排列上课分解PPT课件

1、分类加法计数原理：分类加法计数原理： 完成一件事，有完成一件事，有n类不同方案，在第类不同方案，在第1类方案类方案中有中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类方案中有类方案中有m2种不同种不同的方法的方法 在第在第n类方案中有类方案中有mn种不同的方法种不同的方法.那那么完成这件事共有么完成这件事共有 种种不同的方法不同的方法.12nNmmm分步乘法计数原理：分步乘法计数原理： 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方法种不同的方法,做第做第2步有步有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法种不同的方法.那么完成这

2、件事共那么完成这件事共有有 种不同的方法种不同的方法.12nNmmm第1页/共50页上午下午相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？探究：探究：分析：题目转化为顺序排列问题分析：题目转化为顺序排列问题第2页/共50页把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题就可以叙述为： 从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb第3页/共50页问题2：从1，2，3，4这4个数中，

3、每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？1234443322444333111244431112224333111222 叙述为: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，3

4、41，342; 412，413，421，423，431，432。第4页/共50页问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名参加上午的活动,1名参加下午的活动,有哪些不同的排法? 实质是：实质是：从从3个不同的元素个不同的元素中中, ,任取任取2 2个个, ,按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列, ,有哪些不同的排有哪些不同的排法？法？ 问题2 从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？实质是：实质是：从从4个不同的元素个不同的元素中中, 任取任取3个个,按照一定的顺按照一定的顺序排成一列序排成一列,写出所有不同写出所有不同的

5、排法的排法.定义：一般地说定义：一般地说,从从n个不同的元素中个不同的元素中,任取任取m(mn)个元个元 素素,按照按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列,叫做从叫做从n个不同的元素个不同的元素 中取出中取出m个元素的个元素的一个排列一个排列. 第5页/共50页基本概念基本概念1、排列： 从n个不同元素中取出m (m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。说明：说明：1 1、元素不能重复。2 2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。

6、4 4、m mn n时的排列叫选排列，m mn n时的排列叫全排列。5 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用“树形图”。（有序性）（有序性）（互异性）（互异性）第6页/共50页练习1 下列问题是排列问题吗？（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？（从中归纳这几类问题的区别）

7、是排列不是排列是排列是排列不是排列是排列第7页/共50页练习3.写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列 解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共20个 若把这题改为：写出从5个元素a，b，c，d，e中任取3个元素的所有排列，结果如何呢？方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦”练习2.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果ABACADBABCBDCACBCDDADBDC 研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？接下来

8、我们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式 第8页/共50页2、排列数： 从n n个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中取出m m个元素的排列数。用符号 表示。mnA“排列”和“排列数”有什么区别和联系？排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；mn“排列数”是指从 个不同元素中，任取个元素的mnA所以符号只表示nm“一个排列”是指：从 个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素第9页/共50页233 26A 问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为 ,已经算得23A344 3 224A 问题2中是求从4个不同元

9、素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出34A探究：从n n个不同元素中取出2 2个元素的排列数 是多少？2nA呢？mnA呢？3nA 第1位第2位第3位第m位n种(n-1)种(n-2)种(n-m+1)种2(1)nAn n3(1)(2)nAn nn(1)(2)(1)mnAn nnnm第10页/共50页(1)(1)排列数公式（1 1）：(1)(2)(1)( ,*,)mnAn nnn mm nN mn当m mn n时，123) 2)(1(nnnAnn正整数1 1到n n的连乘积，叫做n n的阶乘，用 表示。! nn n个不同元素的全排列公式：!nnAn(2)(2)排列数公式（2 2）：!()!mnn

10、An m说明：1 1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当m mn n时上面的公式也成立，规定：1! 0 2 2、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。nm第11页/共50页 (1) (2)(1)mnn nnnmA排列数公式：排列数公式：mnn! (m n,m,n N)(n m)!A)Nnm,n,(m 常用于计算含有数字的常用于计算含有数字的排列数的值排列数的值常用于对含有字母的排列数常用于对含有字母的排列数的式子进行变形和论证的式子进行变形和论证10 ！规定：规定：第12页/共50页小结：小结：【排列排列】从从n个不同元素中选出个不同元素中选出m(mn)个元素个

11、元素,并按一定并按一定的顺序排成一列的顺序排成一列.【关键点关键点】1、互异互异性性(被选、所选被选、所选元素互不相同元素互不相同) 2、有序有序性性(所选元素有所选元素有先后位置等顺序先后位置等顺序之分之分)【排列数排列数】所有排列总数所有排列总数121mnAn nnnm ()().()mnn!A=(n-m)!第13页/共50页例例1 1 计算：计算：316(1)A 3360141516 =6！=654321=72066(2)A例题与练习! 57!7! 8)3( 22! (1)!(4)mmmmA42221mm第14页/共50页变式练习：117 165 4,mnnm 、如果A则2290,nn、

12、如果A则1714n(n-1)=90103.由乘积式写出排列数的符号 (m-2)(m-3).(m-k+3)42kmA第15页/共50页例例2.2.解方程解方程: :4321(1)140nnAA189(2)34mmAA（1）n=3 (2)m=6第16页/共50页例3 3 求证下列各式：11(1)(2)mmnnmkm knnn kAn AAAA 你能用学过的方法，举一实际的例子说明（1 1）、（2 2）吗？)(nmk2325453445)2( ;5) 1 (AAAAA例如：第17页/共50页变式练习：变式练习：求证：1!22!+33!+nn!=(n+1)!- 1分析：nn!=(n+1)!-n!( 2

13、! -1! ) +( 3! -2! ) +( 4! -3! ) + ( n+1) ! -n! ) 证明：nn!=(n+1)!-n!左边=( n+1) ! -1!注意阶乘的几种变形11n-=n! (n+1)! (n+1)!n!+n n!=(n+1)!第18页/共50页小结:1.排列的定义;(不同元素)2.排列数公式;3.几种阶乘变形.mnA =n(n-1)(n-2).(n-m+1)mnn!A =(n-m)!11n-=n! (n+1)! (n+1)!n!+n n!=(n+1)!第19页/共50页排列应用题排列应用题第20页/共50页【概念复习】：1排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；从n个

14、不同元素中，任取m(mn)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列一个排列.2排列数的定义，排列数的计算公式 ) 1() 2)(1(mnnnnAmn)!(!mnnAmn第21页/共50页例1.1. 某段铁路上有1212个车站，共需要准备多少种普通客票？21212 11132 ()A种一、无限制条件的排列问题第22页/共50页例2 2、某年全国足球甲级(A(A组) )联赛共有1414队参加, ,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1 1次, ,共进行多少场比赛? ?21414 13182()A场第23页/共50页1.1.从5 5种

15、不同的蔬菜种子中选3 3种分别种在3 3块不同土质的土地上，共有多少种不同的种法？分析：把5 5个种子分别标上1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,用123123表示种子1 1种在第1 1块土地上，种子2 2种在第2 2块土地上，种子3 3种在第3 3块土地上，因此3 3个数的一个排列就是一种种植方法，从5 5个不同数中取出3 3个数的一个排列就是一种种植方法，多少个排列就有多少种种法。变式练习变式练习第24页/共50页2.2.公共汽车上有4 4位乘客，其中任何两个人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6 6个站，那么这4 4位乘客不同的下车方法有多少种？分析：个车站分别标上1,2,3,4,5,

16、6,1,2,3,4,5,6,如12461246表示第一位乘客在1 1号站下，第二位乘客在2 2号站下，第三位乘客在4 4号站下，第四位乘客在6 6号车站下，不同的排列表示不同的下法，有多少个不同的排列就有多少种不同的下法，共有A A4 46 6=6=6543=360543=360第25页/共50页3 3、有5 5名男生，4 4名女生排队。（1 1）从中选出3 3人排成一排，有多少种排法？（2 2）全部排成一排，有有多少种排法？（3 3）排成两排，前排4 4人，后排5 5人，有多少种排法？39A99A459959AAA第26页/共50页例例3 3 某信号共用红、黄、蓝3 3面旗从上到下挂在竖直的

17、旗杆上表示，每次可以任挂1 1面、2 2面或3 3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？变式：变式：将题中的将题中的“3 3面旗面旗”改为改为“3 3色旗色旗”，结论如何？结论如何？12333315AAA2333338第27页/共50页课堂练习：课堂练习：1、20位同学互通一封信，那么通信次数是多少？2、由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的正整数？3、5个班，有5名语文老师、5名数学老师、5名英语老师，每个班上配一名语文老师、一名数学老师和一名英语老师，问有多少种不同的搭配方法？220380()A次1234566666661956()AAAAAA个

18、5555551728000AAA第28页/共50页例例4 4、 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析1：由于百位上的数字不能为0，只能从1到9这9个数字中任选一个，有 种选法，再排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有 种选法，根据分步计数原理，所求三位数的个数是：19A29A1299648AA分析2：所求的三位数可分为：不含数字0的，有 个；含有数字0的，有 个，根据分类计数原理，所求三位数的个数是：39A292A32992648AA分析3：从0到9这十个数字中取3个的排列数为 ，其中以0为百位数字的排列数为 ，故所求三位数的个数是：310A29A32

19、109648AA(特殊位置预置法特殊位置预置法)(特殊元素预置法特殊元素预置法)(排除法排除法)二、有限制条件的排列问题二、有限制条件的排列问题第29页/共50页小 结一：对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）。第30页/共50页变：1、用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的且能被5整除的三位数？211988AAA2、用1到9这九个数字，可以组成多少个没有重复数字的且能被3整除的三位数？3333333180AA第31页/共50页例例5 5 5个人站成一排共有多少种排法？ 其中甲必须站在中间，有多少种

20、不同的排法？ 其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？ 其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？ 其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？55120A 4424A 242448AA323472AA52452472AAA或第32页/共50页小结二：对于相邻问题，常用 “ 捆 绑 法 ” （ 先 捆 后松）小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素考虑）第33页/共50页例例5 5 5个人站成一排其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？解： 甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选2人来站，有 种排法，

21、剩下的人有 种排法，共有 种排法.23A33A233336AA(特殊位置预置法特殊位置预置法)(特殊元素预置法特殊元素预置法)233336AA(排除法排除法)511323523323236AA A AA A第34页/共50页例例5 5 5个人站成一排其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？解： 甲站排头有 种排法，乙站排尾有 种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有 种排法，所以共有 种排法.44A44A33A543543278AAA用直接法，如何分类？用直接法，如何分类？一类：甲站排尾二类：甲站中间44A113333AAA所以共有 种排法.4113433378AAA

22、A第35页/共50页(7)(7)、甲与乙中间必须排2名，有几种排法？222232AAA例5 5个人站成一排第36页/共50页例6 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？顺序固定问题用“除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有 种。 747733AAA分析：先在7个位置上作全排列，有 种排法。其中3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故 只对应一种排法，33A77A第37页/共50页本题也可以这样考虑：对应于先将没有限制条件的其他元

23、素进行排列，有 种方法；47A再将有限制条件（顺序要求）的元素进行排列，只有一种方法；故，总的排列方法数为：47840()A 种第38页/共50页七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。（1）若其中的）若其中的A小孩必须站在小孩必须站在B小孩的左边，有小孩的左边，有多少种不同的排法？多少种不同的排法？解1：A在B左边的一种排法必对应着A在B右边的一种排法，所以在全排列中， A在B左边与A在B右边的排法数相等，因此有：25207721 A排法。（种）变式练习252057

24、 A解法2第39页/共50页 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。念。2)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有： （种）。7203355 AA55A33A第40页/共50页 变式： 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。（3）若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一

25、起，有多少种不同的排法？不同的排法有：288443322 AAA（种）第41页/共50页七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 （4）若三个女孩互不相邻，有多少种不同的）若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？排法？解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有空档中有 种方法，所以共有：种方法，所以共有： （种）（种）排法。排法。

26、35A44A14403544 AA第42页/共50页变式、变式、七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 （5）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？邻，有多少种不同的排法？不同的排法共有：1443344 AA（种）相间问题第43页/共50页七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成是女孩，现将这七个小孩站成两排两排照相留念。照相留念。（

27、6）若前排站三人，后排站四人，其中的）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B两两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？解：解：A，B两小孩的站法有：两小孩的站法有： （种），其余人的站法（种），其余人的站法有有 （种），所以共有（种），所以共有 （种）（种） 排法。排法。222A55A48025522 AA第44页/共50页解：连续命中的3 3枪和命中的另一枪被未命中的4 4枪所隔开 ，如图表示没有命中，_ _ _ _ _ _命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有A A2 25 5=54=20=54=20种排法2.2.某人

28、射击8 8枪，命中4 4枪，4 4枪命中恰好3 3枪连在一起的不同种数有多少？第45页/共50页课堂练习：课堂练习：1、4个学生和3个老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须排在一起的不同排法种数是（ ） A . B . C . D .77A3344AA223322AAA333324AAA2、停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法有 种.3、用0、1、2、3、4、5六个数字，可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？4、在7名运动员中选出4名组成接力队，参加4100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？D55A法一：113444384()A A A 个法二：1441355544384()A AAA A个411322522525400()AA A AA A种第46页/共50页拓展性练习：拓展性练习：1、把15个人分成前后三排，每排5人，不同的排法数为（ ）2355510515AAAAD1515AC3355510515AAAAB510515AAA2、计划展出10