第十章曲线积分习题课ppt课件

1、曲线积分曲线积分 习题课习题课一、主要内容一、主要内容曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定义定义性质性质计算公式计算公式两者关系两者关系曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义实质 分、粗、和、精 分、粗、和、精背景 曲线形构件的质量 变力沿曲线作功性质 线性、可加、无方向 可加、有方向计算 一代、二换、三定限 一代、二换、三定限联系iiiniLsfdsyxf ),(),(10lim ),(),(10limiiiiiniiLyQxPdyQPdx LLdsQPdyQPdx)coscos( 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条

2、条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题（二各种积分之间的联系（二各种积分之间的联系曲线积分曲线积分定积分定积分计算计算重积分重积分Green公式计算计算曲面积分曲面积分Guass公式公式计算计算Stokes公式公式积分概念的联系积分概念的联系点点函函数数)(,)(lim)(10MfMfd

3、Mfnii 定积分定积分.)()(,1 badxxfdMfbaR 时时上区间上区间当当二重积分二重积分.),()(,2 DdyxfdMfDR 时时上上区区域域当当曲线积分曲线积分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 时时上上平平面面曲曲线线当当三重积分三重积分 dVzyxfdMfR),()(,3 时时上区域上区域当当曲线积分曲线积分.),()(,3 dszyxfdMfR 时时上上空空间间曲曲线线当当曲面积分曲面积分.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 时时上上曲曲面面当当计算上的联系计算上的联系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)(

4、,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影线元素线元素 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),()(曲曲面面元元素素dS xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),()(投影投影面元素面元素dxdy其中其中dsQPQdyPdxLL)coscos( dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定

5、积分的联系定积分与不定积分的联系( )( )( )( )bbaaF x dxf x dxF bF a牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系dyQPdxdyPxQLD )(格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系dxdyRQdzdxPdydzdVzRyQxP )(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 RdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(斯托克斯公式斯托克斯公式（三场论初步（三场论初步梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量 RdxdyQdzd

6、xPdydz散度散度zRyQxPAdiv 环流量环流量 RdzQdyPdx旋度旋度kyPxQjxRzPizQyRArot)()()( 关于对称性关于对称性对弧长的曲线积分与方向无关，对弧长的曲线积分与方向无关，可以利用对称性可以利用对称性简化计算简化计算设设L 关于关于 x ( y ) 轴对称轴对称假设假设 f( x ,y ) 关于关于 y ( x ) 是奇函数是奇函数即即),(),(),(),(yxfyxfyxfyxf 那么那么 Ldsyxf0),(假设假设 f( x ,y ) 关于关于 y ( x ) 是偶函数是偶函数即即),(),(),(),(yxfyxfyxfyxf 那么那么 LLds

7、yxfdsyxf1),(2),( 对坐标的曲线积分与方向有关，所以对坐标的曲线积分与方向有关，所以在考虑对称性时既要考虑被积函数与曲线在考虑对称性时既要考虑被积函数与曲线的对称性，还要考虑曲线的方向，因此直的对称性，还要考虑曲线的方向，因此直接应用比较困难，一般是先转化为对弧长接应用比较困难，一般是先转化为对弧长的曲线积分，然后再考虑使用对称性。的曲线积分，然后再考虑使用对称性。其中其中L1 是位于对称轴一侧的部分是位于对称轴一侧的部分关于第二类曲线积分的计算关于第二类曲线积分的计算若曲线封闭，首先考虑使用若曲线封闭，首先考虑使用Green公式公式若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，若曲

8、线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然后再使用然后再使用Green公式公式此时应注意两点：此时应注意两点：辅助线上的积分应容易辅助线上的积分应容易计算，计算，辅助线的方向与曲线的方向相容，辅助线的方向与曲线的方向相容，化成第一类曲线积分计算化成第一类曲线积分计算按第二类曲线积分的计算公式直接计算按第二类曲线积分的计算公式直接计算二、典型例题二、典型例题例例1 计算计算dseLyx 220,:222 yxyayxL所围成的在第三象限的扇形的整个边界所围成的在第三象限的扇形的整个边界解解如图如图a 2a L1 L1L2 L2L3L30, 0 xay taytaxsincos45 t02, xax

9、yL=L1+L2+L3dsedseLyxLLLyx 3222122)( 0axdxe 45 adteadxeax 0222141 aaaeeae 242 aea 例例2 2 计计算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, , 其其中中L为为由由点点) 0 , 0(O到到点点) 1 , 1 (A的的曲曲线线xy2sin . . 解解 dyyxdxxyxI)()2(422由由xxyxyyP2)2(2 知知xyo11AxyxxxQ2)(42 104102)1(dyydxx故故原原式式.1523 xQyP 例例 3 3 计算计算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, , 其中其中L

10、为由点为由点)0 ,(a到点到点)0 , 0(的上半圆周的上半圆周0,22 yaxyx. . 解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP ( (如下图如下图) )xyo)0 ,(aAM AMOAAOAOAOLIdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO, 0 AMOAAOI082 am.82am Lyxdyyxdxyx22)()(其中其中L为为不包围也不通过原点的任意闭曲线不包围也不通过原点的任意闭曲线以原点为中心的正向单位圆周以原点为中心的正向单位圆周包围原点的任意正向闭曲线包围原点的任意正向闭曲线

11、解解 22yxyxP 22yxxyQ 22222)(2yxxyyxyPxQ 假设假设D )0 , 0(则由则由Green公式公式 LQdyPdx0例例4 计算计算假设假设D )0 , 0(则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周0 记记L和和 所为成的区域为所为成的区域为D1 ，由，由Green公式公式0 dxdyyPxQQdyPdxQdyPdxLD)(01 LQdyPdxQdyPdx0 dttrtrtrtrtrtrtrtr 2022)sin()cos()cos)(cossin()sin)(sincos( 2 L122 yx,sin,costytx 20 t

12、dtttttttttI 2022sincos)(coscos(sin)sin)(sin(cos 2 xQyP 在原点不连续，在原点不连续，记记L和和 所为成的区域为所为成的区域为D1 ，由，由Green公式公式 以原点为心，作一半径充分小的正向圆周以原点为心，作一半径充分小的正向圆周 LQdyPdxQdyPdx 2 由于由于 L 所围区域包含原点所围区域包含原点解解)()(22212222 yxyxyyxyP )(2)(211223222 yxxyxxyxQ令令xQyP 得得0)(12(22 yx 由由210 y 0 y使得在不经过使得在不经过的值的值dyyyxxdxyyxxIL 222222)()( 的区域上的区域上与路径无