算术平均数与几何均数

1、算术平均数与几何均数一、教学目标：1掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；2利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”二、教学重点：不等式的简单运用；三、教学过程：（一）主要知识：1、算术平均数：如果，那么叫做这两个正数的算术平均数。2、几何平均数：如果，那么叫做这两个正数的几何平均数。3、定理：如果，那么（当且仅当a=b时取“=”号）4、推论：如果，那么（当且仅当a=b时取“=”号）5、基本不等式：若，则 当且仅当a=b时取“=”号（二）例题分析：题型1、利用基本不等式比较大小例1、若，试比较P，Q。R的大小。解：，即Q又，即题型2、利用基本不等式证明不等式例2

2、、已知，求证证明：同理,三式相加得练习证明不等式：若，则证：例3、已知a,b,c为不等正数，且abc=1，求证：证一： a,b,c为不等正数，且abc=1证二： a,b,c为不等正数，且abc=1所以小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。练习：已知且a+b=1求证：证一：证二：因为且a+b=1，所以，题型3、利用基本不等式求最值例4、（1）已知，求函数的最大值。（2）已知a,b为实常数，求函数的最小值。分析：利用基本不等式求最值要注意一正、二定、三等号相等。解（1）当且仅当，即x=1时”=”成立当x=1时（2）另解： 当且仅当x-a=b-x，即时，结论：满足一正、二定、三相等和定积最大，

3、积定和最小。题型4、基本不等式的综合应用例5、已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v)，若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度v0应为多少？分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体现了分类讨论这一重要的数学思想，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则当v=12时，y1=720得k=5设全程燃料费为y，依题意

4、有当，即v=16时取等号8<v所以当时，v=16时全程燃料费最省当时，令任取则即在上为减函数，当v=v0时，y取最小值综合得：当时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当时，当v=v0时，全程燃料费最省，为元。另解：当时，令上为减函数以下相同小结：注意基本不等式应用条件和分类讨论判断函数单调性用导数是很有效的方法（三）巩固练习：1.设则下列各式中正确的是 ( )A B C D 2.下列不等式的证明过程正确的是 ( )A 若则 B 若,则C 若则 D 若则3.设实数满足且则下列四数中最大的是 ( )A B C D 4.在下列结论中,错用重要不等式作依据的是 ( )A 则 B

5、C ， D 5.已知那么的最大值为 ( )A B C D 6.设为实数且则的最小值是 ( )A B C D 7设,则在 ； (2) (3)； (4)这四个不等式中,不正确的有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个8. 设且若,则必有 ( )A B C D 9. 设都是正数,则 ( )A B C D P与Q的大小关系与有关,不能确定.10甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若mn，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（ ）A甲先到B乙先到C甲乙同时到D不能确定参考答案 ADACB BBDAA