函数模型及应用

1、函数模型及应用 备课人：石松 一、 高考要求：函数模型及应用：B级要求（理解）二、 重点难点：1 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会中普遍使用的函数模型)的广泛应用2 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用。三、 基础过关1. 某种商品，现在定价每件元，每月卖出件，根据市场调查显示：定价每上涨成，卖出的数量将会减小成，如果涨价后的销售总金额是现在的倍，则用来表示的函数关系式为 。2. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近

2、似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是_y2x2 y(x21)ylog3x y2x23. 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式 是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差_10 _元 4. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y300020x0.1x2 (0<x<240，xN*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是_台 150 5. 某公司租地建仓库，每月土地占有费与仓库到车站的距离成反比；而每月库存货物

3、的运费与到车站的距离成正比。如果在距车站处建仓库，这两项费用分别为万元和万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 处 56. 根据调查，某厂生产的一种产品月份盈利为万元（），近似地满足.，为了获得一年的最大利润，那么该产品每年只需生产 个月。 8四、例题精讲例1某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内礼品价值为元时，比礼品为（）元时的销售量增加10%。（1）写出礼品价值为元时，利润（元）与的函数关系式；（2）请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润。解：（1）设未赠送礼品

4、时的销量为件，则当礼品价值为元时，销售量为件，利润。令，即解之得。令，即，解之得。故礼品价值为元或元时，商店获得最大利润。例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）生产每吨产品的平均成本为：，由于，当且仅当时，即时等号成立。（2）设年利润为，则，由于在上为增函数，故当时，的最大值为1660。答：（1）年产量为200

5、吨时，每吨平均成本最低为32万元；（2）年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。例3某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为万元，但每生产100台，需增加可变成本（即另增加投入）万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入为（万元），其中是产品售出数量（单位：百台）。（1）把年纯利润表示为年产量单位：百台）的函数；（2）年产量为多少时，工厂所得纯利润最大？（纯利润=销售收入成本）解：（1）当时，纯利润；当时，。（2）当时，当时，最大值为（万元）；当时，（万元）。年产量为台时，工厂的纯利润最大。例四、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）

6、的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？分析：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以

7、80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。函数模型及应用作业1将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆形的面积之和最小，正方形的周长应为 。解：设正方形的周长为，则圆的周长为，半径，。当时，有最小值。2某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润（万元）与营运年数为二次函数关系为：，则每辆客车营运 年可使其营运年平均利润最大。5解 ：所求为，当，即时，年平均利润最大为。3用清水洗衣服，若每次洗去污垢的，要使残留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（参考数据：.） 。4解：由题意得不等式，两边取对数，

8、得，因而4某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系满足，若这种动物第一年有100只，则到第七年它们发展到 只。305如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系：，以下叙述中正确的序号是 （把正确叙述的序号都填上）这个指数函数的底数为2；第5个月时，浮萍面积会超过30 m2；浮萍从4m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；浮萍每月增加的面积都相等；若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t36(2010·扬州模拟)某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的

9、同时注水，t分钟注入2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止，现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供_人洗浴47(2010·盐城调研)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是_8拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)1.06(0.50×m1)给出，其中m>0，m是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m_(17,18_.9有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围 成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，

10、则围成的矩形最大面积为_(围墙厚度不计) 2500 m210(2010·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是_2011(2011届徐州月考)某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为_yx (xN*)二、解答题(本大题共3小题，共46分)12某化工

11、厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8000，已知此生产线年产量最大为210吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为(万元)则4824832，当且仅当，即x200时取等号年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)40xy40x48x800088x8000(x220)21680 (0x210)R(x)在0,210上是增函

12、数，x210时，R(x)有最大值为(210220)216801660.年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元13某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时本年度计划将电价调至0.55元0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x0.4)元成反比例又当x0.65时，y0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？收益用电量×(实际电价成本价)解(1)y与(x0.4)成反比例，设y (k0)把x0.65，y0.8代入上式，得0.8，k0.2.y，即y与x

13、之间的函数关系式为y.(2)根据题意，得×(x0.3)1×(0.80.3)×(120%)整理，得x21.1x0.30，解得x10.5，x20.6.经检验x10.5，x20.6都是所列方程的根x的取值范围是0.550.75，故x0.5不符合题意，应舍去x0.6.答当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.14(2010·淮阴模拟)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB3米，AD2米(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范 围内

14、？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小 值解(1)设DN的长为x (x>0)米，则AN(x2)米，AM，SAMPNAN·AM.由SAMPN>32，得>32，又x>0，得3x220x12>0，解得：0<x<或x>6，即DN长的取值范围是(6，)(2)矩形花坛AMPN的面积为y3x1221224，当且仅当3x，即x2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米函数模型及应用 备课人：石松 四、 高考要求：函数模型及应用：B级要求（理解）五、 重点难点：3

15、 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会中普遍使用的函数模型)的广泛应用4 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用。六、 基础过关7. 某种商品，现在定价每件元，每月卖出件，根据市场调查显示：定价每上涨成，卖出的数量将会减小成，如果涨价后的销售总金额是现在的倍，则用来表示的函数关系式为 。8. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是_y2x2 y(x21)ylog3x y2x29. 某

16、电信公司推出两种手机收费方式：A种方式 是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差_元 10. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y300020x0.1x2 (0<x<240，xN*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是_台 11. 某公司租地建仓库，每月土地占有费与仓库到车站的距离成反比；而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比。如果在距车站处建仓库，这两项费用分别为万元和万元，那么要使这两项费用之和最小，仓

17、库应建在离车站 处 12. 根据调查，某厂生产的一种产品月份盈利为万元（），近似地满足.，为了获得一年的最大利润，那么该产品每年只需生产 个月。 四、例题精讲例1某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内礼品价值为元时，比礼品为（）元时的销售量增加10%。（1）写出礼品价值为元时，利润（元）与的函数关系式；（2）请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润。例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年

18、产量最大为210吨。（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？例3某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为万元，但每生产100台，需增加可变成本（即另增加投入）万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入为（万元），其中是产品售出数量（单位：百台）。（1）把年纯利润表示为年产量单位：百台）的函数；（2）年产量为多少时，工厂所得纯利润最大？（纯利润=销售收入成本）例四、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示

19、为：已知甲、乙两地相距100千米。（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？分析：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。函数模型及应用作业1将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆形的面积之和最小，正方形的周长应为 。2某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润（万元）与营运年数为二次函数关系为：，则每辆客车营运 年可使其营运年平均利润最大。3用清水洗衣服，若每次洗去污垢的，要使残

20、留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（参考数据：.） 。4某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系满足，若这种动物第一年有100只，则到第七年它们发展到 只。5如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系：，以下叙述中正确的序号是 （把正确叙述的序号都填上）这个指数函数的底数为2；第5个月时，浮萍面积会超过30 m2；浮萍从4m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；浮萍每月增加的面积都相等；若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t36某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水3

21、4升，在放水的同时注水，t分钟注入2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止，现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供_人洗浴7汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是_8拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)1.06(0.50×m1)给出，其中m>0，m是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m_.9有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围 成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_(围墙厚度不计) 10(2010·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比