第十四章幂级数习题课ppt课件

1、幂级数习题课幂级数习题课 一一. 求收敛区间或收敛域求收敛区间或收敛域解： 133lim1nnnnn3,1,3R 收敛半径为12,3x 收敛区间5733x即解解: 11,nniai设limnna 注意到, 有1nnaa111nna 1 , ( )n 1,x 时11nnixi0, ( 1 , 1 ).收敛域为二二. . 函数展开函数展开 解解: xe231,2!3!nxxxxn x xe23( 1 )1,2!3!nnxxxxn |x xxee35212 3!5!(21)!nxxxxn2xxeeshx210,(21)!nnxn(,)x 解解: 2cos x1(1cos2 )2xcos2x20(2

2、)( 1 )(2 )!nnnxn204( 1 )(2 )!nnnnxn(,)x 因而, 2cos x2014 1( 1)2(2 )!nnnnxn20114( 1)22(2 )!nnnnxn2114( 1)2(2 )!nnnnxn(,)x 解解: 11x231( 1)nnxxxx | 1x 因而, 261xx28142062( 1 ),nnxxxxx | 1.x 解解: ln(1)x231( 1 )23nnxxxxn11( 1 ),nnnxn( 1,1x 而 ln(5)xln(72)x2ln 1ln77x 11(2)( 1 )ln7,7nnnnxn( 5 , 9 x 函数展开式应用举例函数展开式

3、应用举例 1. 近似计算近似计算 解解: 2xe20( 1 ),!nnnxn(,).x 因而, 2100( 1 )!nnnxdxn01( 1 )(21) !nnnn上式最后是Leibniz型级数，其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值。为使11(21) !1000nn故从第项到第项这前7项 之和达到要求的精度.于是 210 xIedx111111135 27 69 2411 12013 720 1 0.333330.100000.02381 0.004630.000760.000110.74682. 利用展开式求高阶导数利用展开式求高阶导数.解：解： sin x210( 1),(21)!nnnx

4、n(,)x 0,x 时( )f xsin xx20( 1)(21)!nnnxn211( 1)(21)!nnnxn ( )f x211( 1),(21)!nnnxn (,)x ( )(0)nf( 1) (2 )! , 2 ,(21)! 0 , 21 .mmnmmnm 0 , 1 , 2 ,m 即 ( )( 1 ) , 2 ,(0)21 0 , 21mnnmfmnm 0 , 1 , 2 ,m 三.幂级数求和 原理:对某些幂级数，有可能利用初等运算或微积运算以及变量代换化为已知的函数展开式 解：解： ( )S x11nnx1,1x (0)0,S注意到 ( 1 , 1 ),:x则对有( )S x( )

5、(0)S xS0( )xS t dt01xdttln(1)x 1nnxnln(1),x 1,1)x 1123nnnn11 223nnn223S2ln311( 1 )nnn1( 1 )nnn ( 1)S ln2. 解：解： ( 1,1) ,在内1 ( )nnf xnx设11nnxnx( ).xS x( ),S x现求 ( 1,1),x 对有0( )xS t dt101xnnntdt1nnx1xx( ),:S x由连续 有( )S x0( )xS t dt1xx21(1)x因而, 1nnnx( )f x( )xS x2,(1)xx| 1x 2,3xt 作代换有2113nnnnx213nnxxn1n

6、nxnt2(1)txt3223,(3)xx|3x 11111121222nnnnnnnn11121212nnn212221126 解法一：解法一： (,), 收敛域为( ),S x设和函数为则有0( )xS t dt001!xnnntdtn001(1)!xnnnt dtn 10!nnxnxxe因而, 01!nnnxn( )S x0( )xS t dt()xxe(1),xx e(,)x 解法二解法二 01!nnnxn00!nnnnnxxnn1(1)!nxnxen0!nxnxxenxxxee(1),xxe(,)x 解：解： 1112!nnnxn0(2 )12!nnxxn2(1)2xxe 解：解： 该级数为Leibniz型级数，因此收敛。210( 1 ),21nnnxn考虑幂级数 1 , 1 其收敛域为( ),S x设和函数为( 1 , 1 ) ,在内 有( )S x20( 1)nnnx20()nnx21,1x| 1x (