现代控制理论复习大纲

1、现代控制理论课程回顾 第一部分 系统数学模型的建立1.系统数学模型的种类:A 、输入输出描述:输入输出微分方程、输入输出差分方程:( ( ( ( ( ( ( ( (12(21(11 2(2 1(1 (t u b t ub t u b t u b t y a t ya t y a t y a t y n n n n n n n n n +=+-121121121121n k u b n k b k u b k u b n k y a n k a k y a k y a k y n n n n -+-+-+-=-+-+-+-+-传递函数 (s域 、脉冲传递函数 (z域 nn n n nn n n

2、n a s a s a s a s b s b s b s b s u s y s g +=-1221112211 ( ( ( n n n n n n n n n a z a z a z a z b z b z b z b z uz yz g +=-1221112211 ( ( ( 传递矩阵 (s域 、脉冲传递矩阵 (z域 ( ( (: (s s s s u G yG = ( ( (:(z z z z u G yG = 脉冲响应函数、脉冲相应矩阵:(因果、 t 0时刻松弛-=-=-=-=-+-tt tt td t u g d u t g d u t g d u t g t y 0( ( ( (

3、 ( ( ( ( (-=-=-=-=-+-tt t t t d t d t d t d t t 0( ( ( ( ( ( ( ( (u G u G u G u G yB 、状态空间描述基本概念:状态、状态变量、状态向量、状态空间、状态轨线、状态方程、输出方程、动态方程(状态空间表达式、状态空间方程、状态方程线性系统的结构图 2.线性系统动态方程的建立A 、由系统机理出发建立系统的状态空间表达式这是最基本的方法实践中这也是主要的甚至是唯一的方法。这需要涉及相关学科的一些 基本知识, 如电学 (RLC 电路 、 力学 (弹簧 -阻尼器系统 、 运动学、 电磁学 (电机特性 , . 等等。 考试只要

4、求 RLC 电路和弹簧 -阻尼器系统 。 B 、由另外已知的系统模型转换:(1 由动态结构图 注意状态变量的选择 如图所示:该单元应该是:( ( ( ( ( ( ( (t bx t av t v s x b s v a s s xas bs v +-=+=(2 由输入输出微 (差 分方程、由传递函数:系统的数学模型与其初态无关,因此输入输出微 (差 分方程很容易一一对应为传递函数 (零初始条件下输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比( ( ( ( ( ( ( ( (12(2 1(11 2(2 1(1 (t u b t u b t u b t u b t y a t ya t y a t y a t

5、 y n n n n n n n n n +=+- 一一对应于n n n n n n n n n a s a s a s a s b s b s b s b s us ys g +=-1221112211 ( ( ( 同样:121121121121n k u b n k b k u b k u b n k y a n k a k y a k y a k y n n n n -+-+-+-=-+-+-+-+-一一对应于n n n n nn n n n a z a z a z a z b z b z b z b z uz yz g +=-1221112211 ( ( ( 而由传递函数求相应的状态空

6、间表达式是所谓的实现问题。以连续时间传递函数的实现问题为例:若传递函数形如+=-n n n n n n n n n s s s s s s s s u s y s g 1221112211 ( ( ( 其状态方程实现是:du y u +=+=cx b Ax x;则默认的能控标准型实现是(通常叫能控 II 型,教材上称之为能控 I 型:下友型=-=-d n n nn n n ,1000,1000001000010121121 c b A 当然,还有可称为右友型能控标准型实现:(通常叫能控 I 型,教材上称之为能控 II 型:=-=-d n n n n n , 0001, 100001000100

7、0121121 c b A 在著名控制理论学者陈启宗教授 美国 的第三版教材上给出了新的能控标准型型式,它的系统矩阵是上友型矩阵,它只是把下友型能控标准型实现的状态变量逆序重排了一下:ut du y u t u (0001 (01000010000143214321+=+=+-=+=x x c x b Ax x当然,把右友型能控标准型实现状态变量逆序,还可得到左友型能控标准型:12112310000100, 00100001, n n n d -=-=A b c该传递函数的其能观标准型实现是(能观 II 型:=-=-d n n n n n n ,100,1000010001000121121

8、c b A 当然,它也有另外几种形式,这里略去。C 、由动态方程到传递函数(矩阵( ( ( ( ( (t t t t t t Du Cx y Bu Ax x+=+= D B A I C G +-=-1 ( (s sD 、连续时间系统的离散化设采样周期为 T ,输入值仅在离散时间时刻上可以改变。即对所有的 , 2, 1, 0=kT k t kT k kT t 1(: ( (+<=u u u( ( ( ( ( (t t t t t t Du Cx y Bu Ax x+=+= T 1k k k k k k Du Cx y Gu Fx x +=+=+, Te A F = =-d e TT A 0

9、(B G , C D 不变E 、离散时间系统的直接建模通常社会、人文系统直接建立的数学模型通常都是离散时间系统。所不同的是,离散化 系统的系统矩阵一定非奇异,而直接建模的离散时间系统则不然。F 、非线性系统的线性化通常都是指在平衡工作点附近的小扰动线性化:3.线性变换(状态变换状态空间方程的转换:( ( ( ( ( (t t t t t t Du Cx y Bu Ax x+=+= 1k k k k k k Du Cx y Bu Ax x +=+=+设状态变换为x x Q =-, 1则变换后的状态空间表达式为:( ( ( ( ( (t t t t t t u y +=+=1k k k k k k

10、 u y +=+=+其中DCQB Q AQ Q =-11线性变换不改变系统的传递函数;所以不改变系统的 BIBO 稳定性; 线性变换不改变系统的特征值;所以不改变系统的渐近稳定性; 线性变换不改变系统的能控性; 线性变换不改变系统的能观性;第二部分 系统的定量分析1.线性定常系统状态方程的解( ( ( ( ( (t t t t t t Du Cx y Bu Ax x+=+=-+=+=-d t Bu e e d Bu e e t tA At t t A At 0( ( 0( ( 0( (x x x2.状态转移矩阵 At e 的基本性质:首先指出矩阵指数的定义:kk k tk t e t A A

11、=0!(11 (-=A I s t L 即: 1 (-=A I At s e L(2A A ( ( (t t t =即: A A t A t A t A e e e dtd = ( (3I = 0( 即: I O =e e A 0性质 (2、 (3表明矩阵指数满足上述有初态的矩阵微分方程。 (4 ( ( (2121t t t t += 即: (2121t t A At At e e e +=推论 1:状态转移矩阵非奇异,且 (1t t -=- 推论 2:对任意整数 k ,总有 (kt t k = (5对任意非奇异矩阵 P ,总有P P PAP A ttee 11-=(6若 A 、 B 为可交换

12、方阵,即 BA AB =,则t B t B t A e e e (+=A推论 3:对标量 和方阵 B ,若有 B I A +=,则t B t t e e e =A3矩阵指数的求法:直接计算法kk k tk t et A A =0!( 拉氏变换法 (11-=A I At s L e标准型法P P PAP A t t e e 11-=这里的标准型主要指约当标准型。对角线型是它的一个特例,模式型是它的一个变种。 要用标准型法求取矩阵指数,以下几个公式是非常重要且应该记忆的。若 , , , Diag(21k A A A A =, 则 , , , Diag(21t t t t k e e e e A A

13、 A A =若 , , , diag(21k = A , 则 , , , diag(21t t t t k e e e e = A若 =000001000010000100001 A , 则 -=-100000000! 3(1100! 2(12110!1(1! 31211322132tt n t t n t t t n t t t e e n n n t t A若 -=A , 则 -=t t t t e e t tcos sin sin cos A待定系数法根据凯莱-哈密尔顿定理和矩阵指数的定义可得:k n k k tt eA A -=1(当 A 有互不相同特征值时, (t k 可由下式确定:

14、p R 1112122221121111021111 ( ( (-=t t tn n n nn n n n e e e t t t而当 A 有重特征值时, 如此构造的 R 阵会出现完全相同的行, 从而造成奇异。 解决的办法是:若 R 阵的第 l 行与第 l +1行相同, 只需将 R 阵第 l 行的各个元素及 p 向量的第 l 个元素对 l 求导, 得到的新行替代原先的第 l +1行, 若 l 有 k 重, 只需对第 l 行的各个元素对 l 求导 n -1次。例:4阶方阵 A 的特征值是 4111, , , ,则有=-t t t t e e t te e t t t t 411121342441

15、2113121132101620032101 ( ( ( (第三部分 系统的定性分析一、能控与能达1.定义状态能控、状态能达、状态完全能控、状态完全能达、系统能控、系统能达;已知系统的状态方程为:Bu Ax x+= ,(记作系统 A , B ,下同及该系统状态空间 中的一个特定的状态 ,若对每一个 0>f t ,总存在定义在时间域 0,t f 上的控制函数 (u , 能把系统 A , B 从初始状态 x = 0(转移到状态 0x = (f t ,则称该系统的这一特定状态 是 能控的。反之,若存在能将 0x = 0(转移到状态 x = (f t 的控制作用,则称状态 是能达的。 若系统 A

16、 , B 的状态空间中每一个状态都是能控(能达的则称该系统是状态完全能控 (能达的,简称为该系统是能控(能达的。注 1:上述定义中“对每一个 0>f t ,总存在”可修改为“存在一个有限的 0>f t ,及”。 对连续时间系统而言上述两个说法完全等价,而后者更容易推广至离散时间系统。注 2:教材上直接给出了系统能控的定义,易见它等价于我们这里的“既能控又能达”。 当然对于连续时间系统,系统的能控与能达完全等价,故教材上对系统能控的定义与我们给 出的定义是相互兼容的。但若没有状态能控的定义,对“能控子空间”、“能控性分解”等 概念较难理解。2.能控性定理:对任意 t >0, n

17、 ×n 矩阵 W C (t 非奇异'='=-'-'tt t t C d e e d e e t 0( (0(A A A A B B B B W3.能控性判据:n ×np 维能控性矩阵 M C 的秩为 n (行满秩12B A B A AB B M -=n C4.能控性校验:对 A 的任意特征值 (, p n n +维矩阵 B IA -行满秩5.能控标准型:对单输入系统 A , b 若系统能控,则存在唯一的等价变换 P ,将系统变换为能控标准型 系统 1, C C -=A PAP b Pb :=-=-1000, 1000001000010121c

18、 n n nc b A其中:112111n -=p p A P p A p A, 1100010001n C -=p b Ab A b M另外,还可以通过系统特征方程的的系数求 P ,设系统的特征方程是:111det( 0n n n n -=+=I A 则状态变换矩阵为(这两种方法是等价的1212211110101000n n n n n C -=P b Ab A b A b M T6.系统的输出能控性:系统的输出能控性与能达性定义,可以仿照状态能控、能达性的定义给出。系统输出能 控的条件是:输出能控性矩阵:12D B CA B CA CAB CB M -=n cy 满秩。7.离散系统能控性与

19、能达性如前所述,离散时间系统的能控、能达性,从概念上讲几乎没有区别。对离散时间系统 有 j 步能控与 j 步能达的概念。设1j cdj -=M F FG F G 若 n cdj = (M ,则系统为 j 步能达的;而系统为 j 步能控的充要条件是:( ( n cdj M F显然,离散系统能控的条件比能达的条件要弱一些。当 n j =时可省略“ n 步”一词。8.离散化系统与原系统能控性之间的关系:设连续时间系统 A , B ,在采样周期 T 下被离散化为 F , G :( ( (t t t Bu Ax x+= T 1k k k Gu Fx x +=+ A 、若 A , B 不能控,则 F ,

20、G 也一定不能控;B 、若 A , B 是能控的,则 F , G 也能控的充分条件是:当 R e i -j =0时, , 2, 12 Im(=-m Tmj i 对单输入情况,此条件也是必要的。二、能观与能构,对偶性原理1.定义状态能观、状态完全能观、系统能观;状态能构、状态完全能构、系统能构;对线性系统 A , B , C , D , 及该系统状态空间中的一个特定的状态 , 若能依据有限时间 域 0,t f 上的控制函数 (u 和输出函数 (y , 能够唯一确定初始状态 x = 0(, 则称状态 是 能观的。此外,若能依据有限时间域 0,t f 上的控制函数 (u 和输出函数 (y ,能够唯一

21、确 定状态 x = (f t ,则称状态 是能构的。若系统 A , B , C , D 的状态空间中每一个状态都是能观(能构的则称该系统是状态完 全能观(能构的,简称为该系统是能观(能构的。注:上述定义中若令 0=u 可使表述及相关定理的证明更简捷一些。2.能观性定理:对任意 0>t ,非奇异。对任意 t >0, n ×n 矩阵 W O (t 非奇异'='d e e t A tA O 0(C C W3.对偶原理对照能观性定理与能控性定理, 不难发现能控与能观之间的对偶关系, 即:线性系统 S 1: A , B , C , D 与 S 2:, , , T T

22、 T T D B C A 是一对对偶系统, S 1的能达性与 S 2的能观性、 S 1的能控 性与 S 2的能构性是完全对应相同的。注:对于连续时间系统,由于系统的能达性与能控性以及能观性与能构性完全一致,故 对偶定理的通常提法是能控性与能观性的对偶。有了对偶性原理,以下的结论自然是不言而喻的。4.能观性判据:nq ×n 维能控性矩阵 M O 的秩为 n (列满秩=-1n O CA :CA C M 5.能观性校验:n q n + (的矩阵 -C I A 对 A 的每个特征值 均列满秩6.能观标准型:对单输出系统 A , B , c 若系统能观,则存在唯一的等价变换 T ,将系统变换为

23、能观标准 型系统 , , 11-=cT c TB B TAT A o o o :其中矩阵对 , (o o c A 被称作能观标准型。=-=-d o n n no n n n o ,100,1000010001000121121c b A 设系统的特征多项式为:n n n n n f +=-=-12211 det( ( A I 则=-121321210001001011n n n n n n cA cA cA c T离散系统能观性与能构性三、规范分解1.象空间与化零空间n 行 m 列矩阵 A 的象空间和化零空间分别定义为: 象空间:, : (n m R =x Ax y y A 化零空间: (0A

24、x x A =n N2.能控子空间系统状态空间中所有能控状态的集合构成一个线性空间, 称之为系统的能控状态子空间, 简称为系统的能控子空间;能控状态子空间的正交补空间称为不能控状态子空间,简称为系 统的不能控子空间。能控子空间:, ( (pn C C C C R R X =z z M x x M W不能控子空间:, (n TC T C C N X X =x 0x M x M3.状态方程的能控性分解如果系统 A , B 不完全能控,则可用代数等价变换将之变换成 , ,使得u B x x A A A x x+=0012c c c c将之记为:u +=,其中:B Q AQ Q 11, -=c cc而

25、12111n n n c q q q q q Q +=这里的前 n 1个列向量是能控子空间的一组基,通常可选择为 M c 的 n 1个互不相关列向量,而后 1n n -个列向量可在保证 Q c 可逆的条件下任意选择。4.能观子空间系统状态空间中所有不能观状态的集合构成一个线性空间,称之为系统的不能观状态子 空间,简称为系统的不能观子空间;不能观状态子空间的正交补空间称为能观状态子空间, 简称为系统的能观子空间。不能观子空间:, ( (n O O O N N X =x 0x M x M W能观子空间:( (TO O O R R X M W =5.能观性分解如果系统 A , B , C 不完全能观

26、,则可用代数等价变换将之变换成 , , ,使得=+=o o o o o x x 0C y u B B x x A 0A x x , 21 将之记为:y u =+=, ,其中:11, -=o o o o CP B P AP P 而TT n T n T n T T o 12111p p p p p P += P o 的前 n 1个行向量是能观子空间的一组基,通常可选择为 M o 的 n 1个互不相关行向量,而后1n n -个行向量可在保证 P o 可逆的条件下任意选择。6.规范分解如果线性系统 A , B , C 既不完全能控又不完全能观, 则用等价变换可将系统的状态空间 方程分解成如下的规范型:

27、y u =+=,=+=c co co c co o c co o c co c co x x x x 0C 0C y u 00B B x x x x A 0000A A A A 0A 0A x xx x , 4324232113 且(设原系统状态空间的维数为 n ,其中既能控又能观状态子空间的维数为 n n <1co co n co n s s s B A I C B A I C G 111 ( ( (-=-= 7.能稳定(镇定与能检测四、稳定性1.外部稳定性(BIBO 稳定性概念及充要条件一系统称为 BIBO 稳定 的(界输入有界输出稳定是指每一个有界的输入信号所引起的 输出都是有界的

28、。 BIBO 稳定性是定义在零状态响应之上,且仅当系统初始松弛时才能使用。对以下面方式描述的线性系统-=-=tt d t u g d u t g t y 0( ( ( ( ( =-=-=k m km m k u m g m u m k g k y 0其 BIBO 稳定的充要条件是其脉冲相应函数在 0,+ 上绝对可积(可加。即对某正常数 M 有<0(M dt t g=<0k M k gBIBO 稳定充要条件的另一种表述方式是:系统既约传递函数(矩阵的所有极点均位于 S 平面(连续的开左半平面内,或位于 Z 平面(离散的单位圆以内(不包括边界。2.内部稳定性(李雅普诺夫意义下的稳定性、

29、限界稳定性A 平衡状态及唯一性状态 e x 称为在 0t 的平衡状态的充要条件是,对于所有的 0t t 有 , , ; (00x x e e t t =。 系统存在唯一的平衡状态的充要条件是:对连续时间系统系统矩阵非奇异, 对离散时间系 统系统矩阵没有 1特征值。B 李雅普诺夫意义下的稳定性、限界稳定性平衡状态 e x 称为在 0t 是李雅普诺夫意义下稳定的,当且仅当对于每个 0>,存在着一依 赖于 和 0t 的正数 ,使得若 -e x x 0,则对于所有的 0t t 有-e t t x 0x , , ; (00特别地,对线性系统:方程 x xA = 的响应是 限界稳定 的或称 李雅普诺

30、夫意义下稳定 的是指对由每个有限的初态 0x 所引起的响应有界。而 渐近稳定 是指对由每个有限初态所引起的有界响应当 t 时趋于 零。3.线性定常系统的特征值判别:A 方程 Ax x = 限界稳定的充要条件是 A 的所有特征值均具有零或负的实部, 且其零实部特征值均是 A 的最小多项式的单根;B 方程 Ax x= 渐近稳定的充要条件是 A 的所有特征值均有负实部。 C 方程 1k k Ax x =+是限界稳定的充要条件是 A 的所有特征值, 其模都小于或等于 1。 且模为 1的特征值是 A 之最小多项式的单根;D 方程 1k k Ax x =+渐近稳定的充要条件是 A 的所有特征值的模均小于

31、1。4.李雅普诺夫直接法泛函与范数、正定函数、李雅普诺夫函数如果在状态空间原点邻域 R 内存在正定函数 V (x , 且 (xV 为负半定函数, 则原点为限界 稳定的平衡状态。具有这种特点的函数 V (x 称作李雅普诺夫函数。如果在状态空间原点邻域 R 内存在正定函数 V (x , 且 (xV 为负定函数, 则原点为渐近稳 定的平衡状态。具有这种特点的函数 V (x 称作李雅普诺夫函数。注意:( 0V x与状态方程 联立,可导出 x 0,则上述 (xV 可放松为负半定函数。如果在状态空间原点邻域 R 内存在正(负定函数 V (x ,且 (xV 也是正(负定函数, 则原点为不稳定的平衡状态。注意

32、:以上结论均为充分而非必要条件。线性二次型及其定号性(数学基础,略去线性定常系统的李雅普诺夫稳定判据:1. 矩阵 A 的所有特征值均具有负实部的充要条件是:对任意给定的正定对称阵 Q , 李雅 普诺夫方程QPAPA -=+T有唯一的对称解 P ,且 P 是正定的。2.矩阵 F 的所有特征值之模都小于 1的充要条件是:对任意的正定对称阵 N ,则离散 李雅普诺夫方程T-=M F MF N有唯一的对称正定解 M 。第四部分 系统的设计问题一、反馈控制系统的结构输出反馈 状态反馈 输出内反馈二、状态反馈与极点配置1.状态反馈的形式:考虑 n 维单变量状态方程(假设 0=d 以简化讨论cx b Ax

33、x =+=y u + x k -=r u cxb x bk A x=+-=y r (2.对任意 n 1的实常向量 k ,矩阵对 (b , bk A -能控的充要条件是 (b , A 是能控的。3.若 n 维状态方程 (8.1能控,则通过状态反馈 kx -=r u ,就可以任意指定 bk A -的特 征值,只要所指定的复特征值是以共轭对方式出现即可。其中 k 为 n 1的实向量。4.状态反馈对零点没有影响。5.状态反馈增益的计算A 待定系数法, B 标准型法三、输出内反馈与等维状态观测器1.状态观测器的基本概念:条件:已知 A , b , c 及所有 0>t 时的 u (t 和 y (t

34、,但 x (0未知,要求构造模拟系统使其输 出 (t x满足: 0 ( (lim =-t t t xx 2.状态观测器的典型形式+=+=Sy Rz x Hu Gy Fz z 3.输出内反馈与等维(全维状态观测器cxb Ax x =+=y u + (x c l b x A x -+=y u u y b l x lc A x +-= ( A 等维状态观测器的估计误差 x x x-=满足: x lc A x (-= B 如果 , (c A 能观,等维状态观测器的极点(A -lc 的特征值可以任意配置。等维状态观测器存在的条件是 , (c A 能检测。四、复合控制与分离定理1.所谓复合控制是指:用状态

35、观测器的输出(观测状态 (t x替代状态变量的真实值进行状 态反馈。 cxb Ax x =+=y u + xk b l x lc A x (-=+-=r u u y更一般地cxb Ax x =+=y u + +=+=y u y S Rz xH G Fz z + xk -=r u2.闭环系统=+-=x x 0c b b x x lc bk A lc bk A x x y v 或=+-=x x 0c0b x x lc A 0bk bk A x xy v 更一般地=+-=z x 0C y r H B z x HKR F HKSC GC BKR BKSC A z x 3.分离定理:若系统 , , c

36、b A 既能控又能观,则系统的极点配置与状态观测器的设计可 以分开来设计。观测器的设计不影响配置好的极点,状态反馈也不影响观测器的收敛性。4. 闭环系统的特征多项式:是直接状态反馈系统的特征多项式与状态观测器的特征多项 式之积:(det(det (lc A I bk A I -=f五、降维状态观测器1.定义若状态观测器的维数小于被观测系统的维数,则称该状态观测器为降维观测器。 2.最小维状态观测器对 n 维能观系统 , , C B A ,若 q =C rank ,则该系统状态观测器的最小维数是 n -q 。 3.最小维状态观测器的求取A .龙伯格降维观测器【例】 2004年研究生考题(24分

37、已知系统的动态方程为-=+-=+-=21212211232xx y u x x xu x x x 1.判断系统的渐近稳定性和 BIBO 稳定性;2.若可能,设计状态反馈使闭环系统的极点位于 22j ±-; 3. 当系统的状态不可直接量测时, 若可能, 设计极点均位于 -6处的最小维状态观测器; 4. 用你得到的观测状态实现你设计的状态反馈, 给出实现你所设计的复合系统结构图。 解:11; 21; 3112-=-=c b A 1. 由 0 det(=-A I 可解得 :系统的两个特征值分别为 1, 521-=-=均具有负实部, 故系 统渐近稳定,当然也是 BIBO 稳定的。2.因 -=

38、5201Ab b M c 满秩,故系统能控,可用状态反馈任意配置系统的闭环 极点。设实现题目要求的状态反馈为 kx -=v u ,则645( 25(232112det 84 22(22( det(2121222112k k k k k k k k j j -+-+= -+-+=+=+-+=-bk A I 解得:5. 3, 621=-k k =即题目要求的状态反馈为x 5. 36-=v u3.因 -=4311cA c M o 满秩,故系统能观,可以用状态观测器实现状态观测。又因 c 的秩为 1,故最小维状态观测器应为 1维,取-=1101Q , 则 -=-11011Q 10; 11; 41111

39、1=-=-=-cQ Qb QAQ 即2212211, 4, y u u =-=+-= 或u y y u y +=+-=4, 111 在上式中以 y u -为输入 , 1为状态 w , u y y+=41 为输出构造等维观测器: w y u u y y L w L w=-+-=1, 4( 1(其中 1(L -是观测器的极点,故 L=5 为消去微分项令 Ly w z -=,则u L y L L z L z2( 13( 1(2+-+-= 即 u y z z7115+-= 而 y z y y z y Ly z Q y w Q Q x +=+-=+=-45115110111211上两式就是要求的观测器u

40、 y z z7115+-= , y z x +=4511 4. 图略B .求解李维普诺夫方程步骤1.选择一任意的 1( 1(-n n 稳定矩阵 F ,但其特征值与 A 不同; 2.选择一任意的 1 1(-n 向量 l ,使得 (l F, 能控;3.求李雅普诺夫方程 lc FT TA =-的唯一解。注意, T 是 n n - 1(的矩阵; 4.于是, 1-n 维状态方程y u l Tb Fz z +=-z T c xy 1的输出就是 x 的估计值。由观测器的输出方程 :x P xT c z :=y 它意味着 x T z xc , =y 。显然 y 是 cx 的估计 , 我们只须证明 z 是 Tx

41、 的一个估计。定义 Tx z e -=这样 , 我们有Fe Tb TAx lcx Tb Fz x T z e=-+=-=u u 因 lc FT TA +=,故 Fe FTx Fz x lc FT lcx Fz TAx lcx Fz e=-=+-+=-+= ( 显然 , 若 F 稳定,则当 t 时 0 (t e , 于是 z 是 Tx 的估计。第五部分 最优控制一、最优控制问题运动方程(系统的数学模型、 边界条件(初始条件和目标、 控制约束(容许控制、性能指标:一般含有末值项和过程项二、最优性原理不论初始状态和初始决策如何,当把其中的任何一级及其状态再作为初始状态时,其余 的决策对此必定也是一个

42、最优策略。三、离散时间最优控制【例 8.3】已知离散系统方程10,21=+=+x k u k x k x及代价函数=+=20222(3k k u k x x J系统的状态 k x 和控制 k u 均不受约束。试求最优控制序列 2, 1, 0,*=k k u ,使代价函数最 小。解:本例为 3级最优决策问题,根据最优性原理,我们试图通过依次保证最后阶段决策最优 的思路,来导出一些关系:33x J =322222J u x J +=222111J u x J +=122000J u x J J +=为确定最优控制律,注意到 33x J =的最优性取决于第二级的状态 2x 及第二级的决策 2u ,

43、而2222222222(22322u x u x x u x J +=+=为使它达到最优,注意到无约束条件,立即有(极值的必要条件0222(22222=+=u x u u J 解得22*x u -=此时23222(2(222*2*2*2x u x u x J =+=以此为基点再考查2222221112(3112311u x u x x u x J +=+=同样0112(61211=+=u x u u J 解得15. 11*x u -=14112(31(122*2*2*1x u x u x J =+=继续进行上面一样的工作:2222221002(4001400u x u x x u x J J

44、+=+= 同样0002(8020=+=u x u u J由于 10=x 是题给的初始条件,故它的解就是最初的最优控制和最终的代价函数:6. 106. 10*-=-=x u2. 4002(400222=+=u x u x J将最优控制代入系统的状态方程,可依次得到6. 015. 11, 4. 00021*-=-=+=x u u x x 2. 022, 2. 01122*-=-=+=x u u x x2. 02223*=+=u x x至此,得到本例题要求的最优控制序列和最优轨线:2. 0, 6. 0, 6. 1*=u 2. 0, 2. 0, 4. 0, 1*=x 相应的最优的代价函数是:2. 4*

45、=J四、极小值原理状态方程:, (, (t t t u x f x= ;初始条件:00 (x x =t 性能泛函:dt t L t t J ft t f f +=0, , (, (u x x 目 标 集:0x =, (f f t t 其它条件:控制向量 (t u 受约束, 为容许控制域;(即且 (t u 是在 内取值的任意分段连续函数 末端时刻 f t 固定、或自由;末端状态 (f t x 固定、自由、或受约束; 标量函数 (, (L 在 , 0f t t 上连续且二次可微; 向量函数 (f 在 , 0f t t 上连续且可微;问题:求最优控制 (*t u 、最优轨线 (*t x ,使性能泛函

46、达到极值 J *。结论:定义哈密顿函数:, , ( , , ( , , , (t t L t H T u x f u x u x +=正则方程： ¶H ¶H & & =- x= = f x (t , u(t , t ¶x ¶ 边界条件：除初态 x(t 0 = x0 之外，在末端视不同情况： A末端固定： B末端自由： C末端受约束： 极值条件 x(t f = x f (t f = ¶j ¶x(t f (t f = ¶j ¶ T + (t f ，其中：y x(t f ,t f = 0 ¶x(t f ¶x(t f H * = H ( x*, u*, , t = min H ( x*, u, , t uÎW A t f 固定： H * (t = H * (t f - ò