第四章第二节幂级数ppt课件

1、1. 幂级数的敛散性2. 收敛半径R的求法、柯西-阿达马公式3. 幂级数和的解析性第十四讲一、幂级数的敛散性一、幂级数的敛散性1. 幂级数定义具有具有20120()()(),(4.3)nnnczacc zac za形式的级数称为幂级数形式的级数称为幂级数.其中其中01,.nc cca和 都是复常数,(4.3)z a 若令则 可写成20121.nnnnnccccc2. 阿贝尔(Abel)定理1.(4.3)(),za4 10定理如果在某点收敛 则必在证明证明,zK设 是圆 内任一点10() ,nnncza因为级数收敛从而它的通项序列必有界从而它的通项序列必有界,1(), (1,2,)nnc zaM

2、n即有正数即有正数M,使使 1zza1:.Kzaza圆内绝对收敛且内闭一致收敛1lim()0,nnnc za所以为收敛的等比级数为收敛的等比级数, 1, zaza由于故级数11()()nnnnnzac zac zaza1nzaMza01nnz aMza0().nnnczaK从而级数在圆 内绝对收敛这样即有这样即有,:KKzza其次 对 内任一闭圆1()nnnz ac z aMza1()nMza01(),nnMza而级数收敛0()nnnczaK故级数在内一致收敛,0()nnnczaK从而级数必在 内绝对且内闭一致收敛1zaKKz1(0),za上的一切点 有22.(4.3)(),.zaaz4 11

3、推论如果在某点发散 则它以为心通过 的圆外发散3.(4.3)3.(4.3)敛散性讨论敛散性讨论(1) 对所有的复数除对所有的复数除 z=a 外都发散外都发散.此时此时, , 级数在复平面内除点级数在复平面内除点a a外处处发散外处处发散. ., 0 时时当当 z通项不趋于零通项不趋于零, 故级数发散故级数发散.2zannznzz2221例如级数例如例如, 级数级数 nnnzzz2221对任意固定的对任意固定的z, 从某个从某个n开始开始, 总有总有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故该级数对任意的故该级数对任意的z均收敛均收敛.(2) 对所有的复数都收敛对所有的复数都收敛由由Abel定

4、理知定理知:级数在复平面上处处绝对且内闭一致收敛级数在复平面上处处绝对且内闭一致收敛. .1,;zz设时 级数收敛2,.zz时 级数发散如图如图:幂级数幂级数0()nnncza的收敛范围是以点a为中心的圆域.xya1z2z.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径(3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收敛的复数.答案答案:. 为为中中心心的的圆圆域域是是以以az 幂级数幂级数 0)(nnnazc的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, , 不能不能注意注意问题问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?作

5、出一般的结论作出一般的结论, , 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析. .例如例如, 级数级数: 0200nnnnnnnznzz1,1Rz 收敛半径 均为收敛圆周收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;,1在在其其它它点点都都收收敛敛发发散散在在点点 z在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.(4) 收敛半径的定义收敛半径的定义(4.3),(4.3),.RzaRzaRRzaRzaR对幂级数若存在有限正数使在圆周内绝对收敛 在圆周外发散称为此幂级数的收敛半径,为收敛圆为收敛圆周注注: 一个幂级数在收敛圆周上有三种情况一个幂级数在收敛圆周上有三种情况（）处处收敛）处处收敛; （）处处

6、发散）处处发散;（）既有收敛点）既有收敛点,也有发散点也有发散点.二、二、 收敛半径的求法收敛半径的求法定理定理4.124.121lim,(DAlembert)nnnclcR0()nnnnczac如果幂级数的系数 合于lim,(Cauchy)nnncl或lim,(Cauchy-Hadamart)nnncl或0()nnncza则幂级数的收敛半径0,l 当时1,ll 当时0,0l 当时0 () ,nnncza使级数收敛10 , zaza使由上节定理由上节定理,0 ()nnncza级数1,zal在圆内收敛01 ,zazl假设在圆外有一点11 ,zazl在圆外再取一点证明证明由于由于111limlim

7、nnnnnnnnczaczaccza,l za1,zal由数学分析中的正项级数的D Alembert判别法知当时0nnncza收敛收敛.11,zal然而由有11111limnnnnnczal zacza10,nnncza与收敛相矛盾01 () ,nnnczazal故在圆外发散所以收敛半径为所以收敛半径为1.Rl证毕证毕. 1 即假设不成立即假设不成立 .据阿贝尔定理据阿贝尔定理,10.nnncza级数必收敛例例1求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1) 13nnnz(2)1!;nnn z或或nnnnnnc31limlim 解解(1)nnncc1lim 3lim1nnn因为因为, 1

8、 31lim1,nnn249(3) 1.zzz 所以收敛半径所以收敛半径, 1 R(2)1(1)!limlim!nnnncncn, 0.R 故,n由于 为平方数时(3)1,nc 0,nc 其它情形10nnc 或lim1,nnnc故11.Rl从而0( )() ,(4.5)nnnf zcza定理定理4.13(1) 幂级数幂级数(2),(4.5),K在 内可逐项求导任意阶 即1212( )(),( )(1)(),nnnnnnfznczafzn ncza( ):,(0)f zKzaRR 的和函数在其收敛圆内解析;三、三、 幂级数和的解析性幂级数和的解析性( )( )(1)(1)()! (1,2,)(4

9、.6)pn pnn pfzn nnpczapp(4.6)与(4.5)有相同的收敛半径;()( )(3),(0,1,2,)(4.7)!ppfacpp证明证明由Abel定理, 幂级数0()nnncza在其收敛:,(0)( );KzaRRf z 圆内内闭一致收敛于() ,(0,1,2,)nnczanz而其各项又都在 平面上解析.故由故由Weierstrass定理定理, ,( )(4.5)Kf z在 内解析且可逐项求导任意阶.(4.5)(1,2,),(4.6).pp 对可逐项求 阶导数后即得(4.6),za在中令得( )( ),(1,2,)!ppfacpp(0)0( )( ),(4.7).cf afa

10、注意到即得注注1 (4.5)可沿可沿K内曲线内曲线C逐项积分逐项积分,且收敛且收敛 半径与半径与(4.5) 一样一样. 0.:,d)(d )(nCnnCRazzCzazczzf 01.)(1d)( nnnzaazncf 或或简言之简言之: : 在收敛圆内在收敛圆内, , 幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析; ; 幂级数可逐项求导, 逐项积分.(常用于求和函数)即即例例2 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解12limlim 1 nnccnnnn因因为为. 1 R所所以以利用逐项积分利用逐项积分,得得: 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1zz .)1(12z 1 z例例3 求级数求级数11(21)nnnz