第二章信号检测与估计理论(3)

1、)( H)(th)(tx)(ty)(tx)(ty)( H2.11.Fig( )( ) ()dy th u x tuu)(tx)(ty)(ty)(tx)(ty uutxuhEtyEtyd)()()()( uutxEuhd)()( uuhxd)( yxH )0()(ty)0(H)(ty )()()( tytyEt , try vvtxvhuutxuhEd)()()d()( uvvtxutxEvhuhdd)()()()( uvvurvhuhxdd)()()( )( yr )(ty)( yr )(tx)(ty( )d(0)yxxh uuHvut tuuthuhtrrxydd)()()()( ttgtr

2、xd)()( )()( gr uuthuh)t (gd)()()()(thth ( )( )( )yxrrg( )( )()rhh)()()()( xyPHHP )()(2 xPH )()()()()()(| )()()(022xxyxxyyyyyyPHPhrrcrc如果如果LTILTI的输入是平稳复随机过程，则其响应也是平稳复随的输入是平稳复随机过程，则其响应也是平稳复随机过程，响应的统计平均量有相应的关系式。机过程，响应的统计平均量有相应的关系式。Tttntstx 0)()()(，Tttntstx 0)()()(，；)(tn)(tnkn Nkknn1 Nkn)(tn2 高斯噪声的统计描述高

3、斯噪声的统计描述 a. 一维概率密度函数一维概率密度函数如果一个噪声过程如果一个噪声过程n(t)，对于任意的，对于任意的N=1和所有的时刻和所有的时刻tk（k=1,2N）,随机变量随机变量n(tk)=(nk；tk)服从高斯分布，则服从高斯分布，则过程过程n(t)就是一个高斯噪声随机变量过程，简称高斯噪声就是一个高斯噪声随机变量过程，简称高斯噪声过程或者高斯噪声过程或者高斯噪声1 22221(,)exp22knkknkknnp n tT11 2211,exp (2.6.2)22nnnNnpn tnCnC T21Nnnnn, kntnEk T21Ntn,tn,tnt ,n NNNNNNnnnnnn

4、nnnnnnnnnnnnncccccccccC212221212111 jkkjkjnnnknjnnctntnEc ( (大家尝试自己完成这个证明）大家尝试自己完成这个证明） nP ，20NPn tn 2d22100NeNPIFTrjnn tn nP nr白噪声与色噪声的统计特征差异白噪声与色噪声的统计特征差异白噪声白噪声色噪声色噪声自相关函数自相关函数功率谱密度功率谱密度N N0 0/2/2N N0 0/2/2ff ）（ 20NPn tn nP tn 20NPn 20Nrn 20N s t tttats 0cos ta0 t s t；m tttats 0cos； ta0 t ttta ,at

5、s 0cos；0 ta t tttats 0cos0； ， 021 p ， 0I2cosexp0 |p图图2.122.12随机相位分布数学模型随机相位分布数学模型p(|)p(|)曲线曲线 ， 0002exp222aaaaapaa 信号振幅的随机性与相位的随机性是相互统计独立信号振幅的随机性与相位的随机性是相互统计独立 的，即的，即 pap,ap 21 ,图2.13正交相位检波器图2.13正交相位检波器2.8.12.8.1窄带噪声的描述窄带噪声的描述2.8.22.8.2窄带高斯噪声的统计特性窄带高斯噪声的统计特性2.8.22.8.2窄带高斯噪声的统计特性窄带高斯噪声的统计特性图2.14窄带高斯噪

6、声包络的PDF曲线(2n=1)2.9.2信号加窄带高斯噪声的统计特性图2.15信号加窄带高斯噪声包络的PDF曲线(2n=1)图2.16信号加窄带高斯噪声相位的PDF曲线(2n=1) xp xp xgy xxpxgyEyd ）（N,ktk21 NNt ,t ,tx,x,xp2121； tx ty ty xxyHtth 0d ty hhrrxy ty xyPHP2 2200NrNPnn ； ts ts；1.1 1.1 噪声的概率分布噪声的概率分布 电路中噪声是一种电路中噪声是一种连续型随机变量连续型随机变量，概率分布密度，概率分布密度p p（n n）表示噪声电压表示噪声电压n n( (t t) )

7、在在t t时刻取值为时刻取值为n n的概率。噪声属于一种的概率。噪声属于一种随机随机过程过程。2112()( )nnP nnnp n dn ( )E nnp n dn2 ( )( )D nnE np n dn22( ) D nE nE nE E n n2 2 称为噪声的二阶中心矩称为噪声的二阶中心矩。 电路处于稳定状态时，噪声的方差和数学期望一般不再随时电路处于稳定状态时，噪声的方差和数学期望一般不再随时间变化，这时噪声电压称为间变化，这时噪声电压称为广义平稳随机过程广义平稳随机过程。若噪声的概率分。若噪声的概率分布密度不随时间变化，则称为布密度不随时间变化，则称为狭义平稳随机过程（或严格平稳

8、随狭义平稳随机过程（或严格平稳随机过程）机过程）。一个严格平稳随机过程一定为广义平稳随机过程，反。一个严格平稳随机过程一定为广义平稳随机过程，反之则不然。之则不然。 噪声统计特征量： 电路中遇到的噪声还具有各态经历性质电路中遇到的噪声还具有各态经历性质，就是其统计平均可，就是其统计平均可以用时间平均来计算。以用时间平均来计算。 如果一个随机过程中具有各态经历的随机过程，将会给噪声如果一个随机过程中具有各态经历的随机过程，将会给噪声计算及测量带来很大方便。计算及测量带来很大方便。 若没有特别申明，均把电噪声看成是具有各态经历过程，自若没有特别申明，均把电噪声看成是具有各态经历过程，自然它然它也是

9、一种广义平稳随机过程也是一种广义平稳随机过程。 2221lim( )2TTTE nnn t dtT1 lim()2TTTEnnnt dtT 2221()( )exp22nnnap n2 , ( )nE naD n线性电路中噪声电压的概率分布密度pn一般符合高斯正态分布 a为电噪声的平均值，通常a=0；n2为电噪声的交流功率，n2越大，表示噪声越强。电噪声在任何瞬间均可能取小于电路限幅之内的各种数值，取值越大则概率越小 。002021()1exp22nnnnnP nndn 表1-1 高斯噪声在峰值超过n0的概率超过n0的概率p(|n|n0)0.10.010.0010.00010.00010.00

10、001n0/n1.6452.5763.2913.8904.4174.892 任何瞬间电路噪声值基本上是在任何瞬间电路噪声值基本上是在 4 4 n n之间之间，这在噪声测量中，这在噪声测量中有一定实用价值。有一定实用价值。 用示波器观察噪声波形时，能够看到的最大噪声电压峰峰值用示波器观察噪声波形时，能够看到的最大噪声电压峰峰值V Vp-p-p p可以认为是有效值可以认为是有效值 n n的的4 4 2 2倍，被测噪声电压有效值倍，被测噪声电压有效值 n n=V=Vp-pp-p/8/8。测量噪声电压时，测量放大器的动态范围必须大于测量噪声电压时，测量放大器的动态范围必须大于3 3至至4 4倍的被测倍

11、的被测噪声有效值，噪声有效值，否则噪声峰值可能被限幅，使测量带来误差。否则噪声峰值可能被限幅，使测量带来误差。 1.21.2噪声的功率谱密度噪声的功率谱密度 电噪声测量计算主要是噪声功率，噪声功率谱密度是一个主要统电噪声测量计算主要是噪声功率，噪声功率谱密度是一个主要统计特征量。设噪声电压计特征量。设噪声电压n n( (t t) )的功率为的功率为P Pn n，在频率，在频率f f与与f f+ + f f之间的功率之间的功率为为 P Pn n，则噪声的功率谱密度定义为，则噪声的功率谱密度定义为0()limnnfPSff1() ()2nnnPSfdfSd功率谱密度的单位为功率谱密度的单位为V V

12、2 2/Hz/Hz或或A A2 2/Hz/Hz。输出噪声受电路带宽（输出噪声受电路带宽（f f1 1、f f2 2）限制。）限制。低噪声放大器的基本要求是在信号频带范围内尽量降低输出噪声功率低噪声放大器的基本要求是在信号频带范围内尽量降低输出噪声功率谱密度，带宽限制在能使信号的特征频谱分量通过即可。谱密度，带宽限制在能使信号的特征频谱分量通过即可。 单边功率谱密度为单边功率谱密度为 ( )2( ), 0( )0, 0nnnFfSffFff0( )nnPFf df电路中遇到的噪声一般具有平坦的功率谱密度，称白噪声。电路中遇到的噪声一般具有平坦的功率谱密度，称白噪声。实际上，严格的实际上，严格的白

13、噪声是没有的，因为白噪声意味着具有无限大的噪声功率。白噪声是没有的，因为白噪声意味着具有无限大的噪声功率。电路中存在另一类噪声，其电路中存在另一类噪声，其S Sn n( (f f) )不是常数，称有色噪声不是常数，称有色噪声。像电子器件中经常。像电子器件中经常存在的存在的1/1/f f噪声，其功率谱密度噪声，其功率谱密度S Sn n( (f f) ) 1/1/f f，这种噪声有很强的低频成分，称，这种噪声有很强的低频成分，称为为低频噪声或红噪声低频噪声或红噪声。以后还可以遇到晶体管在。以后还可以遇到晶体管在f f很大时的噪声，其功率谱很大时的噪声，其功率谱密度密度S Sn n( (f f) )

14、 f f2 2，这种噪声有很强的高频成分，称为，这种噪声有很强的高频成分，称为高频噪声或蓝噪声高频噪声或蓝噪声。 电路噪声可能有白色高斯噪声，也可能有白色非高斯噪声，还可能有既电路噪声可能有白色高斯噪声，也可能有白色非高斯噪声，还可能有既非白色，又非高斯分布的噪声。非白色，又非高斯分布的噪声。 线性电路中噪声一般是高斯白噪声，仅在很高频或低频时才可能可出现线性电路中噪声一般是高斯白噪声，仅在很高频或低频时才可能可出现有色噪声。有色噪声。 而非线性电路（例如：高斯噪声经检波后输出）一般为非高斯噪声，常而非线性电路（例如：高斯噪声经检波后输出）一般为非高斯噪声，常见的有瑞利分布、莱斯分布等。见的有

15、瑞利分布、莱斯分布等。 1.3 1.3 噪声相关函数噪声相关函数噪声在不同时刻取值之间的相关性，是电噪声的一个主噪声在不同时刻取值之间的相关性，是电噪声的一个主要统计特征。要统计特征。噪声自相关函数噪声自相关函数112( , 2) ( ) ( )nR t tE n t n t对于具有各态经历的平稳随机过程，统计平均（或称集平均）对于具有各态经历的平稳随机过程，统计平均（或称集平均）可用时间平均表示，由于统计特征量与时间起点无关，可以令可用时间平均表示，由于统计特征量与时间起点无关，可以令t t1 1= =t t，t t2 2= =t t1 1- - ，则，则R Rn n( (t t1 1, t

16、, t2 2)= R)= Rn n( (t t, , t t- - ) )，简记为，简记为R Rn n( ( ) )。平平稳随机过程的噪声自相关函数为：稳随机过程的噪声自相关函数为：( ) ( ) ()1 lim( ) ()2nTTTRE n t n tn t n tdtT自相关函数具有下列重要特性（1）Rn()仅与时间差有关，而与t计算时间的起点无关。（2）Rn()随的增加，逐渐衰减，表示在时间上相关性逐渐 减少。特别是对零均值噪声，当时，Rn()0。（3）Rn()是一种偶函数，即Rn()=Rn(-)( ) ( ) ()1 lim( ) ()2nTTTRE n t n tn t n tdtT

17、21(0)lim( ) ( )2TnTTRn t n t dtE nT（4）当=0时Rn()具有最大值，且特别当En=0时， Rn0= Dn=n2 噪声的功率谱密度Sn()及自相关函数Rn()是随机过程重要的统计特征量，称为二阶统计特征。由于高斯过程高阶统计量为零，这两个统计特征量对于一个高斯过程来说完全足够，但对于非高斯过程则是高阶统计量研究。平稳随机过程自相关函数R()及功率谱密度S(f)之间满足傅里叶变换关系（为一般起见，下标n省略），这就是著名的维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理：1( )( )2jRSeddeRfSj)()( ( ) R( )S f dfd 及0( )

18、2( )cosRS fdf0( )2( )cosS fRd 由于R()及S(f)均为偶数，故噪声的互相关函数1212( ,) ( ) ( )xyRt tE x t y t对于具有各态经历的平稳随机过程，则Rxy(t1, t1)可以写成Rxy()，其中t1=t，t2=t-，其互相关函数可表示为： 1( )lim( ) ()2TxyTTRx t y tdtT1( )lim() ( )2TxyTTRx ty t dtT两个随机过程互不相关时，则一定有Rxy()=Ryx()=0。例如，被检测信号与系统的观察噪声之间不存在相关性，因此采用互相关方法有利于抑制观察噪声。互相关函数具有下列重要特性： （1）

19、Rxy()仅与时间差有关，而与计算时间t的起点无关。 （2）Rxy()=Rxy(-) （3）( )(0)(0)xyxyRRR两个随机过程的互功率谱密率Sxy()及Syx()互相关函数之间傅里叶变换：1( )( )2( )( )jxyxyjxyxyRSedSRed1( )( )2( )( )jyxyxjyxyxRSedSRed互相关函数特性对于从噪声中检测微弱信号极为有用。互相关器，输入信号为两路，x(t)=s(t)+n(t)为被检测的信号及混入的观察噪声；y(t)为参考信号，要求与被检测信号s(t)相关。1( )lim ( )( ) ()2 ( )( )( )TxyTTsynysyRs tn

20、ty tdtTRRR1-4 1-4 常见的电噪声统计特征常见的电噪声统计特征随机正弦信号随机正弦信号参量参量U Um m， 0 0或或 具有随机变量，则称此种信具有随机变量，则称此种信号为随机正弦信号。最常见的随机正弦信号是相位号为随机正弦信号。最常见的随机正弦信号是相位 为随机变为随机变量，又称随机相位正弦信号。量，又称随机相位正弦信号。 0( )sin()ms tUt1( ),022p 2001sin()02mE sUtd220001( )sin()sin()2smRUttd20( )cos2msUR 212)(sin2002dt02)cos()sin(2000dtt随机相位正弦波的二阶统

21、计特征不随时间变化，因此是属于广义平稳随机过程。特别是因为时间平均与集平均完全相同，是具有各态经历的平稳随机过程。2001( )limsin()sin()2TsmTTRUttdtT20cos2mU 具有随机幅度及相位的正弦信号不属于各态经历的平稳随机过程 具有随相相位的正弦信号自相关函数 j2j0( )( )cos2smSRedUed 200( )()()2mUS j1( )2xxed白噪声0( )2nNSjj01( )( )24nnRSedNed0( )( )2nNR N 0为白噪声的单边功率谱密度 图1-5为白噪声的功率谱密度及自相关函数。可见，白噪声具有一个明显的特征，即不同时刻取值是不

22、相关的。这对白噪声中取信号极为有用。 自相关函数计算电路，输入信号为x(t)=s(t)+n(t)，其中s(t)为被测信号；n(t)为观察噪声。自相关输出就是自相关函数，即 1( )lim( )( )()()2( )( )( )( )TTTssnnsnRs tn ts tn tdtTRRRR)()()(nsRRR观察噪声n(t)为白噪声，则只要延时 0，则一定有Rn()=0.)()(sRR实际上很难有理想白噪声，此时Rn()为一种衰减的曲线，见图1-7。此时要做到Rn()足够小，则必有一定值。令Rn()的相关时间e定义为 0( )( )(0)( )nnennRRdRR显然，白噪声的Rn()=0（

23、当 0），即即e=0 。e越大，表示Rn()越大，即表示该噪声不同时刻的相关性越大。因此，要充分减小Rn()，则须要求延迟电路的 e。 限带白噪声 限带白噪声是指白噪声经滤波器输出的噪声，因此其噪声功率谱密度占据一定带宽。图1-8（a）为低频限带白噪声，其带宽为B。根据维纳-辛钦定理，则限带白噪声的自相关函数为2020( )4sin22BjnBNRedBN BB 00(0)2BnBNRdfN BRn(0)= N0B为限带白噪声功率。 00( )( )(0)( )sin2124nnennRRdRRBdBB B越大，则e越小，当B时，即为白噪声情况，故e=0 窄带噪声 窄带噪声是指噪声通过带通滤波

24、器输出。带通滤波器的带宽远小于中心频率0，输出窄带噪声，可以认为通带内为白噪声。 00sin( )cosnBRN BB 图1-9(b)为窄带噪声的自相关函数，其相关时间e=1/2B。由图可见，窄带噪声的自相关函数可以看成由慢变化部分a()=N0BsinB/B及快变化部分cos0组成，即可表示为0( )( )cos( )n tA ttt0( )( )cosnRa 窄带噪声从波形来看也有一定特点，这是因为窄带噪声为噪声经窄带带通滤波器输出，所以可以看成很多频率接近0的正弦波合成，相当是一种随机调幅调频波，如图1-10所示。它可以表示为 式中A(t)及(t)分别表示随机振幅及随机相位。通常信号检测系统中经窄带滤波器后往往要经检波或鉴频才能提取需要的信息，例如，收音机中就是如此。因此，随机振幅A(t)及随机相位(t)的统计特征也是很重要的，因为它们直接决定了检波器或鉴频器输出噪声。 00( )( )cos( )sincsn tn ttn tt22( )( )( )( )( )( )csscA tn tn tn ttarctgn t（1 1）n nc c( (t t) )及及n ns s( (t t) )的统计特征的统计特征 对对n nc c( (t t) )求一阶导数，考虑到求一阶导数，考虑到