同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

1、如文档对你有用，请下载支持!高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11，设A=(q.-5)u(5.y).B=10.3).写出AjB.AcB.AB及A(AB)的表达解A_.B=(-二.3).(5.二).A-B4-10.-5).AB=(-二.-10)一(5.二).A(AB)=-10.-5).2，设A、B是任意两个集合.证明对偶律：(A-B)C=aCuBC.证明因为xW(AcB)Cux正Ac*xA或x受电xAC或xBCuxAcjBC.所以(a.b)C=aC.BC.3 .设映射f:XtY.AuX,B=X.证明(1)f(A.B)=f(A).f(B)(2)f(A-B)f(A)-f(B),证明因为yW

2、f(A，jB)umxAuB.使f(x)=yu(因为xwA或xB)yWf(A)或yWf(B)=yf(A)_.f(B).所以f(A.B)4(A)(B).(2)因为y"(AcB)=xAB.使f(x)=y(因为xA且x=B)yJ(A)且y"(BAyf(A)-f(B)所以f(AB)f(A)f(B)，4 .设映射f：XtY.若存在一个映射g：gX.使g"=ix.f：g=lY.其中Ix、Iy分别是X、丫上的恒等映射.即对于每一个xWX.有lxx=x：对于每一个yWY.有lYy=y，证明：f是双射.且g是f的逆映射：g=f'，证明因为对于任意的yY.有x=g(y)三X.且

3、f(x)=fg(y)=lyy=y.即丫中任意元素都是X中某元素的像.所以f为X到丫的满射.又因为对于任意的X1&2.必有f(Xl)af(X2).否则若f(Xl)4(X2)=gf(Xl)=gf(X2)=xi=x2,因此f既是单射.又是满射.即f是双射.对于映射g：YTX.因为对每个y三Y.有g(y)=xX.且满足f(x)=fg(y)=Iyy=y.按逆映射的定义.g是f的逆映射，5，设映射f:XtY.A=X.证明：-i-(1)(f(A)二A(2)当f是单射时.有f(f(A)=A.证明(1)因为义三A=f(x)=ywf(A)=f,(y)=xwf,(f(A),所以f(f(A)二A.由(1)知f

4、(f(A)户A.另一方面.对于任意的xwf(f(A)二存在y三f(A).使厂1(y)*f(x)=y.因为ywf(A)且f是单射,所以xWA.这就证明了f(f(A)uA.因此f-1(f(A)=A.6.求下列函数的自然定义域：y=、3x2解由3x+2之0得x>-2,函数的定义域为2,+°°)33y=占1 -x2解由1t2#0得x±1,函数的定义域为(-°0.-1)5-1/)51."),(3)y-1-x1-x2x解由x#0且1-x2之0得函数的定义域D=-1.0)=(0.1.解由4-x2>0得X|<2,函数的定义域为(-2.2).(

5、5) y=sinx解由x至0得函数的定义D=0.z).(6) yhan(x1)解由x+1£2(k=0.±1.±2.')得函数的定义域为x#kn+-2-1(k=0,±1.2.)(7) y=arcsin(x-3)解由X-3区1得函数的定义域D=2,4.1(8) y=、.3-xarctan-x解由3b之0且x#0得函数的定义域D=(-«,0L(0.3).(9) y=ln(x1)解由x+1>0得函数的定义域D=(-1.f.-(10) y=e7.解由xw0得函数的定义域D=(q,0)5。.f).7,下列各题中.函数f(x)和g(x)是否相同

6、？为什么？-2_(1)f(x)=lgxg(x)=2lgx(2) f(x)=xg(x)=Jx2(3) f(x)=3x4-x3.g(x)=x3、x-1.(4)f(x)-1g(x)=se3x-tan2x.解不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同.x<0时.g(x)=x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同，f冗|sinx|x|<8 .设中(x)=3.求中(三)9(工).中(-王)州(-2).并作出函数y$x)0|x四6'4，'4，'''一.3的图形.解耻呜|=2-叼)书吧|=§中(一炉sin(?

7、=§,*-2)=0.9 .试证下列函数在指定区间内的单调性：(1)y=41)；1-x(2)y十*nx.(0.什)，证明(1)对于任意的x1至文-00.1).有1*1>0.1-x2>0，因为当乂1。2时x1x2x1-x2ny1-y2="=7-;:：01/1-x2(1-x1)(1-x2)所以函数丫=工在区间(Q.1)内是单调增加的，1-X(2)对于任意的X1.X2W(0、收).当X1<X2时.有Xicy1-y2=(x1InX1)-(x2Inx2)=(X1-x2)In一：0.X2所以函数y=x+lnx在区间(0.y)内是单调增加的,10 .设f(x)为定义在(-

8、1,1)内的奇函数.若f(x)在(0.I)内单调增加.证明f(x)在(-I.0)内也单调增加.证明对于X/X1.X2W(_|.0)且X1<X2.有一X1.X2三(0.I)且T1*X2，因为f(x)在(0.I)内单调增加且为奇函数.所以f(X2)<f(X1).f(X2)<f(X1).f(X2)>f(X1).这就证明了对于VX1.X2=(-I.0).有f(X1)cf(X2).所以f(x)在(-1.0)内也单调增加，11 .设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-1.I)上的.证明：(1)两个偶函数的和是偶函数.两个奇函数的和是奇函数；(2)两个偶函数的乘积是偶函数.两个奇函

9、数的乘积是偶函数.偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明(1)设F(x)=f(x)%(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数.则F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x).所以F(x)为偶函数.即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数.则F(-x)=f(-x)g(-x)>f(x)-g(x)>F(x).所以F(x)为奇函数.即两个奇函数的和是奇函数，设F(x)T(x)g(x),如果f(x)和g(x)都是偶函数.则F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x).所以F(x)为偶函数.即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数.

10、则F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=F(x).所以F(x)为偶函数.即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数.而g(x)是奇函数.则F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)-g(x)f(x)g(x)>F(x).所以F(x)为奇函数.即偶函数与奇函数的积是奇函数.12 .下列函数中哪些是偶函数.哪些是奇函数.哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y=x2(1x2)23(2)y=3x-xG3)y =1 -x21 x2(4)y=x(x-1)(x1)(5)y=sinx-cosx1(6)y =ax a2"解因为f(-x)=(x)21-(x)2=x

11、2(1x2)=f(x),所以f(x)是偶函数.由f(-x)=3(-x)2T-x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数，(3)因为f(_x)=1«x)2=M=f(x).所以f(x)是偶函数.1-x21x2(4)因为f(T)=(x)(诙1)(x+1)=-x(x+1)(x1)=-f(x).所以f(x)是奇函数.(5)由f(-x)=sin(B)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数(7) (T)xx(6)因为f(x)=a2a=a2a=f(x).所以f(x)是偶函数.13 .下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数.指出其周期：(1)y=co

12、s(x-2)解是周期函数.周期为1=2工(2)y=cos4x解是周期函数.周期为1=?.2(3)y=1sinx解是周期函数.周期为1=2,(4)y=xcosx解不是周期函数.(5)y=sin2x解是周期函数.周期为1=也14 .求下列函数的反函数：y=3x1解由y=/x+1得x=y3-1.所以y=3x+1的反函数为y=x3-1.1-x1x解由y兼得x=W所以y土的反函数为y工ax bcx d(ad-bc；0)解由y=ax也得x=Ry&.所以y=空&的反函数为y=dx±bcxdcy-acxdcx-a15 )y=2sin3x解由y=2sin3x得x=3arcsin-y,所

13、以y=2sin3x的反函数为y=3arcsinx,16 )y=1ln(x2)解由y=1+ln(x+2)得x=ey'2.所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=ex-1-2,2xy3解由y=T；2F得xTog27y-所以y=12i的反函数为y=log2T，2x11-y2x121-x15，设函数f(x)在数集X上有定义.试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性，设函数f(x)在X上有界.则存在正数M.使|f(x)|WM.即M<f(x)<M,这就证明了f(x)在X上有下界-M和上界M.再证充分性.设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2

14、.即K1<f(x)<K2.取M=max|K“JK2|.贝tj-M<K1<f(x)<K2MM.即|f(x)|JM.这就证明了f(x)在X上有界.16.在下列各题中.求由所给函数复合而成的函数.并求这函数分别对应于给定自变量值Xi和x2的函数值：(1) y=u2u=sinxx1=-x2=63上力.22二，1、21.2二斛y二sinx.y1=sin6=(2)=%y2=sin/c、c冗冗(2) y-sinuu=2xx1=x2=4解y=sin2x.y1=sin(2-)=sin2-y2=sin(2-)=sin=1y=、uu=1x2x1=1x2=2解y=、1x2y1=d12=、

15、2.y2r122=、5.(4)y=euu=x2xi=0x2=1丘力x202,12角单y=e.yi=e=1.y=e=e.(5) y=u2解 y=e2x_2 二eXu=ex1=1x2-1.y1=e .已知水渠的横断面为等腰梯形.斜角中=40口(图1-37) .当过水断面ABCD的面积为定值S0时.求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式.并指明其定义域=e2.y2=e2(，J)17,设f(x)的定义域D=0.1.求下列各函数的定义域：2f(x2)解由0a2E1得|x区1.所以函数f(x2)的定义域为-1.1,(2) f(sinx)解由0至inxH得2nnMxW(2n+1)n(n=0

16、,±1,±2),所以函数f(sinx)的定义域2nn.(2n+1)叫(n=0,±1,±2一).(3) f(xa)(a>0)解由0a+aE1得-aaE-a.所以函数f(xr)的定义域为-a.1-a,(4) f(xa)f(x-a)(a0).解由0双七£1且0<x-a<1得：当0<a<1时.aWxW1-a；当a>1时.无解，因止匕22当0<£时函数的定义域为a.1-a.当a1时函数无意义.221|x|<118,设f(x)=(0|x|=1.g(x)=ex.求fg(x)和gf(x).并作出这两个函

17、数的图-1|x|1形1|ex|<1'1x<0解fg(x)=<0|ex|=1.即fg(x)=0x=0,|ex|>11-1x>0I-e1|x卜1e|x|；1gf(x)=ef(x)=je0|x|=1.即gf(x)=，1|x|=1.图 1 -37e，|x|1eT|x|1AB=DC =_ sin40又 从 2hBC +(BC+2cot40：h) = S0 得S-一,BC=»cot40h,所以h,So2-cos40.L二-hhsin40自变量h的取值范围应由不等式组h0S0-cot40h0h确定.定义域为0<hcJS0cot40.20.收敛音机每台售价

18、为90元.成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购.决定凡是订购量超过100台以上的.每多订购1台.售价就降低1分.但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；(3)某一商行订购了1000台.厂方可获利润多少？解当0给100时，p=90.令001(x0100)=9075/5X0=1600,因止匕当x与600时.p=75.当100cxe1600时.p=90-(x-100)x001=91O01x.综合上述结果得到900<x<100p=91-0.01x100<x<1600.75x-1600/30x0*100(

19、2) P=(p-60)x=31x-0.01x2100<xd600.15xx-1600(3) P=311000-00110002=21000(元).习题1-21.观察一般项刈如下的数列xn的变化趋势.写出它们的极限：1%/解当nr时.%=27T0.nm2n=0'Xn=(.i)nn解当gM时.%=（一1）210叽（一1）2二0.Xn=2工.2.lim(24)=2n2n>二n2xn =n-1n 1解当B时."占卜1 一篇T0.n -1 d lim 1n >:n 1(5)xn=n(-1)n,解当nT®时.Xn=n(-1)n没有极限，cosn2 .设数列xn

20、的一般项xn=2-，问limxn=?求出N.使当n>N时.Xn与其nn一,二极限之差的绝对值小于正数-当8=0001时.求出数N.解nm%。1%0|=|c嗖0.要使|xn-0向.只要1<"也就是nL取nnn；N二山贝Wn>N.有|xn-0|<8,当名=0001时.N=1=1000,3 .根据数列极限的定义证明：1lim-12=0nn2分析要使|-2-01=4<W-只须n2>.即n>7=.nn二二证明因为h>0VN=.当n>N时.有信-0|<“所以!驾尚=04 2)lim3n-1:3n；：2n12分析要使13nm-3|=-1&

21、lt;<s.只须<名.即n>,.2n1212(2n1)4n4n4；证明因为Ve>02N=L.当n>N时.有I件1-3口.所以lim型里='.4；2n12n,二2n12limq2=i.nn分析要使|EaLi|JnEaLn=a2.只须n>a2.nnn（、n2a2n）n；-222证明因为，皿。*.当小N时.有|-1所以lim0.9999=1n>：n个分析要使|099'"91|=石匕<名.只须11-即n>1+lg：.证明因为VG0JN中+lg1.当Vn>N时.有|099-9-1|<£.所以lim0.9

22、999=1一n4 .limUn=a.证明lim|UnHa|.并举例说明：如果数列|xn|有极限.但数列n)二n，二Xn未必有极限.证明因为limUn=a.所以S>0:NWN.当n>N时.有|una|<&.从而n二|un|-|a|-|un-a|<.这就证明了nmN响数列|xn|有极限.但数列xn未必有极限,例如nm|(-1)n|=1.但nim(T)n不存在5 .设数歹1xn有界.又limyn=0.证明：limXnyn=0.nn证明因为数列xn有界.所以存在M.使VnEZ.有|xn|WM.又！imyn=0,所以s>0'NeN.当n>N时.有Iyn

23、I<M.从而当n>N时.有|%yn-0|=|Xnyn，M乂卜:M而=；所以limxnyn=0,n:二6.对于数列Xn.若X2kjTa(Qg).X2kTa(kT=«).证明Xn>a(n>二)，证明因为x2kTa(kT=o).x2kTa(kT°o).所以寸名>0.三Ki.当2k-1>2Ki-1时.有|X2k-a|<s；三K2.当2k>2K2时.有侬"a|<名,取N=maX2Ki1.2K2.只要n>N,就有|Xna|<8.因此Xn.a(n).习题1-31 .根据函数极限的定义证明：(1) lim(3X-1

24、)=8分析因为|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|.所以要使|(3x-1h8|<e.只须IX-3K1后.3证明因为P8>025=3e.当0<|x-3|<6时.有|(3x-1)-8|<；,所以lim(3x-1)=8.x)3(2)则孤2)=12分析因为|(5x2)-12|=|5x-10|=5|x-2|.所以要使|(5x+2)-12卜名.只须|x-2|<1名.5证明因为Vw>0T6w.当0<|x2|<6时.有5|(5x2)-12卜：；.所以lim(5x2)=12X>2''x24(3)lim4-4X>-2x2

25、分析因为x2 4x 4x 2=|x 2|=|x-(-2)|.所以要使证明x2 -4x 2(Y) <£ .只须 |x-(-2) |<8 ,因为S>0T5=8 .当 0<|x(2)|<6时.有x2 -4 / 小2/所以xU1-4x3 lim 1-4x- x , 1 2x 1 x >-2分析因为舞32 =|1-2x-2|=2|x-(-2)|'所以要使 ；1 -2.只须|x_(-2)|<2，证明 因为寸名>0.：36=：.当0<(：)|<:8时.有1 -4x3-2 <2 .2x+1所以lim_1一21 -4x32x 1

26、2 根据函数极限的定义证明lim吞=1x ，二 2x32分析因为1 x3 12x321 x3 -x32x3_ 1-2|x|3所以要使1 x3 12X3-2.只须12|x即 |x|>3y2，证明因为v名旬.三x=/.当卜|“时.有所以lim1J33=1,x.：2x32limsinx=0.x,x|s i nx|分析因为sinx(177-0所以要使sinx0 < z .只须<z . B|3 x>2，证明因为U£>02X=e.当x>X时.有军-0<8.1 vx所以limsinx=0x,二xx3 .当xt2时.y=x2T4，问6等于多少.使当|x-2|

27、<6时.|y4|<0001?解由于当xt2时.|x-2曰0.故可设-2|<1.即1<x<3,要使卜2-4|=卜2卜-2卜：5|x-2卜：0001只要|x-2卜:二。.。？,取6=00002.贝U当0<-2|<$时.就有|x2Y|<0,001.4 .当xfO时.y=G=1T1.问X等于多少.使当|x»X时.y-1|<001?x3解要使-24<0.01.只要|x|>J-3=7397.故x=7397.x230.015 .证明函数f(x)=|x|当"0时极限为零.证明因为|f(x)-0|=|冈-0|=x|=x-0|.

28、所以要使|f(x)-0|<久只须冈因为对/g0,第=能使当0<M-0|<6.时有|f(x)-0|=|M-0|.所以!叫凶二0，6 .求f(x)=x,*(x)=凶当。0时的左、右极限.并说明它们在x0时的极xx限是否存在证明因为limf(x)=lim.二lim1=1x-0-x>0-xx_0-limf(x)=lim-=liml=1x_0-x>0-xx_.0'x暨f(x)嘴+f(x)所以极限limf(x)存在，x_.0因为lim(x)=lim凶=limx-1x_0x)0-xx>0-x1 im(x)=lim凶=limx=1x0-x>0-xx>0-

29、xlim(x):lim(x).所以极限pm中(x)不存在.7 .证明：若xt+的及g时.函数f(x)的极限都存在且都等于A.则limf(x)=Ax)证明因为limf(x)=A.limf(x)=A.所以寸名>0.xx三X>0.使当x<-X1时,有|f(x)-A|vb；三X2A0.使当x>X2时.有|f(x)A|<&取X=maxX1.X2.则当x|>X时,<|f(x)-A|<®.即limf(x)=A.8 .根据极限的定义证明：函数f(x)当一x。时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性.设f(x)TA

30、(xtx°).则Vs>0.3d>0.使当0v|x-x0|v6时.|f(x)-A|<:因止匕当x0&xvx。和x0<xvx0+6时者B有|f(x)-A|<:这说明f(x)当xTx0时左右极限都存在并且都等于a.再证明充分性.设f(x0-0)=f(x0+0)=A.则Ve>0.湍>0.使当x0avxvxo时.有|f(x)-Avb；3&>0.使当x0vxvx0+32时.有|f(x)A|v名-取6=min钏.2.贝(J当0v|x-x0|v5时.有x0-avxvx0及x0vxvx0+a2.从而有|f(x)-A|v:即f(x)>

31、A(x>xo).9 .试给出XTS时函数极限的局部有界性的定理.并加以证明,解XTm时函数极限的局部有界性的定理：如果f(x)当时的极限存在.则存在X>0及MX,使当|x|>X时Jf(x)|<M.证明设f(x)TAgs),则对于”1.5X>0.当x|>X时.有|f(x)-A|g=1.所以|f(x)>|f(x)-AA|.|f(x)-A|A|d|A|.这就是说存在X>0及M>0.使当冈次时.f(x)|<M.其中M=1+|A|.习题1-41 .两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之，解不一定.例如.当XT0时出2鱼x)=3x都是无穷小.

32、但缥崔=3.黑)不是无穷小2 .根据定义证明：(i)y=f9当xt3时为无穷小；x3y=xsin1当一0时为无穷小.x,2c证明当x,3时|y|=x"二9=|x3|，因为卡02.：3旌名.当0<卜-3|<6时.有x+3|y|=x2-9x 3=|x-3卜:=；所以当xt3时丫=弓为无穷小.x3(2)当x小时|y|=|x|sin日x0|.因为守6>0,可5=«.当0小-02时,有x|y|=|x|sin1|_|x-0卜：、=；.x所以当xt0时y=xsin1为无穷小，x3 .根据定义证明：函数y=上应为当xt0时的无穷大.问x应满足什么条件.x能使1yA104?

33、证明分析|y|=|12xI=2+2-2.要使|y|M.只须；12>M.即xx|x|x|1|x|M2'证明因为VM>0,：3$=.使当0<X-0|<6时.有1-2x>M.M+2x所以当XT0时.函数丫=且是无穷大，X取M=104则6101,当0口-0|<而占时.*104,(1)lim型X F二 X4 .求下列极限并说明理由：；（2）芸解因为2x上0=2十1.而当XT*时是无穷小.所以Iim2x±0=2,XXXX-.X（2）因为92=1十x（x#1）.而当XT0时X为无穷小.所以lim1=1.1-XX,01-X5.根据函数极限或无穷大定义.填写

34、下表：f（X）TAf（X）-kf(X)-?+f(X)-CXTX0V导0.非=0.使当。出-|<用寸.有，恒|f（X）|<E.+XTX0XTX0一X-KV叁0.水>0.使当冈水时.有，恒|f（X）|>M.X-TX->-=C解f(X)TAf(X)T8f(x)T+8f(x)T一°°XTX0v&>0.36>0.使当0<|X-X0|<3时.有包|f(X)-A|<B.VM>0.35>0,使当0<|x-X0|<训.有包|f(x)>M.VM>0.3d>0,使当0<|x-X0|

35、<6时.有恒f(x)>M.VM>0.3d>0.使当0<|x-X0|<5时.有恒f(x)<-M，+X-X0v&>0.36>0.使当0<X-X0<时.有恒If(X)-A<8.VM>0,35>0,使当0<x-X0<6时.有包|f(x)|>M.VM>0.3d>0,使当0VX-X0X3时.有恒f(x)>M.VM>0.3d>0.使当0<x-X0<6时.有恒f(x)<-M.X0一V&>0.36>0.使当0<X0-x<6时

36、.有恒|f(X)-A|<s.VM>0,36>0,使当0<X0-x<6时.有包|f(x)|>M.VM>0.3d>0,使当0<X0-x<6时.有恒f(x)>M.VM>0.3d>0.使当0<X0-x<6时.有恒f(x)<-M.X->°°S>03X>0.使V名>0.5X>0.使VS>0.BX>0.使V40.BX>0.使当|x|>X时,有恒|f(x)-A|<®.当|x|>X时.有包|f(x)即,当冈aX时.有恒f(

37、x)>M.当|x|>X时.有包f(x)<M.xt十七V爵0.三X>0.使当x>X时.有包|f(x)-A|<®.V名>0,5X>0.使当x>X时.有包|f(x)卜M.Vs>0.BX>0.使当x>X时.有包f(x)>M.守吃0X>0,使当x>X时,有包f(x)<-M.xt一8V&>0.5X>0.使当x<-X时.有恒|f(x)-A|<.V00.5X>0.使当x<-X时.有恒|f(x)|M.Vs>0.EX>0.使当x<-X时.有恒f(x

38、)>M.V盼0.3X>0.使当x<-X时.有恒f(x)<-M.6,函数y=xcosx在(.)内是否有界？这个函数是否为当xt+°q时的无穷大？为什么？解函数ywcosx在(-,十厘)内无界.这是因为VM>0.在(m-)内总能找到这样的x.使得|y(x)|>M,例如y(2kn)=2kncos2k江=2kn(k=0.12).当k充分大时.就有|y(2kn)|>M.当xt+土时.函数y=xcosx不是无穷大,这是因为VM>0.找不到这样一个时刻N.使对一切大于N的x.都有y(x)|>M.例如y(2kn+2)=(2k兀+)cos(2kn+

39、)=0(k=0.1.2.).TT对任何大的N.当k充分大时.总有x=2kn+J2>N.但|y(x)|=0<M.7.证明：函数y=1sin1在区间(0.1上无界.但这函数不是当xt0+时的无穷xx大证明函数y=1sin1在区间(0.1上无界.这是因为xxVM>0.在(0.1中总可以找到点xk.使y(xk)>M.例如当xk=-1V(k=0.12-)2k二一2时.有，、，冗y(xk)=2k二万.当k充分大时.y(xk)M,当xt0+时.函数yJsin1不是无穷大,这是因为xxVM>0.对所有的6>0.总可以找到这样的点xk.使0<xk<6.但y(xk)

40、<M,例如可如文档对你有用，请下载支持!xk=2k二(k=0.1.2.，).当k充分大时.xk<6.但y(Xk)=2kJisin2kn=0<M,习题1-51.计算下列极限：X2-5(1) limx-5X>2X-322_2-3解limJ25x2x-3_.x23(2) limxx>3x21lim勺二(、3)2-3x>3x21(,一3)21x2-2xF(3) limx92x1x>1x2-1解xmJ1Tm（与善+旭号啖0， xim04x3 -2x2 x3x2 2x4x3-2x2x4x2-2x11x03x22x3x2-2(xh)2-x2hhimo= lim0(2

41、x + h) =2x(Xh)2.x2=limX22hxh2-x2hh>0h1(6)lim(2X>:X解Xim/2x+5)=211limlim7=2.x>:xxx2x2-1lim3x>:2x2-x-1lim-2二limTX!1x2x：2x2-x-1x，二2（8）lim4x，x，二x4-3x2-1解lim4x2*x=0（分子次数低于分母次数.极限为零）.x-x4-3x2-1112F不lim42=limxx=0x'x-3x-1x1211一2一4xx2网沙解lim4zgx_J=lim(x-2)(x-4)=lim些.小二，x14x2-5x4x>4(x-1)(x-4)

42、x>4x-14-13(10) lim (1x )二i(1 1) lim (2x. 'x x .二J=1 2 = 2解 nim：（11 ：2n）=nm1/1 2122-1_1解lim(11)(2-4)=limX-xx2：111(11七叮：(1143)(12)lim1232(-nln2解 nim；1 2 3 -(n -1)n2=limn ，二(n 7)n1Hnimk i(n1)(n2)(n3)5n3解nm（"吗:平（分子与分母的次数相同.极限为最高次项系数之比），nm5n3(n1)(n2)(n3)=liim(1)(1.2)(1.3)=1.5n>二nnn5(14)lim

43、(x >1 1 -x 1 -x3)解lmj三 x 11 1-x 1 -x31 x x2 -3)=lim2x >1 (1 -x)(1 x x2)(1-x)(x 2)-limox >1(1 -x)(1 x x2)-limx2211xx22.计算下列极限：3o2x2x(1)lim2x>2(x-2)22解因为lim乌a = x >2x3 2x20=0 .所以 lim16x.23 。2 x=二 (x -2)2x2lim-xx、二2x1一(因为分子次数高于分母次数)2解limx-'2x1解xm(2x3-乂力人比(因为分子次数高于分母次数八3.计算下列极限：(1) li

44、mx2sin1x-；0x解limx2sin1=0(当xt0时.x2是无穷小.而sin是有界变量).x0xx(2) limarctanx.x二x解limarctanx二lim1arctanx=0(当xtr时.1是无穷小.xxx：xx而arctanx是有界变量)，4.证明本节定理3中的(2).习题1-51 .计算下列极限：x2-5(1) limx-5x>2x3解呵头一2252-3x2-3(2) limx2-x>,3x21解呵仁喘;3x2-2x1(x-1)x-10、角牛lim2=lim=lim-=-=0.x1x2-1x1(x-1)(x1)x，1x124x3-2x2x(4)limfx>

45、;03x22x解limx04x3 -2x2 x3x2 2x= lim 4x2 -2x 1 Jx >0 3x 22(xh)2-x2解himo(xh)2-x2一二limh0x22hxh2-x2h二him0(2xh)=2x.(6)lim(2ix>：Ax1111解lim(22)=2-limlim2=2.xxx2x；xx，二x2.x2-1lim_x>:2x2-x-1x二xx：xx2-1解lim-2二limx；：2x2-x-1xf二1-J2xo1122xx2x2x(8)lim42x.x4-3x2-1解limn4x：x=0（分子次数低于分母次数极限为零）.xx-3x1x2xlim2二lim

46、-x'x4-3x2-1xi'i1A23-x=0_2_A24xx网法4解lim6Lj二行1-y-4)=lim等x>4x .计算下列极限-5x4x>(1) lim x-2V x12 (x-2)2(x-1)(x-4)x>4x-14-13(1 1) lim (2-x x二二(10)xim(11)(2V)=1 2 = 2解lim(11)(2-J2)=lim(xxx2x一二'(11)lim(111-n)n:242n解 nim:(114号)加：1-n 11123(n-1)(12)nimn-212 3 (n-1)解 lim 2-n'n2(13) lim (n

47、1)(n 2)(n 3)nf 二=limn ”：(n -1)n21 n -1 11=一 lim 一 =一n22n n 25n3解limn二二5n3(n+1)(n+2)(n+3)4(分子与分母的次数相同.极限为5最高次项系数之比).(n 1)(n 2)(n 3)5n，二5n31315(14)lim(x >11 -x 1 -x3)解 xm1(=r43)=x%之田r-lxm1(1-x)(x 2)(1 -x)(1 x x2)x 21 x x2解因为年需2*=。所以也看瓷2-x2 lim -xx 二2x 1x2解 lim -一-x' 2x 1华 (因为分子次数高于分母次数),lim(2x3

48、-x1).x解lim(2x3-x+1)=M(因为分子次数高于分母次数).x3.计算下列极限：1 1)limx2sin1x-；0x解！imx2sin工=0(当xt0时.x2是无穷小.而sin'是有界变量).limarctanx.xx解limarctanx=lim1arctanx=0(当xtr时.1是无穷小.xxx-xx而arctan x是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1-71 .当 xt 0 时.2x-x2 与 x2-x3w2 w3解因为xWx -x= lim 一相比.哪一个是高阶无穷小?2x0 2 x=0所以当xT0时.x2-x3是高阶无穷小.即x2-x3=o(2x-x

49、2),2 .当xt1时.无穷小1x和(1)1x3.(2)、(1-x2)是否同阶？是否等价?-3斛因为xm111Tx=xm1(1 -x)(1 x x2)1 -x= lim1(1 x x2) =3 .所以当xT1时.1-x和1-x3是同阶的无穷小.但不是等价无穷小.1(1-*2)因为xm1V丁=3xm1(1+x)N-所以当。1时.1-x和:2(1-x2)是同阶的无穷小.而且是等价无穷小.3 .证明：当。0时.有：(1)arctanxxx2(2)secx-1-2.证明因为弊号uyitOy=1(提示：令y=arctanx.贝当一0时.y，0)所以当xt0时.arctanxx.因为xim0气?2x= 2

50、lim1 -cosxx0x2ccsx x.O2sin 2-Tif22sin -加0T-2所以当xt0时.sec-1.24.利用等价无穷小的性质.求下列极限：tan3x(1) limx)02xsin(xn)limx >0 (sin x)(n.m为正整数);sin x - tan xlimtanx；sinxx>0sin3x(4) lim3x>0(v'1x21)(x1sinx-1)tan3x3x3角华(1)lim=lim二一x>02xx)02x2sin(xn)limx >0 (sin x)xn=lim =J0x >0xm二n =mn mtanx -sin

51、x xim°Fksin x(二 xim0rsxx-1)=limx )0-cosxcosxsin2 xx2 cosx 2(.2=-2乂3仅 ,0).(4)因为2xsiix-tax=tarx(ccxs-1)=-2taixsin2-2x31x2-1=x23(1x2)231x21x2(x*0)13，1+siix-1=*sinxsiixx(0).Jsiix1x3所以lim3sinx-tanx=lim2-二一3x0(31x2-1)(、1sinx-1)x-;0lx2x3(5) .证明无穷小的等价关系具有下列性质：(1) 口二(自反性)；(2)若aP,则Pa(X寸称性)；(3)若uP.PV,则仪&#

52、165;(传递性).证明(1)lim=1.所以a7Ct(2)若aB.则lim需=1.从而lim艮=1,因此Ba;若口P.BLlimy=limylim-=1，因此1ML习题1-81 .研究下列函数的连续性.并画出函数的图形：0<x<11 ：x<22f(x)=x2.x解已知多项式函数是连续函数.所以函数f(x)在0.1)和(1.2内是连续的.在x=1处.因为f(1)=1.并且lim f (x) = lim x2 =1x >1 -x >1 -.叫.f (x)=叫.(2-x) =1所以xm1f(x)T从而函数f(x)在x=1处是连续的，综上所述，函数f(x)在0.2上是连

53、续函数. f(x) = ；-1 Mx 三1 |x| 1解只需考察函数在x=1和x=1处的连续性.在x=-1处.因为f(-1)=-1.并且limf(x)=lim1=1=f(-1).x>1-x.1-呵f(x)=limx=_1=f(-1).所以函数在x=-1处间断.但右连续，在x=1处.因为f(1)=1.并且limf(x)=limx.=f(1).limf(x)=lim1=1=f(1),x>1x>1-x>1x_1所以函数在x=1处连续，综合上述讨论.函数在(3、-1)和(-1,-)内连续.在x=-1处间断.但右连续.2 .下列函数在指出的点处间断.说明这些间断点属于哪一类.如果

54、是可去问断点.则补充或改变函数的定义使它连续：(1)y=2x-1cx=1x=2x2-3x2解y=x21=(x+?(x-1),因为函数在x=2和x=1处无定义.所以x=2和x2-3x2(x-2)(x-1)x=1是函数的间断点.2因为limy=lim2x1.所以xR是函数的第二类间断点；x-；2x-；2x2-3x2因为xm1Vim1(-2-所以x=1是函数的第一类间断点.并且是可去间断点.在x=1处.令y=2.则函数在x=1处成为连续的.y=x=k.x=k-(k=0.-1-2.)tanx2HT解函数在点x=kn(kwz汴Dx=kn+：(kwZ)处无定义.因而这些点都是函数的间断点.因为 lim x

55、 =1limxtanx x 二 tanx一 2因lim=s(k#0).故乂=依«加)是第二类间断点；x*二tanx=0(kEZ).所以乂=0和乂=依+2(小2)是第类间断点且是可去问断点令y|x3=1.则函数在x=0处成为连续的；令x=kn十二时.y=0.则函数在x=M十乙处成为连续的.22(3)y=cos21x=0x解因为函数y=cos21在x=0处无定义.所以x=0是函数y=cos2的间断点,又因为limcos21不存在.所以x旬是函数的第二类间断点.X>0x y 二 x 一： 3 Xx <1.X =1X 1解因为limf(x)=lim(x-1)=0limJ(x)=lim3-x)=2.所以x=1是函数的X1X>1X)1X)1第一类不可去间断点2n3.讨论函数f(x)=lim为Jx的连续性.若有间断点.