北京市西城区高三一模考试数学文试题

1、西城区高三统一测试 数学（文科） 2019.4 第卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集，集合，那么（A）（B）（C）（D）2在复平面内，复数的对应点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3双曲线的焦点坐标是（A），（B），（C），（D），4函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）5函数定义在上则“曲线过原点”是“为奇函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件6在中，点满足，则（A）（B）（C）（D）7在正方形网格中，某四面体的三视

2、图如图所示如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A） （B）（C） （D）8函数的图象上任意一点的坐标满足条件，称函数具有性质下列函数中，具有性质的是（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9函数的定义域为_ 10执行如图所示的程序框图. 当输入时，输出的值为_ 11圆的圆心坐标是_； 直线 与圆相交于两点，则_ 12函数的最小正周期是_ 13实数满足则的最大值是_；最小值是_ 14 如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动平面区域由所有满足的点组成，则的面积是_ 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答

3、应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知是等比数列，数列满足，且是等差数列（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和16（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，且（）求角的大小；（）求的最大值17（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“”表示答对，“

4、15;”表示答错）：学生编号 题号 123451×2×3×4××56×××7××8××××9×××10×（）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号12345实测答对人数实测难度（）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度规定：若，则称该次测试的难度预估

5、合理，否则为不合理判断本次测试的难度预估是否合理.18（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，过点的平面与棱分别交于点（三点均不在棱的端点处） （）求证：平面平面；（）若平面，求的值；（）直线是否可能与平面平行？证明你的结论19（本小题满分14分）如图，已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点， （）求椭圆的方程；（）设为原点，为椭圆上一点，的中点为直线与直线交于点，过作，交直线于点求证：20（本小题满分13分）已知函数设为曲线在点处的切线，其中 （）求直线的方程（用表示）；（）求直线在轴上的截距的取值范围；（）设直线分别与曲线和射线交于两点，求的最小值及此时的值西城区高三统一测试

6、高三数学（文科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1A 2D 3C 4B 5B 6C 7B 8C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9，且 10 11； 12 13； 14注：第11，13题第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分）解：（）设等比数列的公比为，由题意得， 解得 2分所以 4分设等差数列的公差为，由题意得 6分所以 8分从而 9分（）由（）知数列的前项和为；数列的前项和为12分所以，数列的前项和为 13分16（本小题满分13分）

7、解：（） 由 ，得 1分由正弦定理得 3分 所以 4分因为 ， 5分所以 6分（） 7分 9分 11分因为 ，所以 ， 12分所以 当时，取得最大值 13分17（本小题满分13分）解：（）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号12345实测答对人数88772实测难度0.80.80.70.70.2 4分所以，估计120人中有人答对第5题 5分（）记编号为的学生为，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，共6种 9分所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为 10分（）为抽样的10名学生中第题的实测

8、难度，用作为这120名学生第题的实测难度 12分因为 ，所以，该次测试的难度预估是合理的 13分18（本小题满分14分）解：（）因为平面，所以 1分因为为正方形，所以， 2分所以平面 3分所以平面平面 4分（）连接 5分因为 平面， 所以 7分又因为 ，所以 是的中点 8分所以 9分（）与平面不可能平行 10分证明如下：假设平面，因为 ，平面所以 平面 12分而 平面，所以 平面平面，这显然矛盾！ 13分所以假设不成立，即与平面不可能平行 14分19（本小题满分14分）解：（）设椭圆的半焦距为依题意，得， 2分解得 ，所以 ，所以椭圆的方程是 5分（）解法一：由（）得 设的中点， 设直线的方程

9、为：，将其代入椭圆方程，整理得， 7分所以 8分所以 ，即 9分所以直线的斜率是 ， 10分所以直线的方程是 令，得 11分由，得直线的斜率是 ， 12分因为，所以直线的斜率为， 13分所以直线 14分解法二：由（）得 设，其中因为的中点为，所以 6分所以直线的斜率是 ， 7分所以直线的方程是 令，得 8分由，得直线的斜率是 9分因为直线的斜率是 ， 10分所以 ， 12分所以 13分因为 ，所以 14分20（本小题满分13分）解：（） 对求导数，得， 1分所以切线的斜率为， 2分由此得切线的方程为：， 即 . 3分（） 由（）得，直线在轴上的截距为 4分设 ，所以 ，令，得，的变化情况如下表：