几何画板与分形

1、几何画板迭代与深度迭代迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。 初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9.的第n项。我们知道，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，以此类推。在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。上图中A、B、C、D、

2、E、F，各点相距1.88cm，那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1.88cm。所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。利用几何画板的深度迭代功能可以画出许多美妙的分形图形，并以几何画板为基础来研究分刑图形面积，周长的变化。一、 谢尔宾斯基三角形利用几何画板画法流程：（1）先任意画好一个三角形ABC，接着构造线段AB，BC，CA的中点D，E，F，选择点D，E，F，再选择菜单“构造”、“三角形内部”。(2)在“图表”中“新建参数”

3、为n=3依次选择点A，8，C和参数n，按住shift键不放后选择“变换”中的“深度迭代”。(3)在初象中依次选A，D和F点，再添加新的映射(按Ctrl+A)，映像2中依次选D，B和E点，再按Ctrl+A，依次选F，E和C点。最后选“迭代”，得到谢尔宾斯基三角形。选择n按“+”或“一”，三角形就进行了迭代变化。n=1 n=2 n=3 n=4n=5随着有色三角形越来越多，空白三角形越来越少。 我们若用有色三角形表示去掉的部分,，则剩下的面积可能趋向于0，而剩下部分的周长呢,，设分形级数为n，初始边长为1, 新产生的小三角形数量为,一个新小三角形边长为,1谢尔宾斯基三角形周长为, 谢尔宾斯基三角形面

4、积为;当n时,显然其周长趋向于无穷大, 面积趋向于零。著名的埃菲尔铁塔正是以它作为平面图的. 因为这种三角形结构可以节省材料而且强度大, 虽然铁塔并没有把分形进行到无穷, 但是它已经能在这种条件下完成了重力的转移, 充分体现了这项工程的精彩, 同时也显示了谢尔宾斯基三角形无尽的魅力.二、 分形树分形树制作流程：(1)画好线段AB，取中点C，双击B点，以B为旋转中心将C旋转120。得E点，旋转一120。得D点。(2)新建参数n=3，依次选点A，B和n，用“深度迭代”将 ，B映射到B，E和B，D就可以了然后可以改变参数，观看分形树的生长。n=2n=3n=101.在垂直方向上画线段AB，在AB左上区

5、域任取一点C。2.度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量CBA的大小。3.双击C点作为旋转中心，旋转角度为CBA，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。4.双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。5.新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。n=2n=3n=4n=5毕达哥拉斯树【步骤】1.在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆

6、O，取半圆弧OCD，在该弧上任取一点E，接CE，DE。隐藏不必要的对象。 2填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。3.新建参数n4，选择A、B和n，作深度迭代，(A,B)(D,E),(E,C)。n=3n=4n=5n=10n=20L分形树1、构造初始元作始元竖直线段AB，在AB上作两点A1，A4，以A1为中心分别按角度36度旋转B得到B1，按角度126度旋转A4得到B4，以B为中心分别按角度-171度旋转A1为B2，按角度144度旋转A1为B3，连接A1B1、BB2、BB3、A4B4、得到以下生成元生成元

7、2、删除生成元中的四枝杈线段，显示出初始元AB，新建参数n=5，以n为深度，将生成元AB分别在A1B1，BB2，BB3,A4B4上执行深度迭代，隐藏各点得到L分形树。n=6（L分形树）以上方法所作的分形树是线性（自相似）分形树，其变换是相似变换，属于确定型L分形，不能得到生动逼真的植物拟态图形。要模拟出栩栩如生的植物形态，就要引入随机L分形。1、 作始元做初始元竖直线段AB和线段CD，在CD上作点P，度量出点P在线段CD上的值，按下图左侧公式计算度量值。标记m1，以A为缩放中心B得A1，以B为缩放中心A得A4。标记m2，以A1为中心旋转B得B1。标记m3，以B为中心旋转A4得B2。标记m4，以

8、B为旋转中心旋转A1得B3；标记m5，以A4为标记中心旋转A得B4，连接连接A1B1、BB2、BB3、A4B4、得到以下生成元生成元：2、删除生成元中的四枝杈线段，显示出初始元AB，新建参数n=5，以n为深度，将生成元AB分别在A1B1，BB2，BB3,A4B4上执行深度迭代，隐藏各点得到随机分形树。n=6（随机分形下的L分形树）桧树分形小枝绘制桧树分形小枝的生成元同Koch 曲线生成元的构造类似，桧树分形小枝生成元的构造也是通过一定的规则对单位长线段F0 进行修改变换而得到。具体变换规则如下：如下图 所示，桧树分形小枝的生成元由五条长度相等的线段组成，设每条线段长度为r，第一条线段AC 和最

9、后一条线段EB 与水平线的夹角相等，都是10°，AC 左端点A 与F0 左端点重合，EB 右端点B 与F0 右端点重合，CD与CE 成 60°角，EF 与EB 成60°角。具体C+程序设计语言如下：#include<graphics.h>/*添加绘图函数头文件*/ #include<cmath>/*添加数学函数头文件*/ #include<iostream>#include<conio.h>using namespace std;#define pi 3.1415926 void huishu(double x0,

10、double y0, double x1, double y1, int k);int main(void)int n, gdriver = DETECT, gmode;/*定义迭代次数n*/printf("Please input the value of the positive integer n (n<9):");cin>>n;/*输入迭代次数n*/initgraph(&gdriver, &gmode, "");/*图形系统初始化*/setcolor(GREEN);huishu(50, 250, 550, 250

11、, n); /*画桧树分形小枝*/getch();closegraph();return 0;void huishu(double x0, double y0, double x1, double y1, int k)double x2, y2, x3, y3, x4, y4, x5, y5, x11, y11, x22, y22;double r, t;t = pi / 18;r = (2 * cos(t) - sqrt(4 * cos(t) *cos(t) - 3.0) / 3.0; /* r的计算式*/x11 = r*x1 + (1 - r)*x0;y11 = r*y1 + (1 - r

12、)*y0;x22 = r*x0 + (1 - r)*x1;y22 = r*y0 + (1 - r)*y1;x2 = (x11 - x0)*cos(t) - (y11 - y0)*sin(t) + x0;y2 = (x11 - x0)*sin(t) + (y11 - y0)*cos(t) + y0;x4 = (x22 - x1)*cos(t) - (y22 - y1)*sin(t) + x1;y4 = (x22 - x1)*sin(t) + (y22 - y1)*cos(t) + y1;x3 = (x4 - x2)*cos(6 * t) - (y4 - y2)*sin(6 * t) + x2;y3 = (x4 - x2)*sin(6 * t) + (y4 - y2)*cos(6 * t) + y2;x5 = (x1 - x4)*cos(-6 * t) - (y1 - y4)*sin(-6 * t) + x4;y5 = (x1 - x4)*sin(-6 * t) + (y1 - y4)*cos(-6 * t) + y4;if (k > 1) huishu(x0, y0, x2, y2, k - 1); huishu(x2, y2, x3, y3, k - 1);huishu(x2, y2, x4, y4,