二次型的基本概念ppt课件

1、1122111121213131122222323222333332(,)222222 称称系系数数属属定定义义于于数数域域 的的 个个变变量量的的二二次次齐齐次次多多项项式式为为数数域域 上上的的一一个个 元元(quadratic form)(quadratic form)。本本章章主主要要讨讨论论 元元实实二二次次型型，简简称称二二次次。型型型型1 1二二次次nnnnnnnnnnPnf xxxa xa x xa x xa x xa xa x xax xa xax xa xPnn 6.1二次型的基本概念二次型的基本概念2122221122(,)nnnnf xxxd xd xd x 给给定定一

2、一个个 元元二二次次型型，若若具具有有平平方方和和的的形形式式, ,则则称称二二次次型型型型为为。标标准准,.( )jiij na ijAa i ij j设设a a于于是是得得到到实实对对称称矩矩阵阵利利用用矩矩阵阵的的乘乘法法运运算算可可将将一一般般的的二二次次型型( (6 6. .1 1) )表表示示为为31221111212112212122222211,1111112212112222121122(,)(,)nnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnnnnf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa xa xa xa xa xa xaxxxxa x

3、axa x L LL LL LL LL LL LL LL LM ML L2,.ijijijijjijijiija x xa x xa x xaa 让让 其其中中41112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax L LL LL LMMMMMMMMMML L5111211212222121212,(,),.(6.2)(,)nnnnnnnTTnnaaaxaaaxAXaaaxf xxxX AXAAf xxxAfAf令令则则称称(6.2)(6.2)式式为为二二次次型型的的，矩矩阵阵 为为 的的矩矩阵阵， 的的秩秩为为矩矩阵阵表表示示对对称称的的秩秩。611,nnTi

4、jijijnAX AXa x x 反反之之，对对于于任任一一阶阶对对称称矩矩阵阵为为一一个个非非零零二二次次型型。112() ,.ijnnnTijijijijijjiiiiTTnCcX CXc x xx xccij xcX CXCC 对对于于任任一一 阶阶矩矩阵阵的的系系数数为为的的系系数数为为因因此此为为二二次次型型当当且且仅仅当当注注意意：72,22(1)(1,2, )TTTTTTijijijiiiiiX AXX BXAABBX AXX BXx xabijnxab inAB又又若若其其中中，则则二二次次型型与与中中的的系系数数与与必必相相等等，的的二二次次型型和和它它的的矩矩阵阵是是相相互

5、互唯唯一一确确定定系系数数与与必必相相等等，故故，即即，这这就就使使得得二二次次型型的的问问题题可可用用对对称称矩矩阵阵来来帮帮的的助助讨讨论论。82221231122233( ,)435f x xxxx xxx xx例例2 2 将将写写成成矩矩阵阵形形式式。3 32 f),i ij ji i解解： 设设 的的矩矩阵阵为为A A= =( (a a为为 中中 的的系系数数，为为f f中中x x系系数数的的一一半半（i ij j) )TiiiijjAAafxax 1123123231201205523,(,)(,) 232255010122故故A A= =xf xxxxxxxx 911333162

6、31设设，则则是是一一个个二二次次型型。例例TAX AX 解解：实实际际上上，我我们们只只需需要要判判断断是是否否是是一一个个二二次次齐齐次次多多项项式式。TX AX10 112323112312312323222123121323113()33162136323329是是一一个个二二次次齐齐次次多多项项式式，依依然然是是一一个个二二次次型型，但但 并并不不是是二二次次型型的的矩矩阵阵。TTxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xx xX AXA11112323231(,) 1012113写写出出二二次次型型的的矩矩阵阵。例例 xxxxxx 22311012113()( ,1,2

7、,3)2解解： 不不是是对对称称矩矩阵阵，二二次次型型中中的的系系数数为为， 的的系系数数为为，故故二二次次型型的的矩矩阵阵 的的元元素素. .ijijjiiiiijjiijBx xbbijxbbbAai j 12。 3623601231221222222333223311332232221123113211211ABBbbbbbbbbbbbbbbbAT)(2,().T T只只要要不不是是反反对对称称矩矩阵阵，X X都都是是二二次次型型，的的系系数数为为的的系系数数为为iiiijijjiBBXxbx xbbij 13把一个二次型转化为标准型把一个二次型转化为标准型 nnnnnnnnnnycyc

8、ycxycycycxycycycxn2211222212121212111136 ).(.量替换：量替换：元二次型，作如下的变元二次型，作如下的变一般的一般的对对14111111()写写成成矩矩阵阵形形式式或或。(6.3)(6.3)式式表表示示的的变变量量之之间间的的替替换换可可逆逆线线称称为为线线性性替替换换，当当矩矩阵阵可可逆逆时时，称称为为( (或或满满秩秩的的线线性性替替换换，或或非非退退化化的的性性替替换换线线性性替替换换等等) )。nnnnnnijnxccyXCYxccyCc 151212(,)()(,)TTnTTnf xxxX AX AAXCYfg yyyY BYBC ACg 对

9、对二二次次型型作作可可逆逆线线性性替替换换，则则 化化为为新新变变量量的的二二次次型型，其其中中为为定定理理1 1的的矩矩阵阵。1612(,)()()()证证明明： ，XCYTnTTTf xxxXAXCYA CYYCAC Y ()()令令，由由于于以以及及可可逆逆，所所以以，是是对对称称矩矩阵阵。TTTTTTTTTBC ACBC ACC ACC ACBCB 12(,)又又 是是二二次次型型，它它的的矩矩阵阵 不不为为零零，与与等等价价，故故不不为为零零。于于是是，是是二二次次型型，对对称称矩矩阵阵为为 的的矩矩阵阵。TnfABABg yyyY BYBg 17 设设 与与 是是两两个个n n阶阶矩矩阵阵，若若存存在在可可逆逆矩矩阵阵 ，使使得得，则则称称 与与，记记定定义义2 2合合为为同同。TABCBC ACABAB 由由此此定定义义不不难难验验证证矩矩阵阵的的合合同同关关系系满满足足下下列列三三条条性性质质：(1)(1)反反身身性性，；(2)(2)对对称称性性，若若，则则；(3)(3)传传递递性性，若若，则则。AAABBAABBCAC 182221122332223 11223(1)(2) 证证明明：二二次次型型可可经经一一个个非