北师大数学必修简单的三角恒等变换同步导学练习案附思维导图答案解析

1、第6课时简单的三角恒等变换能运用和角公式、差角公式和二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).前面我们学习了和角、差角及二倍角公式,初步体会到三角恒等变换在解题中的作用,本节课我们将在之前的基础上继续探究公式在更多方面的运用,体会学习公式的重要意义.问题1:代数式变换与三角变换有什么不同呢?代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,

2、这是三角恒等变换的重要特点.问题2:三角恒等变换的要求是什么?(1)化简:要求使三角函数式化为最简,项数尽量少,名称尽量少,次数尽量低,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的要求值.(2)求值:要注意角的范围,三角函数值的符号之间的联系与影响,较难的问题需要根据三角函数值进一步缩小角的范围.(3)证明:是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等.问题3:三角恒等变换有哪些技巧?(1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值代换.(2)切化弦:当化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角的基本三角函数关系式 将正切

3、化为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思想方法,切化弦的好处在于减少了三角函数名称.(3)升幂与降幂公式:sin2=,cos2=,运用它就是降幂.反过来,直接运用倍角公式或变形公式1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2,就是升幂. (4)角的变换:角的变换把已知角与未知角联系起来,使公式顺利运用,解题过程中常见的角的代换有:=()-,=-(),=12(+)+(-),+=()-. 问题4:三角应用问题解答的一般步骤是什么?(1):审读题意,分清已知与未知,理解数学关系,画出示意图. (2):根据已知条件与求解目标,设角建立三角式,选择适当三角函数模型.&

4、#160;(3):利用三角变换,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论,即求得数学模型的解. (4):检验上述所求的解是否符合实际意义,把数学结论还原为实际问题的解答,从而得出实际问题的解. 1.cos5cos25的值是().A.14B.12C.-14D.12.若cos =-45,是第三象限的角,则1-tan21+tan2=().A.2B.12C.-2D.-123.若sin(2+)=35,则cos 2=. 4.已知0<<4,0<<4,且3sin =sin(2+),4tan2=1-tan22,求+的值.恒等式的证明已知5sin =3s

5、in(-2),求证:tan(-)+4tan =0.与平面向量的综合运用已知向量m=(3sinx4,1),n=(cosx4,cos2x4),若m·n=1,求cos(23-x)的值.二倍角、半角公式在解三角形中的运用在ABC中,设sin A+sin C=2sin B,A-C=3,求sin B的值.求证:sin2x(sinx+cosx-1)(sinx-cosx+1)=1+cosxsinx.已知向量m=(sin x,1),n=(3Acos x,A2cos 2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.(1)求A;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移12个单位,再将所得

6、图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在0,524上的值域.已知角A、B、C为ABC的三个内角,OM=(sin B+cos B,cos C),ON=(sin C,sin B-cos B),OM·ON=-15.(1)求tan 2A的值;(2)求2cos2A2-3sinA-12sin(A+4)的值.1.2sin21+cos2·cos2cos2等于().A.tan B.tan 2C.1D.122.若f(tan x)=sin 2x,则f(-1)的值是().A.-1B.-sin 2C.12D.13.已知sin =12+cos ,且(0,

7、2),则cos2sin(-4)的值为. 4.若xacos +ybsin =1,且xasin -ybcos =1,求证:x2a2+y2b2=2.(2013年·陕西卷)已知向量a=(cos x,-12),b=(3sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,2上的最大值和最小值.考题变式(我来改编):答案第6课时简单的三角恒等变换知识体系梳理问题3:(2)tan =sincos(3)1-cos221+cos22(4)+-2+问题4:(1)分析(2)建模(3)求解(4)检验基础学习交流1.A原式=12sin

8、5·2sin5cos5cos25=14sin5·2sin25cos25=14sin5sin45=14.2.C依题意得sin =-35,则1-tan21+tan2=cos2-sin2sin2+cos2=(cos2-sin2)(sin2+cos2)(sin2+cos2)2=cos1+sin=-451-35=-2.3.-725由sin(2+)=35可知,cos =35,则cos 2=2cos2-1=2×(35)2-1=-725.4.解:由4tan2=1-tan22得tan =2tan21-tan22=12.由3sin(+)-=sin(+)+,得tan(+)=2tan ,

9、tan(+)=1.又0<<4,0<<4,0<+<2,+=4.重点难点探究探究一:【解析】因为5sin =3sin(-2),所以5sin(-)+=3sin(-)-,所以5sin(-)cos +5cos(-)sin =3sin(-)cos -3cos(-)sin ,所以2sin(-)cos +8cos(-)sin =0,即tan(-)+4tan =0.【小结】证明三角恒等式,一般要考虑三个“统一”:统一角度,即化为同一个角的三角函数;统一名称,即化为同一种三角函数;统一结构形式.探究二:【解析】(1)m·n=3sinx4·cosx4+cos2

10、x4=32sinx2+1+cosx22=sin(x2+6)+12=1,sin(x2+6)=12,cos(x+3)=1-2sin2(x2+6)=12,cos(23-x)=-cos(x+3)=-12.【小结】向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.探究三:【解析】sin A+sin C=2sin B,即2sin A+C2cos A-C2=4sin B2cos B2,sin B2=12cos A-C2=34,cos B2=±134,sin B=2sin B2cos B2=2×34×(±1314)=±39

11、8.问题sin B=-398吗?结论sin B-398,B是ABC的一个内角,B(0,),sin B>0.于是,正确解答如下:sin A+sin C=2sin B,即2sin A+C2cos A-C2=4sin B2cos B2,sin B2=12cos A-C2=34,而0<B2<2,cos B2=134,sin B=2sin B2cos B2=2×34×134=398.【小结】在解三角形问题中,不仅要考虑题中角度的范围,还需考虑三角形内角的范围,有时要根据三角函数值的符号和三角形内角的范围将角的范围适当缩小,再确定三角函数值或角度.思维拓展应用应用一:

12、因为左边=2sinxcosxsinx+(cosx-1)sinx-(cosx-1)=2sinxcosxsin2x-(cosx-1)2=2sinxcosxsin2x-cos2x+2cosx-1=2sinxcosx-2cos2x+2cosx=sinx1-cosx=sinx(1+cosx)(1-cosx)(1+cosx)=sinx(1+cosx)sin2x=1+cosxsinx=右边,所以原等式成立.应用二:(1)f(x)=m·n=3Asin xcos x+A2cos 2x=A(32sin 2x+12cos 2x)=Asin(2x+6).因为A>0,由题意知A=6.(2)由(1)知f(

13、x)=6sin(2x+6),将函数y=f(x)的图象向左平移12个单位后得到y=6sin2(x+12)+6=6sin(2x+3)的图象;再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到y=6sin(4x+3)的图象.因此g(x)=6sin(4x+3).因为x0,524,所以4x+33,76,故g(x)在0,524上的值域为-3,6.应用三:(1)OM·ON=(sin B+cos B)sin C+cos C(sin B-cos B)=sin(B+C)-cos(B+C)=-15,sin A+cos A=-15,两边平方整理得:2sin Acos A=-2425,-2425&l

14、t;0,A(2,),sin A-cos A=1-2sinAcosA=75.联立得:sin A=35,cos A=-45,tan A=-34,tan 2A=2tanA1-tan2A=-321-916=-247.(2)tan A=-34,2cos2A2-3sinA-12sin(A+4)=cosA-3sinAcosA+sinA=1-3tanA1+tanA=1-3×(-34)1+(-34)=13.基础智能检测1.B2sin21+cos2·cos2cos2=sin2cos2=tan 2.2.A(法一)由sin 2x=2sinxcosxsin2x+cos2x=2tanx1+tan2x,

15、知f(tan x)=2tanx1+tan2x,f(-1)=2×(-1)1+(-1)2=-1.(法二)f(-1)=ftan(-4)=-sin2=-1.3.-142由sin =12+cos 得sin -cos =12,(sin -cos )2=1-2sin cos =14,2sin cos =34.cos2sin(-4)=cos2-sin222(sin-cos)=-2(sin +cos ),而(sin +cos )2=1+2sin cos =74,又0<<2,sin +cos =72,原式=-142.4.解:×cos -×sin 得,xa=cos +sin .×sin -×cos 得,yb=sin -cos .2+2得x2a2+y2b2=2.全新视角拓展f(x)=(cos x,-12)·(3sin x,cos 2x)=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=cos6sin 2x-sin6cos 2x=si