资源的原因，A、B两个水厂日进水量总和不超过80万吨。A、B两个水厂共同担负供应六个居民区用水任务，这六个居民区的位置及拥有的家庭户数由表1给出，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用水的成本为1.

3、05元/吨公里。表1各居民区的位置和拥有的家庭户数居民点1 2 3 4 5 6位置xi0 1 2 3 4 5yi4 5 4 4 1 2家庭户数（万户）10 11 8 15 8 22(1)若已知A、B两个水厂的位置分别为A=A(1，4)和B=B(4，2)，试确定供水方案使总成本最低；(2)若A、B两个水厂的位置尚未确定，请你确定它们的位置及供水方案使总成本最低；(3)如果该某城市要在平直河岸L(设L位于横坐标轴)上建一抽水站P，供应同岸的A、B两个水厂。考虑到输水管道沿线地质情况等原因，假设在修建OA、OB、OP三段管道（如图1）时，每公里的耗资由相应的管道日供水量决定，参见表2。水厂按超额加价

4、收取水费，即每户日基本用水量为0.6 吨，每吨水费1.2元，超额用水量的水费按基本用水量的水价加价20。试确定该城市将供水收益全部用于偿还修建OA、OB、OP三段管道投资费用的最优方案。 表2管道修建费用日供水量（万吨）30 40 50 80每公里耗资（万元）50 65 75 90问题分析A、B两厂的总进水量为80吨，所以两厂的规模只能为（30，50）、（40，40）、（50，30）三种方式。对于问题一，要求总成本最低，由题意知成本只跟供水的吨数和输送的距离有关，同时受到用户用水量，建厂规模和水厂日进水量三个条件的约束。距离可由各点的坐标求出，所以建立模型时只要假设A、B两水厂分别供应各居民点

5、的吨数，用lingo求解即可。对于问题二，成本只跟供水的吨数和输送的距离有关，且约束条件和问题（1）相同，所以在问题一的基础上将已知的A、B两点改为未知的，然后建立模型，用Lingo求解。对于问题三，应该保证A、B水厂供应居民点用水的成本最低，然后再考虑修建OA、OB、OP三段管道的成本最低问题。在问题二中已经求出了成本最低的A、B水厂位置，故本问题转化为在已知位置坐标的前提下，求OA、OB、OP三段管道总长的最小值，即可保证修建成本最低。模型假设1.水厂与居民点的距离为直线距离。2.水厂供应居民点用水的成本只跟供水的吨数和输送的距离有关。3.各用户用水量始终保持不变。4.各居民区拥有的家庭户

6、数不发生变化。5.不考虑修管道过程中的损失。6.不考虑在运输途中没有水资源的流失。7.水厂和用户均看成质点。符号说明xa ya 分别为水厂A的 x y 坐标 xb yb分别为水厂B的 x y 坐标xo yo分别为o点的x y坐标xp 为p点的x轴坐标n 为天数 x11 水厂A供应居民点1的供水量x12 水厂A供应居民点2的供水量x13 水厂A供应居民点3的供水量x14 水厂A供应居民点4的供水量x15 水厂A供应居民点5的供水量x16 水厂A供应居民点6的供水量 x21 水厂B供应居民点1的供水量x22 水厂B供应居民点2的供水量x23 水厂B供应居民点3的供水量x24 水厂B供应居民点4的供

7、水量x25 水厂B供应居民点5的供水量x26 水厂B供应居民点6的供水量 问题一一、模型建立：各居民点距离A、B厂的距离如下表：居民点123456距离A厂11124.424.47距离B厂33.163232.05由上面的问题分析，以及模型假设，可知要求总成本最低，于是有：min =1.05*（x11+x12+x13+2*x14+4.42x15+4.47*x16+x21*3+3.16*x22+3*x23+2*x24+3*x25+2.05*x25） 1、对于A厂规模为50万吨，B厂为30万吨情况：约束条件：x11+x21=10；x12+x22=11；x13+x23=8；x14+x24=15；x15+

8、x25=8；x16+x26=22；x11+x12+x13+x14+x15+x16<=50；x21+x22+x23+x24+x25+x26<=30；2、A厂规模为30万吨，B厂为50万吨情况：约束条件：x11+x21=10；x12+x22=11；x13+x23=8；x14+x24=15；x15+x25=8；x16+x26=22；x11+x12+13+x14+x15+x16<=30；x21+x22+x23+x24+x25+x26<=50；3、A、B两厂规模都为40吨的请情况约束条件：x11+x21=10；x12+x22=11；x13+x23=8；x14+x24=15；x15

9、+x25=8；x16+x26=22；x11+x12+x13+x14+x15+x16<=40；x21+x22+x23+x24+x25+x26<=40；二、模型求解：把所有的约束条件作出线性规划的模型，对 min 取最优化解，输入lingo求解，求出结果如下：第一种情况：Global optimal solution found. Objective value: 134.5050 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X11 10.00000 0.000000

10、X12 11.00000 0.000000 X13 8.000000 0.000000 X14 15.00000 0.000000 X15 0.000000 1.491000 X16 0.000000 2.541000 X21 0.000000 2.100000 X22 0.000000 2.268000 X23 0.000000 2.100000 X24 0.000000 0.000000 X25 8.000000 0.000000 X26 22.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 134.5050 -1.000000 2 0.0

11、00000 -1.050000 3 0.000000 -1.050000 4 0.000000 -1.050000 5 0.000000 -2.100000 6 0.000000 -3.150000 7 0.000000 -2.152500 8 6.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000第二种情况： Global optimal solution found. Objective value: 134.5050 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 1 Variable Value Reduced

12、Cost X11 10.00000 0.000000 X12 11.00000 0.000000 X13 8.000000 0.000000 X14 0.000000 0.000000 X15 0.000000 1.491000 X16 0.000000 2.541000 X21 0.000000 2.100000 X22 0.000000 2.268000 X23 0.000000 2.100000 X24 15.00000 0.000000 X25 8.000000 0.000000 X26 22.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price

13、 1 134.5050 -1.000000 2 0.000000 -1.050000 3 0.000000 -1.050000 4 0.000000 -1.050000 5 0.000000 -2.100000 6 0.000000 -3.150000 7 0.000000 -2.152500 8 1.000000 0.000000 9 5.000000 0.000000第三种情况： Global optimal solution found. Objective value: 134.5050 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations

14、: 1 Variable Value Reduced Cost X11 10.00000 0.000000 X12 11.00000 0.000000 X13 8.000000 0.000000 X14 5.000000 0.000000 X15 0.000000 1.491000 X16 0.000000 2.541000 X21 0.000000 2.100000 X22 0.000000 2.268000 X23 0.000000 2.100000 X24 10.00000 0.000000 X25 8.000000 0.000000 X26 22.00000 0.000000 Row

15、Slack or Surplus Dual Price 1 134.5050 -1.000000 2 0.000000 -1.050000 3 0.000000 -1.050000 4 0.000000 -1.050000 5 0.000000 -2.100000 6 0.000000 -3.150000 7 0.000000 -2.152500 8 6.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000三、结果分析：可知三种方案的最低成本是一样的，不同点在于对于第四居民点的供水分配：当水厂的规模为30，50时，全部由B水厂供给；当水厂的规模为40，40时，A厂供给5万吨，

16、B厂供给10万吨；当水厂规模为50，30时，全部由A厂供给。又由于，水厂的成本与规模无关，所以以上三种方案都是可行的。方案一：A水厂的规模为30万吨，B水厂的规模为50万吨；居民区1、2、3均由水厂A来供水，居民区4、5、6由B水厂来供水。方案二：A水厂的规模为40万吨，B水厂的规模为40万吨；居民区1、2、3均由水厂A来供水，居民区4，由A（5万吨）、B（10万吨）一起来供水，居民区5、6由水厂B来供水。方案三：A水厂的规模为50万吨，B水厂的规模为30万吨；居民区1、2、3、4均由水厂A来供水，居民区5、6则由B来供水。三种方案的，供水成本均为134.5050万元。问题二一、 模型建立：m

17、in=(x11*(xa-0)2+(ya-4)2)0.5+x12*(xa-1)2+(ya-5)2)0.5+x13*(xa-2)2+(ya-4)2)0.5+x14*(xa-3)2+(ya-4)2)0.5+x15*(xa-4)2+(ya-1)2)0.5+x16*(xa-5)2+(ya-2)2)0.5+x21*(xb-0)2+(yb-4)2)0.5+x22*(xb-1)2+(yb-5)2)0.5+x23*(xb-2)2+(yb-4)2)0.5+x24*(xb-3)2+(yb-4)2)0.5+x25*(xb-4)2+(yb-1)2)0.5+x26*(xb-5)2+(yb-2)2)0.5)*1.05;1、

18、对于A厂规模为50万吨，B厂为30万吨情况：约束条件：x11+x21=10；x12+x22=11；x13+x23=8；x14+x24=15；x15+x25=8；x16+x26=22；x11+x12+x14+x15+x15x+x16<=50；x21+x22+x23+x23+x25+x26<=30；2、A厂规模为30万吨，B厂为50万吨情况：约束条件：x11+x21=10；x12+x22=11；x13+x23=8；x14+x24=15；x15+x25=8；x16+x26=22；x11+x12+x14+x15+x15x+x16<=30；x21+x22+x23+x23+x25+x26

19、<=50；3、A、B两厂规模都为40吨的请情况约束条件：x11+x21=10；x12+x22=11；x13+x23=8；x14+x24=15；x15+x25=8；x16+x26=22；x11+x12+x14+x15+x15x+x16<=40；x21+x22+x23+x23+x25+x26<=40；二、模型求解：第一种情况： Local optimal solution found. Objective value: 82.20619 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 78 Variable Value Red

20、uced Cost X11 0.000000 3.646430 XA 5.000000 -0.3814463E-05 YA 2.000000 0.3079970E-05 X12 0.000000 4.248758 X13 0.000000 1.753020 X14 14.00000 0.000000 X15 8.000000 0.000000 X16 22.00000 0.000000 X21 10.00000 0.000000 XB 0.9853564 0.000000 YB 4.731820 0.000000 X22 11.00000 0.000000 X23 8.000000 0.000

21、000 X24 1.000000 0.000000 X25 0.000000 4.271525 X26 0.000000 5.817975 Row Slack or Surplus Dual Price 1 82.20619 -1.000000 2 0.000000 -2.007993 3 0.000000 -1.001242 4 0.000000 -2.032809 5 0.000000 -2.969848 6 0.000000 -1.484924 7 0.000000 0.000000 8 6.000000 0.000000 9 0.000000 0.7192330第二种情况： Local

22、 optimal solution found. Objective value: 113.5935 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 157 Variable Value Reduced Cost X11 0.000000 0.2314058 XA 3.000000 -0.1319583E-05 YA 4.000000 -0.2655084E-05 X12 11.00000 0.000000 X13 4.000000 0.000000 X14 15.00000 0.000000 X15 0.000000 4.571296 X

23、16 0.000000 5.705677 X21 10.00000 0.000000 XB 5.000000 0.2785888E-05 YB 2.000000 0.2791161E-06 X22 0.000000 0.1662998 X23 4.000000 0.000000 X24 0.000000 0.2340196 X25 8.000000 0.000000 X26 22.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 113.5935 -1.000000 2 0.000000 -5.654423 3 0.000000 -5.08370

24、0 4 0.000000 -3.785829 5 0.000000 -2.735829 6 0.000000 -1.484924 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 2.735829 9 6.000000 0.000000第三种情况： Local optimal solution found. Objective value: 72.21253 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 152 Variable Value Reduced Cost X11 0.000000 2.318403 XA 5.000

25、000 0.2774251E-06 YA 2.000000 0.7111481E-07 X12 0.000000 2.625978 X13 0.000000 1.804392 X14 4.000000 0.000000 X15 8.000000 0.000000 X16 22.00000 0.000000 X21 10.00000 0.000000 XB 1.676656 0.000000 YB 4.242165 0.000000 X22 11.00000 0.000000 X23 8.000000 0.000000 X24 11.00000 0.000000 X25 0.000000 4.2

26、60452 X26 0.000000 5.766692 Row Slack or Surplus Dual Price 1 72.21253 -1.000000 2 0.000000 -3.336020 3 0.000000 -2.624022 4 0.000000 -1.981437 5 0.000000 -2.969848 6 0.000000 -1.484924 7 0.000000 0.000000 8 6.000000 0.000000 9 0.000000 1.557263三、结果分析：对三种情况的结果分析，可知使总成本最低的方案是：A、B均建40万的的厂，A水厂的坐标为（5,2），供4号居民点4万吨水，5号居民点8万吨，供6号居民点22吨；B厂的坐标为（1.676,4.242），供1号居民点10吨，供2号居民点11吨，供3号居民点8吨，供4号居民点11吨。总成本72.212万。问题三一、模型建立：根据问题（2）可知使水厂供应居民点用水成本最低的最佳方案为A建40万吨的水厂位置为（5,2），B建40万吨的水厂位置为（1.676,4.242）。在问题分析中已经指出，问题（3）的最优方案是使OA、OB、OP三段的距离总和