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文档简介
1、2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷第一试一、 选择题:(本题满分 42 分,每小题 7 分)1. 已知实数满足,则的值为( ).A. 2 B. 1 C. 0 D.2-1-c-n-j-y2. 已知实数满足,则的值为( ).A. 125 B. 120 C. 100 D. 813. 若正整数满足且,则称为好数组.那么好数组的个数为( ).A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【出处:21教育名师】4. 已知正整数满足,则的值为( ).A. 424 B. 430 C. 441 D. 4605. 梯形ABCD中,ADBC,则梯形的面积为( ).A. B. C. D.21*cnjy*com6. 如
2、图,梯形ABCD中,ADBC,点E在AB上,若,则的值为( ).A. 56 B. 58 C. 60 D. 62二、 填空题:(本题满分 28 分,每小题 7 分)1. 使得等式成立的实数的值为_.2. 已知ABC的三个内角满足.用表示中的最小者,则的最大值为_.3. 设是两个互质的正整数,且为质数.则的值为_.4. 20个都不等于7的正整数排成一行,若其中任意连续若干个数之和都不等于7,则这20个数之和的最小值为_.21cnjycom第二试一、 (本题满分 20 分)设是两个不同的两位数,且是由交换个位数字和十位数字所得,如果是完全平方数,求的值.21cnjy二、 (本题满分 25 分)如图,
3、ABC中,D为BC的中点,平分,平分,P为AD与EF的交点.证明:.21世纪*教育网三、 (本题满分 25 分)已知是不全相等的正整数,且为有理数,求的最小值.参考答案第一试一、 选择题:(本题满分 42 分,每小题 7 分)1. 已知实数满足,则的值为( ).A. 2 B. 1 C. 0 D.答案:B对应讲次:所属知识点:方程思路:因为所求分式的特点可以想到把,看成一个整体变量求解方程.解析:已知等式可变形为,解得,所以.【版权所有:21教育】2. 已知实数满足,则的值为( ).A. 125 B. 120 C. 100 D. 81答案:C对应讲次:所属知识点:方程思路:可以想到换元法.解析:
4、设,则,由.则.21教育名师原创作品3. 若正整数满足且,则称为好数组.那么好数组的个数为( ).A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案:B对应讲次:所属知识点:数论思路:先通过且的限定关系确定可能的种类,再通过枚举法一一验证.解析:若为好数组,则,即,显然或.若,则,即,可得或,共个好数组.若,则或,可得;,不是整数舍去,共个好数组.共个好数组.4. 已知正整数满足,则的值为( ).A. 424 B. 430 C. 441 D. 460答案:C对应讲次:所属知识点:方程思路:由已知等式消去整理后,通过是正整数的限制,枚举出所有可能,并一一代入原方程验证,最终确定结果.解析:联立方程可得,
5、则,即.当时,均无与之对应的正整数;当时,符合要求,此时,代入验证满足原方程.因此,则.www.21-cn-5. 梯形ABCD中,ADBC,则梯形的面积为( ).A. B. C. D.答案:A对应讲次:所属知识点:平面几何思路:通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析:作AEDC,AHBC,则ADCE是平行四边形,则,则ABE是等腰三角形,经计算可得.所以梯形ABCD的面积为.21*cnjy*com6. 如图,梯形ABCD中,ADBC,点E在AB上,若,则的值为( ).A. 56 B. 58 C. 60 D. 62答案:B对应讲次:所属知识点:平面几何思路:补形法,把直角梯形先补成
6、正方形,再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形RtEAD中去,利用勾股定理求解.解析:作CFAD,交AD的延长线于点F,将CDF绕点C逆时针旋转至CGB,则ABCF为正方形,可得ECGECD,.设,则,.在RtEAD中,有,解得.21教育网二、 填空题:(本题满分 28 分,每小题 7 分)1. 使得等式成立的实数的值为_.答案:8对应讲次:所属知识点:方程思路:通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式,再用换元法化简等式,最后要验证结果是否满足最初的等式.解析:易得.令,则,代入整理可得,解得,舍负,即或,验证可得.【来源:21cnj*y.co*m】2. 已知ABC的三个内角满足.用表示中的最
7、小者,则的最大值为_.答案:对应讲次:所属知识点:代数思路:一般来说,求几个中最小者的最大值时,就是考虑这几个都相等的情况.解析:,又当时,可以取到.则的最大值为.www-2-1-cnjy-com3. 设是两个互质的正整数,且为质数.则的值为_.答案:7对应讲次:所属知识点:数论思路:因为是质数,只能拆成1和p,另一方面通过、a、b两两互质来拆分的可能种类,最后分类讨论,要么与条件矛盾,要么得出结果.解析:因为互质,所以、a、b两两互质,因为质数,所以可得,不是质数舍;可得,符合题意.则.4. 20个都不等于7的正整数排成一行,若其中任意连续若干个数之和都不等于7,则这20个数之和的最小值为_
8、.答案:34对应讲次:所属知识点:数论思路:考虑满足题设要求,其和为34,接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析:设该正整数列为,考虑,依抽屉原理必然有两项模7的余数相同,则该两项的差是7的倍数,于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数,又不能为7,则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28,剩下6个数之和不小于6,于是该数列之和不小于34.由可知,存在数列和为34的情况.第二试一、 (本题满分 20 分)设是两个不同的两位数,且是由交换个位数字和十位数字所得,如果是完全平方数,求的值.答案:对应讲次:所属知识点:数论思路:对于需要考虑不同位数上数字的情况,
9、可以把一个两位数设为,转为为代数问题,再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现,综合分析所有限定下可能性,最终确定结果.解析:设,则,由不同得,. 5分由是完全平方数,则,可得, 10分也是完全平方数,所以或. 15分若,则,;若,则没有正整数解.因此,. 20分【来源:21世纪教育网】二、 (本题满分 25 分)如图,ABC中,D为BC的中点,平分,平分,P为AD与EF的交点.证明:.对应讲次:所属知识点:平面几何思路:因为、都在DEF中,所以想办法推出其性质,比较容易得出,此时若能得出,则自然可以得到结论.解析:由平分,平分,可得. 5分由得BEDF,则. 10分又,则BEDDFC,. 15分得四边形BDFE是平行四边形,. 20分又EDF是直角三角形,. 25分21世纪教育网版权所有三、 (本题满分 25 分)已知是不全相等的正整数,且为有理数,求的最小值.答案:3对应讲次:所属知
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