利用导数研究函数的极值和最值理

1、§3.3 利用导数研究函数的极值和最值知识要点梳理一.函数的极值1.函数极值定义一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正

2、”，则是的极小值点，是极小值.3. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求方程f(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值二. 函数的最大值与最小值1. 函数的最大值与最小值：在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值2.利用导数求函数的最值步骤: 设函数在在（a,b）内可导，在闭区间上图像连续不断，求函数在上的最大

3、值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较，得出函数在上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。疑难点、易错点剖析1由极值的定义可知，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。此外请注意以下几点：（）极值是一个局部概念。由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而> （）函数的极值点一定出

4、现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（V）可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是极值点。（Vi）函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导。如函数y=|x| 在x=0有极小值，但在x=0处不可导即导数不存在。2.对于函数的最值问题，应注意以下几点：（1）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值（2）在开区间内图像连续的函数不一定有最大值与最小值如函数在内连续，但没有最大值与最小值；（3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比

5、较极值点附近函数值得出的（4）函数在闭区间上的图像连续不断，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件如函数在上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其图像却不是连续不断的（如右图）。(5)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。（6）若函数f(x)只有一个极值，则必为最值。若函数f(x)在闭区间a,b上递增，则，；若函数f(x)在闭区间a,b上递减，则，。直击考点考点一 求含字母参数的函数的极值考例1.（06安徽卷）设函数，已知是奇函数。（）求、的值。（）求的单调区间与极值。思路分析：先求出,再利用奇函数定义即可求出b,c

6、的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值解析：（），。从而是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，令=0，解得，由，由此可知，函数的单调递增区间是和；单调递减区间是；进而得在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。锦囊妙计：熟练掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间、极值、最值，力求解答思路顺畅，思维严谨，书写规范。举一反三：(2005年全国高考题)设a为实数,函数 ()求的极值.()当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.解：(I)=321若=0，则=，=1当变化时，变化情况如下表：(，)(，1)1(1，+)+00+极大值极小值的极大值是，极

7、小值是(II)函数由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知：当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+)上。当的极小值1>0即(1，+)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(，)上。当(1，+)时，曲线=与轴仅有一个交点。考点二 求函数的最值考例2.已知a为实数，（1）若，求在2，2 上的最大值和最小值；（2）若在（，2和2，+）上都是递增的，求a的取值范围.思路分析：（1）按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。（2）当函数f(x)在给定的区间上递

8、增时，则在该区间上恒有,从而得到关于a的不等式。解: ()由原式得 由 得,此时有.由得或x=1 ,当变化时，的变化如下表-递增极大值递减极小值递增 所以f(x)在2,2上的最大值为最小值为 (2)解法一: 的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线,由条件得 即 2a2. 所以a的取值范围为2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非负. 由题意可知,当x2或x2时, 0, 从而x12, x22, 即 解不等式组得: 2a2. a的取值范围是2,2.锦囊妙计：（1）极大值，极小值是否就是最大值，最小值，要与区间两端点的函数值进行比较，才能下结论。（2）在已知函数f(x)是增函数（或减函

9、数）求参数的取值范围时，应令恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由，x恒成立解出的参数的取值范围确定。举一反三：1.（06浙江卷）在区间上的最大值是(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：，令可得x0或2（2舍去），当1£x<0时，>0，当0<x£1时，<0，所以当x0时，f（x）取得最大值为2。选C2. (06全国卷)已知a 0 ，函数f(x) = （ -2ax） (1) 当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （2）设 f(x)在 -1，1上

10、是单调函数，求a的取值范围.解：（I）对函数求导数得令得+2(1)2=0从而+2(1)2=0 解得 当 变化时，、的变化如下表 + 0 0 +递增极大值递减 极小值 递增在=处取得极大值，在=处取得极小值。当0时，<1,在上为减函数，在上为增函数而当时=，当x=0时，所以当时，取得最小值（II）当0时，在上为单调函数的充要条件是 即，解得于是在-1，1上为单调函数的充要条件是即的取值范围是考点三 利用导数解决函数的综合问题考例3.(06年深圳市模拟)已知函数的图象与函数的图象相切,记.（）求实数的值及函数的极值；（）若关于的方程恰有三个不等的实数根，求实数的取值范围.思路分析:首先由是的

11、切线,利用导数的几何意义求出b,再由导数与单调性,极值的关系作出函数的图像,利用数形结合的思想求解.解：(1)依题意，令函数的图象与函数的图象的切点为,将切点坐标代入函数可得 .或:依题意得方程，即有唯一实数解, 故，即,故,令,解得,或. 列表如下 : -递增极大值递减极小值0递增从上表可知在处取得极大值,在处取得极小值. （）由（）可知函数大致图象如下图所示.作函数的图象,当的图象与函数的图象有三个交点时, 关于的方程恰有三个不 等的实数根.结合图形可知：. 锦囊妙计:读题,审题,发现”是的切线”是解题的关键, 数形结合的思想在该题中再一次得到运用.本题综合了导数,单调性 ,极值 ,方程的

12、解等知识与数形结合的思想方法.综合考察了学生的计算,推理,阅读理解的数学能力.举一反三: (07中山市模拟.) 已知函数的图象为曲线E.() 若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；() 说明函数可以在和时取得极值，并求此时a,b的值；() 在满足(2)的条件下，在恒成立，求c的取值范围.解：(1) ,设切点为,则曲线在点P的切线的斜率,由题意知有解，即. (2)若函数可以在和时取得极值，则有两个解和，且满足. 易得. (3)由(2)，得. 根据题意，()恒成立. 函数（）在时有极大值（用求导的方法），且在端点处的值为. 函数（）的最大值为. 所以. 误区警示：例

13、.设函数，其中.（1）求函数的极值；（2）若当时，恒有，试确定实数的取值范围.常见错误：（1）忽略0<a<1导致错误；（2）解带参数的绝对值不等式出错。正解：（1），得，.，. 列表如下：a0+0极小值极大值极小值=；极大值=（2），. 即在上单调递减，即当时. 从而：.恒成立，故.紧扣考纲大演练一.单项选择题1.2（06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）³0，则必有（ C ）A f（0）f（2）<2f（1） B. f（0）f（2）£2f（1）C. f（0）f（2）³2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）解：依题

14、意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（¥，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C3函数有极值的充要条件是（ ）ABCD答案：B【思路分析】：有两个不等实根. 即或，故选B.4.（06天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个解析：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小

15、值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.xy0-1-2-3123456.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示，给出下列判断：(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增；(2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3）内单调递减；(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增；(4) 当x= -1/2时，函数y=f(x)有极大值;(5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;则上述判断中正确的是 .A B C D 答案:B二.填空题7.若f(x)=x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_ _。答案: a>2或a&

16、lt;-1。提示： f(x) 既有极大值又有极小值 , 有两个不同的解。8. 已知为常数）在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值为 .答案: -37.9（改编题）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是答案：10f（x）= 1+3sin x + 4cos x取得最大值时，tan x = 解答：f（X）=3cosx4sinx=0 tanx=，f(X)在tanx=时取得最大值，即填。三.解答题11.设函数（1） 若f(x)在上是增函数，求a的取值范围；（2） 求在上的最大值解: 在0,1上恒成立，.（1） 当时,在(0,1)上为增函数，在上的最大值为,当时, 当 .12已知函数（1）若在1，上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x3是的极值点，求在1，a上的最小值和最大值解析：（1）x1， （当x=1时，取最小值）a3（a3时也符合题意）a3 （2），即27-6a+30