244弧长和扇形面积

1、制造弯形管道时，要先按中心线计算制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度展直长度”( (虚线的长度虚线的长度) )，再下料，再下料，试计算图所示管道的展直长度试计算图所示管道的展直长度L L( (单位：单位：mmmm，精确到，精确到1mm)1mm)创设情境创设情境学习学习目标目标了解扇形的概念，理解了解扇形的概念，理解n n 的圆心角所对的的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算弧长和扇形面积的计算公式公式, ,并应用这些公式并应用这些公式解决相关问题。解决相关问题。（1 1）半径为）半径为R R的圆的圆, ,周长是周长是_C=2RC=2R（3 3）圆心角是）圆心角是1 10 0的扇形是圆周长的的

2、扇形是圆周长的_ 3601A AB BOOn n（4 4）n n圆心角所对的弧长是圆心角所对的弧长是1 1圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长的_倍，倍，是圆周长的是圆周长的_ _ n n（5 5）n n圆心角所对弧长是圆心角所对弧长是_ 180Rn 自学提纲自学提纲1 1自学教材自学教材P110-P111P110-P111，思考下列内容：，思考下列内容： （2 2）圆的周长可以看作是）圆的周长可以看作是_度的圆心角度的圆心角 所对的弧所对的弧3603601 1圆心角所对弧长是圆心角所对弧长是_ _ 18023601RR360n弧长公式弧长公式 若设若设O O半径为半径为R R，n n的圆心角所

3、对的圆心角所对的弧长为的弧长为l l，则，则 180Rnll lA AB BOOn n在应用弧长公式在应用弧长公式 进行计算时进行计算时, ,要注意公式中要注意公式中n n的意义的意义, ,n n表表示示1 1圆心角的倍数圆心角的倍数, ,它是不带单位的；它是不带单位的；180Rnl注意：注意：尝试练习尝试练习1 1已知弧所对的圆周角为已知弧所对的圆周角为9090, ,半径是半径是4,4,则弧长为多少？则弧长为多少？360nlC圆4180Rn24)360解决问题：解决问题：制造弯形管道时，要先按中心线计算制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度展直长度”，再下料，试

4、计算图所示管道的展，再下料，试计算图所示管道的展直长度直长度L L( (单位：单位：mmmm，精确到，精确到1mm)1mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧ABAB的长的长因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm2970mm 180nRl29705007002L100 900500180 如下图，由组成圆心角的两条如下图，由组成圆心角的两条半径半径和和圆心角所对的圆心角所对的弧弧围成的图形是围成的图形是扇形扇形。半径半径半径半径OOB BA A圆心角圆心角弧弧OOB BA A扇形扇形精讲点拨精讲点拨（1 1）半径为）半径为R R

5、的圆的圆, ,面积是面积是_ S=RS=R2 2 （2 2）圆心角为）圆心角为1 1的扇形的面积是的扇形的面积是_ 360R2（3 3）圆心角为）圆心角为n n的扇形的面积是圆的扇形的面积是圆心角为心角为1 1的扇形的面积的的扇形的面积的_倍倍, ,是圆面积的是圆面积的_ _ n n（4 4）圆心角为）圆心角为n n的扇形的面积是的扇形的面积是_ _ 3602Rn自学提纲自学提纲2 2自学教材自学教材P111-P112P111-P112，思考下列内容：，思考下列内容： A AB BOOn n（2 2）圆的面积可以看作是）圆的面积可以看作是_度的度的圆心角所对的扇形圆心角所对的扇形3603603

6、60n扇形面积公式扇形面积公式 若设若设O O半径为半径为R R，圆心角为，圆心角为n n的扇形的面积的扇形的面积S S扇形扇形，则，则注意注意: :（1 1）公式中）公式中n n的意义的意义n n表示表示1 1圆心角的圆心角的倍数，它是倍数，它是不带单位不带单位的；的；（2 2）公式要）公式要理解记忆理解记忆（即按照上面推导（即按照上面推导过程记忆）过程记忆）. . 3602RnS扇形3.3.圆心角是圆心角是1801800 0的扇形面积是多少？的扇形面积是多少？圆心角是圆心角是90900 0的扇形面积是多少？的扇形面积是多少？圆心角是圆心角是2702700 0的扇形面积是多少？的扇形面积是多

7、少？ 2.2.（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角的增大而的增大而_。增大增大尝试练习尝试练习2 221个圆面积个圆面积41个圆面积个圆面积1.1.扇形的弧长和面积都由扇形的弧长和面积都由_、_决定？决定？已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为120120, ,半径为半径为2 2，则这个扇形的面积为多少？则这个扇形的面积为多少？尝试练习尝试练习2 22360n RS扇形2360360nnSSR圆扇形212024360321204(2 )3603已知扇形的半径为已知扇形的半径为3 3cm,cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm,则该扇形的面积是则该扇形的面

8、积是_cm_cm2 2, ,180Rnl2336036036022RnS扇形1803n60n当堂训练当堂训练,3lR代 入问题问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？：扇形的面积公式与什么公式类似？ lRS21扇形3602RnS扇形180Rnl精讲点拨精讲点拨RRnRRnS180212180扇形lR21ahS21已知扇形的半径为已知扇形的半径为3cm,3cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,回顾思考回顾思考lRS21扇形解：2332123如图、水平放置的

9、圆柱形排水管道的截面如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是半径是0.6cm0.6cm，其中水面高，其中水面高0.3cm0.3cm，求截面，求截面上有水部分的面积。（精确到上有水部分的面积。（精确到0.01cm0.01cm）。）。0 0B BA AC CD D弓形的面积弓形的面积 = S= S扇扇- S- S提示：要求的面积，可提示：要求的面积，可以通过哪些图形面积的以通过哪些图形面积的和或差求得和或差求得加深拓展加深拓展解：如图，连接解：如图，连接OAOA、OBOB，作弦，作弦ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，垂足为垂足为D D，交弧，交弧ABAB于点于点C. C. OC=0.6OC=0

10、.6，DC=0.3 DC=0.3 在在RtRtOADOAD中，中，OA=0.6OA=0.6，利用勾股定理可得：，利用勾股定理可得：30.33 . 00.6AD2222ODOAOD=OC-DC=0.6-0.3=0.3OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3AOD=60AOD=60， AOB=120AOB=120在在RtRt OAD OAD中，中，OD=0.5OAOD=0.5OAOABABSSO扇形0.60.30 0B BA AC CD D OAD=30 OAD=3021200.61O3602ABD3 . 036 . 02112. 022. 0有水部分的面积为有水部分的面积为= =变式：变式：如图

11、、水平放置的圆柱形排水管道的如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是截面半径是0.6cm0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm0.9cm，求截，求截面上有水部分的面积。面上有水部分的面积。0ABDCE弓形的面积弓形的面积 = S= S扇扇+ S+ Sv S弓形弓形=S扇形扇形-S三角形三角形v S弓形弓形=S扇形扇形+S三角形三角形规律提升规律提升00 0弓形的面积是扇形的面积与三角形弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差面积的和或差通过本节课的学习，通过本节课的学习，我知道了我知道了学到了学到了感受到了感受到了体会分享体会分享2. 2. 扇形面积公式与弧长公式的区别：扇形面积公式

12、与弧长公式的区别：S扇形扇形 S圆圆360nl弧弧 C圆圆360n1.1.扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？（2 2）与半径的长短有关）与半径的长短有关（1 1）与圆心角的大小有关）与圆心角的大小有关lRS21扇形2360n RS扇形180Rnl1.1.如图，已知扇形如图，已知扇形AOBAOB的半径的半径为为1010，AOB=60AOB=60，求弧求弧ABAB的长和扇形的长和扇形AOBAOB的面积的面积（写详细过程）（写详细过程）当堂测验当堂测验2.2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是，则此扇形的圆

13、心角是_813 3、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为3cm,3cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm,则该扇形的积是则该扇形的积是_cm_cm2 2, ,扇形的圆心角为扇形的圆心角为_. .1.1.如图，已知扇形如图，已知扇形AOBAOB的半径为的半径为10cm10cm，AOB=60AOB=60，求弧，求弧ABAB的长的长和扇形和扇形AOBAOB的面积的面积( (写过程）写过程）当堂测验当堂测验2.2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是，则此扇形的圆心角是_813 3、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为6cm,6cm,扇形的弧长为扇形

14、的弧长为cm,cm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,扇形的圆心角扇形的圆心角为为_. .cm3102350cm454533030推荐作业推荐作业1.1.教材教材124-125124-125页，习题页，习题24.424.4第第3 3、7 7题题 2.2.变式练习变式练习：如图、水平放置的圆柱形排如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是水管道的截面半径是0.6cm0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm0.9cm，求截面上有水部分的面积。，求截面上有水部分的面积。0如图，两个同心圆中，大圆的半径如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cmOA=4cm，AOB=BOC=6

15、0AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积是则图中阴影部分的面积是_cm_cm2 2。 BCAA A, , B B, , C C两两不相交两两不相交, ,且半径都且半径都是是1 1cmcm, ,则图中的三个扇形的面积之和则图中的三个扇形的面积之和为多少为多少? ?弧长的和为多少弧长的和为多少? ? （0707年北京）年北京）已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为a a，分别以，分别以A A、B B、C C为圆心，以为圆心，以0.5a0.5a为半径的圆相切于为半径的圆相切于点点D D、E E、F F，求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积S.S.如图如图,A,A、B B、C C

16、、D D相互外离相互外离, ,它们的它们的半径都是半径都是1,1,顺次连接四个圆心得到四边形顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,ABCD,则图形中四个扇形则图形中四个扇形( (阴影部分阴影部分) )的面积之的面积之和是和是_._.如图，如图， A、 B、 C、 D两两不相交，两两不相交，且半径都是且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积。 （07年山东）年山东）ABCD1.1.扇形的面积是它所在圆的面积的扇形的面积是它所在圆的面积的 , ,求这求这个扇形的圆心角的度数个扇形的圆心角的度数;(;(0505陕西陕西) )2.2.扇形的面积是扇形的面积是S S，它的半径是，它的半

17、径是r r, ,求这个扇形求这个扇形的弧长的弧长;(;(0505年太原年太原) )3.3.扇形所在圆的圆心角度数为扇形所在圆的圆心角度数为150150, ,L L=20cm,=20cm, 求求:(1).:(1).扇形所在圆的半径扇形所在圆的半径; ; (2). (2).扇形的面积扇形的面积; ; （0505年台州年台州） 32中考连接中考连接4.4.一块等边三角形的木板一块等边三角形的木板, ,边长为边长为1,1,现将木现将木板沿水平线翻滚板沿水平线翻滚( (如图如图),),那么那么B B点从开始至点从开始至B B2 2结束所走过的路径长度结束所走过的路径长度_._.( (0707年湖北年湖北

18、) )BB1B2UFB1BAB CD EF B2钟表的轴心到分针针端的长为钟表的轴心到分针针端的长为5cm5cm，那么经过那么经过4040分钟，分针针端转过的弧长分钟，分针针端转过的弧长为为_。如图，从如图，从P P点引点引O O的两切线的两切线PAPA、PAPA、PBPB，A A、B B为切点，已知为切点，已知O O的半径为的半径为2 2，P P6060，则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为 。R23如图水平放置的圆形油桶的截面半径为如图水平放置的圆形油桶的截面半径为R R，油面高为油面高为 则阴影部分的面积为则阴影部分的面积为 。（0505重庆重庆）R232)4332(R8 8、如图，在、如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=900 0，AC=2AC=2，AB=