信息光学第一章

1、常用数学函数常用数学函数 v卷积与相关卷积与相关v傅立叶变换性质与定理傅立叶变换性质与定理 基础数学基础数学基础理论基础理论v线性系统分析线性系统分析v二维光波场分析二维光波场分析本章的教学目的与要求：本章的教学目的与要求：v本章是课程的基础本章是课程的基础v要求学生在解决光学问题中可应用傅立叶变换性质和定理要求学生在解决光学问题中可应用傅立叶变换性质和定理v加深对空间频率、空间频谱概念的理解加深对空间频率、空间频谱概念的理解本章主要内容本章主要内容第一章第一章 傅立叶分析傅立叶分析2022-2-42第一章 傅里叶分析Joseph Fourier（1768-1830）2022-2-43第一章

2、傅里叶分析 函数分类函数分类 基本初等函数：基本初等函数：在函数论中，将幂函数、指数函在函数论中，将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。数、对数函数、三角函数和反三角函数。 初等函数：初等函数：指在自变量的定义域内，能用单一解指在自变量的定义域内，能用单一解析式对五种基本初等函数进行有限次数的四则运析式对五种基本初等函数进行有限次数的四则运算和复合所构成的函数。算和复合所构成的函数。 非初等函数：非初等函数：指在自变量的定义域中，不能用单指在自变量的定义域中，不能用单一解析式表示的函数一解析式表示的函数 1.1 光学中几种常用函数光学中几种常用函数v介绍它们的定义和性质及其在信息

3、光学中的应用介绍它们的定义和性质及其在信息光学中的应用; ;v要求掌握它们的定义、基本性质、函数变形要求掌握它们的定义、基本性质、函数变形; ;v主要介绍以下函数：主要介绍以下函数：矩形函数矩形函数Sinc函数函数阶跃函数阶跃函数符号函数符号函数三角形函数三角形函数高斯函数高斯函数圆域函数圆域函数函数函数梳状函数梳状函数常用函数常用函数变型变型xf(x)xf(x- x0)x0平移平移(原点移至原点移至x0)xf(-x)折叠折叠与与f(x)关于关于y轴轴镜像对称镜像对称x-f(x)取反取反与与f(x)关于关于x轴轴镜像对称镜像对称xbf(x)倍乘倍乘y方向幅度方向幅度变化变化xf(x/a)比例缩

4、放比例缩放a1, 在在x方向展宽方向展宽a倍倍a1, 在在x方向压缩方向压缩a倍倍平移平移缩放缩放取反取反倍乘倍乘折叠折叠常用函数变型（例）常用函数变型（例）解解1： f(-2x+4)= f-2(x-2)，包含折叠、压缩、平移，包含折叠、压缩、平移xf(-x)0-1先折叠xf(-2x)0-1/2再压缩x0f-2(x-2)3/2最后平移xf(x)01例例: f(x)=求求 f (-2x+4)x, 0 x10 其它其它光学中几种常用函数光学中几种常用函数1 矩形函数矩形函数 定义：定义：一维一维 应用应用：单缝透过率、门函数、时间脉冲波形：单缝透过率、门函数、时间脉冲波形. .1( )0 xrec

5、ta/2xa其它11/2( )0 xrect xelse标准型标准型： )( rect0axx x0ax0y例题：例题：f(x)=rect(x)，将该函数压缩，将该函数压缩2倍，然后向左平移倍，然后向左平移3，并，并以以x=1为轴折叠，求最后得到的函数，并画出函数图。为轴折叠，求最后得到的函数，并画出函数图。向左向左平移平移3 311/2oxf(x)-1/211/2( )01/2xrect xx11/4oxf(2x)-1/4x=111/4(2 )01/4xrectxx压缩压缩2倍倍压缩压缩2倍倍y1-11/4oxf(2x+6)-13/4113/411/4(26)0 xrectxelse以以x=

6、1为轴为轴折叠折叠y1 19/421/410 20 xrectxelsex=11x-11/4o-13/419/421/4x=-3x=52 sinc函数函数定义：定义：应用：应用：单缝或矩形孔的夫琅和费衍射的振幅分布单缝或矩形孔的夫琅和费衍射的振幅分布sin()sinc( )xxx注意归一化和非归一注意归一化和非归一化的两种表达方法。化的两种表达方法。sin( )sinc( )xxx强度分布为强度分布为sinc函数平方函数平方3 阶跃函数阶跃函数 定义：定义： 00( )1 2010 x axstepx aax aTx应用应用：光学直边或刀口的透过率：光学直边或刀口的透过率标准型：标准型：00(

7、 )1 2010 xstep xxx4 符号函数符号函数定义定义：应用应用：与某函数相乘，可使该函数在某点的正负发生反转。：与某函数相乘，可使该函数在某点的正负发生反转。相位突变。相位突变。10sgn( )0010 x axx aax a0 x/aSgn(x/a)标准型标准型：10sgn( )0010 xxxx5 三角函数（三角函数（tir(x)或或（x) 定义：定义：应用应用：矩形光瞳的非相干成像系统光学传递函数。矩形光瞳的非相干成像系统光学传递函数。11,00 xxxaaaaelse-aa1Ox 注意：函数形状非真三角形。注意：函数形状非真三角形。标准型：标准型： 11,00 xxxael

8、se 6 高斯函数高斯函数定义定义：2( )( ),0 xaxGausseaa标准型标准型：2( )( )xGauss xe特点特点：1）函数分布在整个区域连函数分布在整个区域连续、可导。续、可导。2）光滑、中心强边缘弱。）光滑、中心强边缘弱。3）其傅里叶变换还是高斯）其傅里叶变换还是高斯函数。函数。应用应用：1）是激光的常见模式：基膜高斯分布。）是激光的常见模式：基膜高斯分布。2）光信息处理中的）光信息处理中的“切趾术切趾术”，实，实质：软边光栏。质：软边光栏。Tr7 圆域函数圆域函数定义定义：应用应用：描述圆孔的透过率、二维的门函数描述圆孔的透过率、二维的门函数. .220001()0rr

9、xyrcirccircrr其它8 函数函数定义定义：()0()1xaxaxa dx物理意义物理意义：描述脉冲状态这样一类物理量，描述脉冲状态这样一类物理量，函数表示某种极函数表示某种极限状态，可用于描述高度集中的物理量，如：点电荷、点光源、限状态，可用于描述高度集中的物理量，如：点电荷、点光源、瞬间光电脉冲等，又称脉冲函数。瞬间光电脉冲等，又称脉冲函数。焦点处光能描述焦点处光能描述点电荷处电场描述点电荷处电场描述 )(axx=a 函数的函数序列定义式函数的函数序列定义式：(0)lim( )0(0)lim( )1NNNNxfxxfx dx 函数序列表达式的意义是在实际操作中可以将函数序列表达式的

10、意义是在实际操作中可以将 函数具体函数具体化，便于处理。化，便于处理。是一类函数而不是某一种函数函数是一类函数而不是某一种函数函数, 根据需要有多种形式。根据需要有多种形式。lim( )()NNfx dxA 常数？ /A还是还是 函数函数！函函 数数一维二维矩形函数矩形函数高斯函数高斯函数Sinc函数函数圆域函数圆域函数贝塞尔函数贝塞尔函数( )lim()NxNrect Nx2( , )lim()()Nx yN rect Nx rect Ny22( )limexp()NxNNx2222( , )limexpNx yNNxy( )limsin ()NxNc Nx2( , )limsin ()si

11、n ()Nx yNc Nxc Ny222()( , )limNN circ Nxyx y22122(2)( , )limNNJNxyx yxy几种表示几种表示 函数的函数序列及其极限形式函数的函数序列及其极限形式 1 1） 筛选特性：筛选特性： 对任一连续函数对任一连续函数 (x), 有：有：00( ) ( )(0)( ) ()()xx dxandxxxdxx 函数的性质函数的性质：物理意义：所有的有限函数都可以分解成物理意义：所有的有限函数都可以分解成 函数的函数的线性组合线性组合, 很有现实意义。很有现实意义。应用：信息处理中函数取点。应用：信息处理中函数取点。2 2 可分离变量特性：可分

12、离变量特性：直角坐标系里，有直角坐标系里，有0000(,)() ()xxyyxxyy极坐标系里，有极坐标系里，有000()()()rrrrr 什么是可分离变量？什么是可分离变量？这里这里2200000000(0)arctan(0)rxyryx同时同时002000()10()102rrdrrdr ？3 坐标缩放：坐标缩放：推论：推论： 偶函数偶函数 1()( )axxa()( )xx001()()xaxxxaa试证明？试证明？试证明？试证明？1(,)( , )ax byx yab试证明：物理意义？物理意义？1()()axxa试 证 明()00(),()10()0(1)()()0()lim()li

13、m()11()0()lim()limma mma mmmmmmmxxxxd xxa xa xd xa xda xaa xd xa xd xaXdXaaaa xdaa xd xa xd x ，证 明 ： 对 于有 ： 显 然 对 于也 有 而 对 于当时 ，当时 ，()111()( 2 )1(1) ( 2 )()()a ma ma xaXdXaaaa xd xaa xxa 综 合、式 ， 得4 乘积特性乘积特性从物理上去怎么理解呢？从物理上去怎么理解呢？000( ) ()() ()xxxxxx( ) ( )(0) ( )f xxfx00()( )0(0)xxxx( ) ( )xx无定义推论：推论

14、：当当x x0, 由于由于 (x x0)=0, 所以等式成立。所以等式成立。当当x=x0, (x)= (x0), 等式等式显然显然成立。成立。5 积分形式：积分形式：1( )cos()21( )2ixxx dxed或者物理意义：物理意义： 函数可以由等振幅的不同频率正弦或余弦波合成，或函数可以由等振幅的不同频率正弦或余弦波合成，或者说者说 函数可以分解成等振幅的不同频率正弦或余弦波。函数可以分解成等振幅的不同频率正弦或余弦波。（傅里叶级数）（傅里叶级数） 9 梳状函数（梳状函数（comb function）定义：）定义：( )()ncomb xxn* 各个梳之间等间距；各个梳之间等间距；* 每

15、个梳具有每个梳具有 函数性质。函数性质。T 二维梳状函数的图形是什么？试说明。二维梳状函数的图形是什么？试说明。,( , )( )( )(,)n mcomb x ycomb x comb yxn ym二维：二维：梳状函数与普通函数的乘积：梳状函数与普通函数的乘积：0000( )()() ()mxf x combxf mxxmxx应用：重复取样、描述时间上重复出现的光电脉冲、空间应用：重复取样、描述时间上重复出现的光电脉冲、空间上等间距排列的点或线光源。上等间距排列的点或线光源。实现重复取样！实现重复取样！1.2 卷积卷积卷积运算的意义：一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做卷积运算的意义：一个函数

16、绕函数轴反转并沿自变量轴做某一平移后与另一函数的重叠区域的积分。某一平移后与另一函数的重叠区域的积分。( )( )( )( ) ()g xf xh xfh xd1 定义：定义：设设f(x)和和h(x)是两个复函数，其卷积定义为是两个复函数，其卷积定义为f()h()h()x/2h(x-)2.2.卷积的应用卷积的应用1）卷积运算在线性系统、光学成像理论和傅立叶变换中经）卷积运算在线性系统、光学成像理论和傅立叶变换中经常用到。常用到。x0y0 xiyi透镜透镜1线光源线光源获得线光源的获得线光源的远场衍射图案远场衍射图案狭缝狭缝2）光学系统具有卷积功能。）光学系统具有卷积功能。I0( )d 透镜透镜

17、2ffff2002sin()/( )( )( ) ()()/iiiia xfI xIdIP xda xf22sin()/()()/iiia xfP xa xfx0= 处单位强度点光源对应的像强度分布处单位强度点光源对应的像强度分布像平面上的光强分布是物的光强分布与单位强度点光源对应像平面上的光强分布是物的光强分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。的像强度分布的卷积。像平面上总的光强分布像平面上总的光强分布卷积是关于卷积是关于x的函数，而的函数，而 只是中间的积分变量。只是中间的积分变量。 卷积的几何意义：置换变量卷积的几何意义：置换变量翻转翻转平移平移相乘相乘积分积分f(x)f()h()

18、h(-)h(x- )f()h(x- )置换变量置换变量h(x)相乘和积分相乘和积分( )( )( )( ) ()g xf xh xfh xd置换变量置换变量反转反转平移平移1) 展宽效应：卷积的效果往往是使原函数变胖展宽效应：卷积的效果往往是使原函数变胖 （光斑变大，（光斑变大，脉冲变宽）脉冲变宽）卷积后信号的非零区域大概为原来两个信号的非零区域之和。卷积后信号的非零区域大概为原来两个信号的非零区域之和。只要两函数非零区域存在重叠，卷积函数就不为零。只要两函数非零区域存在重叠，卷积函数就不为零。卷积的两个效应：卷积的两个效应：f()h(x- )x0h(x- )2)平滑效应：使原来剧烈变化的函数

19、变缓。例如快变函平滑效应：使原来剧烈变化的函数变缓。例如快变函数数f (x)与宽度为与宽度为a的矩形函数卷积的矩形函数卷积/2/2( )( )()( )x ax axg xfrectdfda原函数原函数f(x)在某点在某点x的值卷积后用某一段的值卷积后用某一段(x-a/2, x+a/2)的积分值来表示的积分值来表示, 等价于这段区间的平均值。等价于这段区间的平均值。 ( )( )( )( )f xh xh xf x交换律：( )( )( )( )( )( )( )aw xbv xh xaw xh xbv xh x分配律： ( )( )( )( ) ( )( )v xw xh xv xw xh

20、x结合律：卷积的运算性质卷积的运算性质可分离变量特性可分离变量特性: 如果参与卷积的两个函数是可分离的如果参与卷积的两个函数是可分离的, 其其二维卷积也是可分离的。（极坐标和直角坐标）二维卷积也是可分离的。（极坐标和直角坐标）分配律体现了卷积的线性特性。分配律体现了卷积的线性特性。000( )( )( )()( )( )()()f xh xg xf xxh xf xh xxg xx若， 那么参与卷积的任一函数在参与卷积的任一函数在x方向方向上平移上平移x0 0，其卷积的形状不，其卷积的形状不变，只是也在变，只是也在x方向上平移方向上平移x0 0卷积的位移不变性卷积的位移不变性000000000

21、00( )( )( )( )() ()()( )() ()()()()()()( )()()fxh xg xg xfh xdfxxh xfxh xxxdfxhxxxdxg xxfxh xxg xx证 明 ：同 理 ：卷积的坐标缩放性质：卷积的坐标缩放性质： ( )( )( )1()()()f xh xg xf axh axg axa设， 则两个卷积函数的自变量放大两个卷积函数的自变量放大a，其卷积结果等价于卷积值的压，其卷积结果等价于卷积值的压缩缩1/|1/|a| |。卷积函数的形状和位置均不变。卷积函数的形状和位置均不变。复函数卷积：利用卷积的交换律、分配律将实部和虚部分开复函数卷积：利用卷

22、积的交换律、分配律将实部和虚部分开进行。进行。注意：绝对值符号。注意：绝对值符号。1( )( )( )()()()f xh xg xf axh axg axa设， 则( )( )( )()()() ()0()()() ()/11()()0()()() ()/11()()1()()()f xh xg xf axh axf ah axadaf axh axf ah axad aag axg axaaaf axh axf ah axad aag axg axaaf axh axg axa 证明：， 则当时, 当时, 与与 函数的函数的卷积卷积000000( , )( , )0000( , )(,)(

23、 , ) (,)(,)( , )*(,)(,)k lk lf x yxx yyfxxyyd df xx yyg x yxx yygxx yy 而且1 1）任一函数与）任一函数与 函数卷积运算的结果只是将该函数在坐标函数卷积运算的结果只是将该函数在坐标上平移上平移x0, y0，函数值分布不变，曲线形状不变。，函数值分布不变，曲线形状不变。2 2）任一函数与任一函数与 函数的函数的（k, l）次微分的卷积是该函数经过次微分的卷积是该函数经过在坐标上平移在坐标上平移x0, y0后的微分。后的微分。0000000000()()00()()0000000( , )(,)( , ) (,)( , )(),

24、()lim( , )(),()(,) lim(),(x xy yx xy yf x yxxyyfxxyyd dfxxyyd dfxxyyd df xxyyxxy 证明2：0000()()0()()000000)(,)(,)(,)x xy yx xy yyd df xxyyxxyyd df xxyy 00000000( , )(,)( , ) (,)( , )(),()(,)()()f x yxxyyfxxyyd dfxxyyd df xxyy 函数为偶函数证明1：函数的筛选特性卷积的运算举例（习题课，留作业）卷积的运算举例（习题课，留作业）1( )( )( ),( )()2xfxx step

25、xh xrect 例1设，求它们的卷积首先画出它们的函数图。首先画出它们的函数图。11oxf(x)12oxh(x)h(- )o -211o f( )改写改写变量变量改写改写变量、变量、折叠折叠解：解：然后根据它们的相对位置不同，重叠情况不同划分讨论区域。然后根据它们的相对位置不同，重叠情况不同划分讨论区域。 x 0, 此时两函数没有重叠区，显然，卷积值为此时两函数没有重叠区，显然，卷积值为0；1) 0 x 1, 随着随着h(x)右移，它与右移，它与f(x)发生重叠，但发生重叠，但h(x)的右边缘的右边缘没有进入没有进入f(x) 函数在右边的零区。此时有函数在右边的零区。此时有20( )( )(

26、 )(1)2xxg xf xh xdxh(x- )x1o f( )1平移平移xx 01h(x- )o f( )10 x 1x注意：经位移注意：经位移x后。矩形函数的前、后沿坐标。后。矩形函数的前、后沿坐标。 3）1x 2, h(x)与与f(x)发生重叠，但发生重叠，但h(x)的左边缘没有进入的左边缘没有进入f(x) 函数在的非零区。在这段区域，两函数的重叠区面积是一常量，函数在的非零区。在这段区域，两函数的重叠区面积是一常量，与与x无关。无关。 4）2 x3, h(x)与与f(x)发生重叠，但发生重叠，但h(x)的左边缘已进入的左边缘已进入f(x) 函数在的非零区。此时有函数在的非零区。此时有

27、101( )( )( )(1)2g xf xh xd1h(x- )o f( )12x13, h(x)与与f(x)不发生重叠，不发生重叠，h(x)的左边缘已进入的左边缘已进入f(x) 函数函数右侧的零区，此时卷积为零。右侧的零区，此时卷积为零。1h(x- )o f( )1x-2x1h(x- )o f( )1x2200/ 2011/ 212( )(3)23203xxxxxg xxxx2 x311( )(),( )()22xxfxrecth xrect例 1 设求 它 们 的 卷 积 。解：首先画出它们的函数图解：首先画出它们的函数图, 并做变量变换，然后按照它们并做变量变换，然后按照它们的重叠情况

28、划分讨论区域。的重叠情况划分讨论区域。1o h( )21o f( )-2h(x- )xf( )1o -2f( )1o h(x- )-2xx -2折叠、平移折叠、平移x根据不同根据不同x决 定 计 算决 定 计 算表达式表达式f( )1o h(x- )-2x-2x 0f( )1o h(x- )2x00h(-x)f()x0h()f(x)x0h()( )( )( ) ()h x f xhf xd*不失一般性，设函数为不失一般性，设函数为实函数。实函数。卷积满足交卷积满足交换律！换律！f()h()f()h()f(x)h()0蓝蓝1红红2蓝蓝1红红1 蓝蓝2红红2 蓝蓝2红红1( )( )( ) ()f

29、 x h xfh xd*不失一般性，设函数为不失一般性，设函数为实函数。实函数。卷积满足交卷积满足交换律！换律！f()h()f()h(x-)0=0 0f()h(x-)f()h(x-)f()h(x-)1212蓝蓝1红红2蓝蓝1红红1 蓝蓝2红红2 蓝蓝2红红1互相关与卷积的比较：互相关与卷积的比较：1）互相关时有一函数要取复共轭，而卷积没有；）互相关时有一函数要取复共轭，而卷积没有；2）互相关图形不需要反转；）互相关图形不需要反转；3）两者在位移、相乘和积分这三个过程是一样的。）两者在位移、相乘和积分这三个过程是一样的。如果如果f (x)为实偶函数，那么互相关和卷积的结果相等。为实偶函数，那么互

30、相关和卷积的结果相等。这时函数折叠和共轭都不改变函数值。这时函数折叠和共轭都不改变函数值。( )( )( )( )f xh xf xh x*互相关的意义：互相关的意义：衡量两个函数间存在的关联程度，两信号关联衡量两个函数间存在的关联程度，两信号关联程度高互相关值就大。程度高互相关值就大。2 2 自相关自相关定义：定义：性质：性质：意义：意义：衡量同一函数不同点之间的相关程度。衡量同一函数不同点之间的相关程度。( )( )( )( ) ()() ( )eff xf xf xff xdfx fd( )( )( )()()()ffffexf xf xfxfxex应用：自相关测量应用：自相关测量自相关

31、的运算性质：自相关的运算性质：2 2、自相关函数的模在原点处有极大值。即、自相关函数的模在原点处有极大值。即( )( )( )(0)(0)(0)ffffexf xf xeff书本有误！书本有误！22( ) ( )( )( )g x h x dxg xdxh xdx取施瓦茨不等式证明：证明：1/ 22*1/ 222( )( )( )()( )()( )(0)fffxfxffx dfdfxdfde1 1、厄米特对称：、厄米特对称：若若f(x)为实函数，则自相关函数为偶函数。为实函数，则自相关函数为偶函数。( )( )( )()()ffexf xf xfxfx相关的运算举例相关的运算举例( )( )

32、, ( )( )f xrect x h xrect x例1 设，求它们的相关函数。解解1：1) 第一函数取共轭。这里是实函数，可以省略。第一函数取共轭。这里是实函数，可以省略。 2) 两函数变量变换：两函数变量变换：f (x) f ( ), h(x) h( ) 。 3) 第二函数平移：第二函数平移： h( ) h(x+ )。 4) 确定积分区域划分、积分。确定积分区域划分、积分。h(x+ )的中心在的中心在 = -x处处.f ( )h (x+ )-1/21/2 x- x f( ) 与与h(x+ )不重合，相关函数。不重合，相关函数。( )( )( )0g xf xh xf ( )h (x+ )

33、-1/21/2-x-x = -x-1 x 0， f( ) 与与h(x+ )部分重部分重合，相关函数合，相关函数1/21/2( )()1xg xrect xdx f ( )h (x+ )-1/21/2-x-x = -x0 x 1， f( ) 与与h(x+ )部分重部分重合，相关函数合，相关函数1/21/2( )()1xg xrect xdx 11122xx f ( )h (x+ )-1/21/2 x- x = -xf ( )h (x+ )-1/21/2-x-x = -x1 x ， f( ) 与与h(x+ )不重合，不重合，相关函数为相关函数为001110( )10101xxxg xxxx 与书本

34、不一致！与书本不一致！解解2：根据相关函数的定义，有根据相关函数的定义，有1/21/2( )( )()()g xrectrect xdrect xd01110( )10101xxxg xxxx rect(x+ )的非零值区域为的非零值区域为1/21/2,1/21/2xxx 即1/21/21/21/2/1/21/1/2/1/1/2/1( )()1/1/2/0( )()1xxxxxxxxg xrect xdxxxg xrect xdx 当12，即时，在-12 12积分区间，被积函数为始终为0。当12，即时，在-12 12积分区间，被积函数为始终为0。当-1212，即0时，当-1212，即-1时，1

35、1( )(), ( )()22( )xxf xrecth xrectg x例2 设，求它们的相关函数02111( )()()()222xxg xrectrectdrectdf ( )-20 h(x+ -1)/22-x-x = 1-x解：解：2-x4, f( ) 与与h(x+ )不重合不重合( )( )( )0g xf xh xf ( )-20 h (x+ -1)/22-x-x = 1-x-2 2-x0， 2 x4, f( ) 与与h(x+ )部分重合部分重合0( )xg xdxf ( )-20 h (x+ -1)/22-x-x = 1-x0 2-x2， 0 x2， x0,b0, 有11(,)(

36、,)(,),yyxxyxffffxyababffxyaaF F FFFabababFFXax YbY这里 2 ()2 ()2 ()2 ()2 ()(,)(,)1(,)1(,)1(, )xyxyffyxabffyxabxyif xf yif xf yiaxbyiaxbyiF XF Yf ax by edxdyf ax by edxdyf ax by ed ax d byabf ax by ed ax d byabf X Y ed X d Yab如果a0,b0, 有11(,)(,)yxffxyabF F FFabab同理可证同理可证a 0,b 0的情况的情况 2 ()2 ()2 ()2 ()2 (

37、,)(,)1(,)11(,)1(, )xyxyffyxabffyxabxif xf yif xf yiaxbyiaxbyiF Xf ax by edxdyf ax by edxdyf ax by ed ax d byabf ax by ed ax d byabf X Y eab如果a0,b0, 有 )11(,)(,)yyxF Yffxyabd X d YF F FFabab证毕证毕v3 3）位移定理）位移定理 A A 位移和时移：位移和时移： 即函数即函数f(x,y)在空域或时域平移，只引起其频谱的相位线性在空域或时域平移，只引起其频谱的相位线性平移，而不改变其振幅频谱。平移，而不改变其振幅频

38、谱。 B B 频移频移 即原函数在空域中的相移会引起其频谱函数在频域的平移。即原函数在空域中的相移会引起其频谱函数在频域的平移。),(2),(),(bfafiyxyxeffFbyaxf2 () ( , )(,)ixyxyf x y eF ff 注意：这里所谓的相移、位移都是与横向空间坐标相关的。注意：这里所谓的相移、位移都是与横向空间坐标相关的。 2 ()22222(,) ( , )( , )(,)(, )(, )xyxyxyxyxyxyif xf yifx a afy b bifXafYbif af bif Xf Yif af bF fx fyf x yf x y edxdyf xa yb

39、ed xa d ybf X Y edXdYef X Y edXdYe 证明：，(,),F fx fyXxa YYb这里2 (,) (,)(,)xyif a f bxyf xa ybF ffe试证：2 () ( , )(,)ixyxyf x y eF ff 证明：4 4）卷积定理）卷积定理),(),(),(),(),(),(),(),(yxyxyxyxffGffFyxgyxfffGffFyxgyxf通过傅立叶变换，可将空域（或频域）中的卷积运算，通过傅立叶变换，可将空域（或频域）中的卷积运算，对应为频域（或空域）中的乘积运算。避开了复杂的对应为频域（或空域）中的乘积运算。避开了复杂的卷积运算。卷

40、积运算。两个函数卷积的傅立叶变换等于两函数各自傅立叶两个函数卷积的傅立叶变换等于两函数各自傅立叶变换的乘积；而两个函数乘积的傅立叶变换等于此变换的乘积；而两个函数乘积的傅立叶变换等于此两函数各自傅立叶变换的卷积两函数各自傅立叶变换的卷积. . ( , )( , )(,) (,)xyxyf x yg x yF ffG ff证明：2222 ( , )( , )( , ) (,)( , ) (,)( , )( , )xyxyxyxyif x f yifxfyiffif Xf Yf x yg x yfg xyd dedxdyfg xyd dedxdyfeg X Y ed d 证明：22( , )( ,

41、 )( ,) ( ,)xyxyiffif Xf YxyxydXdYfed dg X Y edXdYF ff G ff 5 5）互相关定理）互相关定理v两函数的互相关函数和它们的互功率谱构成傅立叶变换对。两函数的互相关函数和它们的互功率谱构成傅立叶变换对。),(),(),(),(),(),(),(),(yxyxyxyxffGffFyxgyxfffGffFyxgyxff(x, y)与与g(x, y)的的互功率互功率谱谱有兴趣的同学可以自行证明有兴趣的同学可以自行证明6 6）自相关定理）自相关定理v信号的自相关函数与其功率谱之间存在傅立叶变换关系。信号的自相关函数与其功率谱之间存在傅立叶变换关系。)

42、,(),(),(),(),(),(22yxyxyxffFffFyxfffFyxfyxf互功率互功率谱谱7）转动转动定理定理 ( , )( ,), ( ,)( ,)f rFf rF 设则 原函数在空域中转动原函数在空域中转动 角，对应的谱函数在频域也转角，对应的谱函数在频域也转动了同样的动了同样的 角。（需知道结论）角。（需知道结论）8 8）能量守恒定理（岶色渥定理）能量守恒定理（岶色渥定理）22( , )(,)xyxyf x ydxdyF ffdf df广义岶色渥定理广义岶色渥定理*( , )( , )(,)(,)xyxyxyf x y gx y dxdyF ffGffdf df不要求证不要求

43、证明，但要明，但要掌握！掌握！9）积分定理积分定理即对函数连续进行变换和逆变换，又重新得到原函数（即对函数连续进行变换和逆变换，又重新得到原函数（可逆可逆）。10）多次变换定理多次变换定理 在函数在函数f(x,y)连续的各点上，有：连续的各点上，有：即对函数即对函数f(x,y)连续作两次傅立叶变换或逆变换，得其连续作两次傅立叶变换或逆变换，得其“镜像镜像”（傅立叶变换的（傅立叶变换的对称性）对称性）。光学模型为。光学模型为4f 成像系统成像系统),(),(),(11yxfyxfyxf),(),(),(11yxfyxfyxff f f f 像面像面谱面谱面物面物面透镜透镜透镜透镜11）微分性质微

44、分性质即空域的微分运算可被频域内乘以即空域的微分运算可被频域内乘以2 fi 代替。代替。12）积分性质积分性质 即函数的积分运算可通过傅立叶变换简化为除法运算。即函数的积分运算可通过傅立叶变换简化为除法运算。)(2)0()(21)(xxxxfFfFfidf)()(2)(2)(xxxxxfFdfdxffifFfixfdxd13）共轭变换定理共轭变换定理若若f(x,y)为非负实函数，有为非负实函数，有 *1*( , )(,)(,)( , )xyxyfx yFffFfffx y*(,)(,)xyxyF ffFff复函数的傅立叶变换复函数的傅立叶变换( ,)( , ) ,( , )( , )( , )

45、xyRiF fff x yf x yf x yif x y如果那么(,)( , )( , )xyRiF fffx yif x y 用到傅里叶变换用到傅里叶变换的什么特性？的什么特性？注意下列问题！注意下列问题！(,)Re(,)Im(,)xyxyxyF ffF ffiF ffRe(,)( , ) ?Im(,)( , ) ?xyRxyIF fffx yF fffx y 不一定不一定是实数是实数不一定是不一定是虚数虚数结论：结论：1 1）复函数的）复函数的傅立叶变换等于其实函数部分和虚函数部分的分傅立叶变换等于其实函数部分和虚函数部分的分别傅立叶变换之和。别傅立叶变换之和。2 2）如果）如果f(x,

46、 y)为实函数，其傅立叶变换的实部为偶函数，虚部为实函数，其傅立叶变换的实部为偶函数，虚部为奇函数。为奇函数。3 3）如果）如果f(x, y)为实奇函数，其傅立叶变换的实部为零。为实奇函数，其傅立叶变换的实部为零。常见函数的傅里叶变换对常见函数的傅里叶变换对原函数原函数谱函数谱函数原函数原函数谱函数谱函数1(fx, fy)rect(x) rect(y)sinc(fx) sinc(fy) (x, y)1(x) (y)sinc2(fx) sinc2(fy)(x-x0, y-y0)exp-i2 (fxx0+fyy0)comb(x) comb(y) comb(fx) comb(fy)exp-i2 (a

47、x+ by) (fx a, fyb)step(x)(fx)/2+1/(2ifx)cos(2fxx) (fx f0)+(fx+f0)/2exp-(x2+y2)exp-(fx2+fy2)sin(2fxx) (fx f0)- (fx+f0)/2i circ(x2+y2)0.5 (x x0)+ (x+x0) /2cos(2fxx0)sgn(x)sgn(y)i (x-x0)- (x+x0)/2sin( 2fxx0)expi(x2+y2)expi/2 exp-i(fx2+fy2)221222xyxyJffff11xyifif1.6 线性系统与线性空不变系统线性系统与线性空不变系统1 1 系统的算符表示系统

48、的算符表示v系统：系统：对给定的信号作出响应而给出另外的信号，对给定的信号作出响应而给出另外的信号，即对信号产生即对信号产生作用作用。v作用：作用：将其定义为将其定义为一种变换一种变换，把对系统的，把对系统的输入称为输入称为激励激励，而对此系统的，而对此系统的输出称为响应输出称为响应。系 统激励激励( (输入输入) )响应响应( (输出输出) ),(11yxf),(22yxg实际存在的系统有很多形式，我们这里只讨论具有实际存在的系统有很多形式，我们这里只讨论具有线性或同时具有平移不变性的系统。线性或同时具有平移不变性的系统。比较简单、常比较简单、常见的有应用价值。见的有应用价值。系统的作用系统

49、的作用就是完成物理或数学上的某种变换或运算。就是完成物理或数学上的某种变换或运算。算符算符 表示系统的作用，表示系统的作用，这个算符的性质，要针对这个算符的性质，要针对具体系统而定。具体系统而定。处理的处理的特点特点：简化信息处理。：简化信息处理。信息处理对系统的信息处理对系统的核心任务核心任务: 找出系统的响应函数。找出系统的响应函数。1 1）光学成像过程：）光学成像过程：“物物”光分布光分布线性变换线性变换“像像”光分布光分布v分析一个系统，就是要确定系统输入输出之间的对应关系；分析一个系统，就是要确定系统输入输出之间的对应关系；v描述系统输入输出之间关系就是把一个激励转化为系统的描述系统

50、输入输出之间关系就是把一个激励转化为系统的一个响应，这种转换可以用一个算子表示为：一个响应，这种转换可以用一个算子表示为： g(x)=f(x)v对于线性系统，则有：对于线性系统，则有： c1g1(x)+c2g2(x)=c1f1(x)+c2f2(x)2 2 线性系统的意义线性系统的意义( (不变形不变形) )2)2)线性系统的定义线性系统的定义112211221212( )( )( )( )( )( );( )( )( )( )f (x)gxf (x)gxfxgxfxgxfxfxgxgx假设一个激励作用于某系统产生的响应为；激励作用于某系统产生的响应为；用符号表示为：，那么系统满足可加性它的重要

51、性质就它的重要性质就是线性叠加性是线性叠加性由几个激励函数相加产生的总响应是各个激由几个激励函数相加产生的总响应是各个激励单独作用时产生的响应函数之和励单独作用时产生的响应函数之和含义：若把一个线性组合整体输入线性系统，则系含义：若把一个线性组合整体输入线性系统，则系统的总响应是单个响应的同样的线性组合；统的总响应是单个响应的同样的线性组合；也可以理解为：也可以理解为：系统对任意输入的响应能够用它对系统对任意输入的响应能够用它对此输入分解成的某些基元函数的响应表示出来。此输入分解成的某些基元函数的响应表示出来。1 1111( )( )c f xc g xc齐次性（均匀性）：，其中 为任意常数.

52、当系统未加激励当系统未加激励时它不产生任何时它不产生任何响应，保持比例响应，保持比例因子不变。因子不变。1 12 21 122( )( )( )( )c f xc f xcg xc g x综合上述两特性，线性系统的定义可表示为：假设系统的激励函数为假设系统的激励函数为11111()niif(x ,y )f x ,y相应的系统响应函数为相应的系统响应函数为22221()niig(x ,y )g x ,yai为常数，为常数， .为系统算符。那么对于线性系统有为系统算符。那么对于线性系统有2211221111inniiiiiig(x ,y )f (x ,y )a g (x ,y )a f (x ,y

53、 )以及问题：问题：根据系统的定义，傅立叶变换算符可看作系统的变换算符，根据系统的定义，傅立叶变换算符可看作系统的变换算符，那么它是线性系统吗？为什么？那么它是线性系统吗？为什么？对于连续的激励对于连续的激励( , )( , )( , )g x yagd dafd d 可以表示为积分形式：v处理线性系统常用方法：处理线性系统常用方法：3)3)线性系统的分析与综合：傅立叶分析线性系统的分析与综合：傅立叶分析一个复一个复杂输入杂输入分解分解多个简单多个简单“基基元元”输入输入计 算 每 个计 算 每 个“基元基元”输输入的响应入的响应总响应总响应叠加叠加傅立叶分析提供了一个进行信号分解的手段！傅立

54、叶分析提供了一个进行信号分解的手段！2()(,)( , )xyif xf yxyF fff x y edxdy基元函数基元函数权重因子权重因子基元函数的意义：基元函数的意义：代表了传播方向为：代表了传播方向为： cos fx，cos fy的单位振幅的平的单位振幅的平面波。面波。逆傅立叶变换的物理意义：逆傅立叶变换的物理意义：物函数物函数f(x,y)可看作是无数振可看作是无数振幅不同幅不同 (|F(fx,fy) |dfxdfy)方向不同方向不同（ cos fx，cos fy ）的平面波线性叠加的结果的平面波线性叠加的结果(傅立叶分解傅立叶分解)。yxyfxfiyxyxdfdfeffFffFyxf

55、yx)(21),(),(),(基元函数基元函数权重因子权重因子逆傅立叶变换提供了分解函数的一种手段。逆傅立叶变换提供了分解函数的一种手段。v线性系统的基本特点：线性系统的基本特点：它对同时作用的几个激励函数的它对同时作用的几个激励函数的响应等于每个激励函数单独作用时产生的响应之和。响应等于每个激励函数单独作用时产生的响应之和。v系统对任一输入函数的响应可用基元函数响应的线性组系统对任一输入函数的响应可用基元函数响应的线性组合来表示。合来表示。v基元函数基元函数: 指不能指不能再分解的基本函数单元再分解的基本函数单元,且它们的且它们的响应是响应是比较易于确定比较易于确定的。在光学系统中，常用的基

56、元函数有三种：的。在光学系统中，常用的基元函数有三种：函数、复指数函数、余弦函数函数、复指数函数、余弦函数v线性系统对某种线性系统对某种“基元基元”激励的响应。激励的响应。已知已知f(x1,y1)是系统的激励（输入），求系统对输入是系统的激励（输入），求系统对输入f(x1, y1)的响应的响应g(x2, y2)研究系统的主要任务是要知道它如何作用于输入信号。研究系统的主要任务是要知道它如何作用于输入信号。最原始的方法就是最原始的方法就是一点一点一点一点取样分析。求助于取样分析。求助于函数函数的筛选的筛选性质。性质。1111( ,)( , ) (,)f x yfxyd d 根据 函数的筛选性质：

57、系统输入函系统输入函数的分解式数的分解式f(x1, y1)看成以看成以函数为基元函数函数为基元函数以以f( , )为权重的组合。为权重的组合。系统的脉冲响应函数，系统的脉冲响应函数，也称点扩散函数也称点扩散函数2211112211222211(,) ( ,)( , ) (,)(,)( , ) (,)( , ) (, )(, ) (,)g x yf x yfxyd dg x yfxyd dfh xyd dh x yxy 则：；式中，；线性系统输线性系统输出函数的叠出函数的叠加积分加积分知道了系统的点扩散函数（脉冲响应函数）就知道系统知道了系统的点扩散函数（脉冲响应函数）就知道系统的传输特性。的传

58、输特性。1)1)线性空不变系统的定义线性空不变系统的定义101020200000 (,)(,)xxyyh xxyyxyxy 这里、只与、有关。3 3 线性空不变系统线性空不变系统一个一个线性线性系统，当激励函数仅在输入面上位移时，系统的系统，当激励函数仅在输入面上位移时，系统的响应函数始终具有相同的形式，仅造成响应函数在输出面响应函数始终具有相同的形式，仅造成响应函数在输出面上的位移。即上的位移。即 首先是线性系统，其对激励的作用具有线性叠加特性。首先是线性系统，其对激励的作用具有线性叠加特性。线性空不变系统对输入信号空间位置的平移所产生的唯一线性空不变系统对输入信号空间位置的平移所产生的唯一

59、效应是使输出信号的位置也产生成常数比例的平移效应是使输出信号的位置也产生成常数比例的平移, ,而系统而系统的脉冲响应函数不变。的脉冲响应函数不变。 系统对激励的作用与激励的空间坐标无关，系统对激励的作用与激励的空间坐标无关，只与空间坐标的相对量有关。只与空间坐标的相对量有关。1221111202011010(,)(,)(,)(,)gxyfxygxxyyfxxyy脉冲响应形式较简单：脉冲响应形式较简单：),(),;,(2222yxhyxh2)2)线性空不变系统的性质线性空不变系统的性质实际上存在像差的影响。实际上存在像差的影响。只依赖于位置差而与具体位置坐标无关。当点光源在物只依赖于位置差而与具

60、体位置坐标无关。当点光源在物场中移动时，像只改变位置而不改变形状（等晕性）场中移动时，像只改变位置而不改变形状（等晕性）.叠加积分式：叠加积分式：),(*),(),(),(),(22222222yxhyxfddyxhfyxg像可表示为物与系统脉冲响应在输出平面上的一个二维卷积。像可表示为物与系统脉冲响应在输出平面上的一个二维卷积。线性不变系统的传递函数是其脉冲传递函数的傅里叶变换。线性不变系统的传递函数是其脉冲传递函数的傅里叶变换。),(),(),(),(),(yxhffHffFffHffGyxyxyxyx其中傅立叶变换形式简单傅立叶变换形式简单系统传递函数，表示系统在频域对信号的传递能力。系