棱柱棱锥直观图及欧拉公式的介绍

1、 多面体多面体： 由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。食盐食盐明矾明矾石膏石膏多面体正多面体正多面体 定义：每个面都是有相同边数的正多边定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做体，叫做正多面体正多面体 正多面体有且仅有五种：正多面体有且仅有五种：正四面体正四面体、正六面体正六面体、正八面体正八面体、正十二面体正十二面体、正二正二十面体十面体 问题问题1.1.图中有图中有5 5个多面体个多面体, ,分别数出它分别数出它们的顶点数们的顶点数V,V,面数面数F F和棱数和棱数

2、E,E,并填表并填表: :12345图形编号图形编号顶点数顶点数V面数面数F棱数棱数E123454468612681298159916规律规律:V+F-E=2问题问题2.2.图中有三个多面体，分别数图中有三个多面体，分别数出它们的顶点数出它们的顶点数V V、面数、面数F F和棱数和棱数E,E,并填表。并填表。 13图形编号图形编号顶点数顶点数V面数面数F棱数棱数E1 235 5 8这些图形符合前面找出的规律这些图形符合前面找出的规律V+F-E=2吗吗?12 12 247 8 122比较问题比较问题1 1和问题和问题2 2中的图形，如果这些中的图形，如果这些多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的，多面

3、体的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它们的内部充气那么其中哪并且可以向它们的内部充气那么其中哪些多面体能够连续（不破裂）变形，最些多面体能够连续（不破裂）变形，最后其表面可变为一个球面？后其表面可变为一个球面？像以上那样的连续变形中，表面能变为一个球像以上那样的连续变形中，表面能变为一个球面的多面体面的多面体, ,叫叫简单多面体简单多面体. 猜想猜想 简单多面体的顶点数简单多面体的顶点数V V，面数，面数F F的和与棱数的和与棱数E E之间存在之间存在的规律？的规律？ V+F-E=2例例1：若一凸三十二若一凸三十二面体的面体的頂頂点点数数是是60，求它的棱，求它的棱数数。 解： V=60,

4、 F=32 代入 V+F-E=2，得： E = V+F-2 = 60+32-2 = 90 該多面体的棱数是90。例例2. 一个简单多面体的各个面都是三角一个简单多面体的各个面都是三角形形,证明它的顶点数证明它的顶点数V和面数和面数F有有F=2V-4的关系的关系.分析分析:每个面都是三角形每个面都是三角形,有三条边有三条边,则则F个面共有个面共有3F条边条边,又每条边是两相邻又每条边是两相邻面的公共边面的公共边,即每两条边合为一条棱即每两条边合为一条棱,所以所以E=23F,代入即得代入即得.小结小结:简单多面体简单多面体V,F,E之间关系为之间关系为:(1)E=V+F-2(2)E=各面多边形边数

5、之和的一各面多边形边数之和的一半半(3)E=顶点数顶点数V与共顶点的棱数之积与共顶点的棱数之积的一半的一半 欧拉，瑞士数学家。欧拉，瑞士数学家。1313岁就成为巴塞尔大学的学岁就成为巴塞尔大学的学生，生，1717岁成为巴塞尔有史以来的第一个年轻的硕岁成为巴塞尔有史以来的第一个年轻的硕士。欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行士。欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行数学研究的道路。数学研究的道路。17261726年，年，1919岁的欧拉由于撰写岁的欧拉由于撰写了了论桅杆配置的船舶问题论桅杆配置的船舶问题而荣获巴黎科学院而荣获巴黎科学院的资金。的资金。 欧拉的成才还有另一个重要的因素，就是他那惊

6、欧拉的成才还有另一个重要的因素，就是他那惊人的记忆力！他能背诵前一百个质数的前十次幂，人的记忆力！他能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵罗马诗人维吉尔（能背诵罗马诗人维吉尔（VirgilVirgil）的史诗）的史诗AeneilAeneil，能背诵全部的数学公式。直至晚年，他还能复述能背诵全部的数学公式。直至晚年，他还能复述年轻时的笔记的全部内容。高等数学的计算他可年轻时的笔记的全部内容。高等数学的计算他可以用心算来完成。以用心算来完成。 欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先发现了对数是无穷多值的。他证明了任一非零实发现了对数是无穷多值的。他证明了

7、任一非零实数有无穷多个对数。数有无穷多个对数。 欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，使三角学跳出只研究值来给出三角函数的定义，使三角学跳出只研究三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性的研究，从最初几个公式解析地推导出了全部三的研究，从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式，还获得了许多新的公式。角公式，还获得了许多新的公式。 欧拉用欧拉用a a 、b b 、c c 表示三角形的三条边，用、表示三角形的三条边，用、表示第个边所对的角，从而使叙述大大地、表示第个边所对的角，从而使叙

8、述大大地简化。欧拉得到的著名的公式又把三角函数与指简化。欧拉得到的著名的公式又把三角函数与指数函联结起来。数函联结起来。 在普及教育和科研中，欧拉意识到符号的简化和在普及教育和科研中，欧拉意识到符号的简化和规则化既有有助于学生的学习，又有助于数学的规则化既有有助于学生的学习，又有助于数学的发展，所以欧拉创立了许多新的符号。如用发展，所以欧拉创立了许多新的符号。如用sin sin 、coscos 等表示三角函数，用等表示三角函数，用 e e 表示自然对数的底，表示自然对数的底，用用f(xf(x) ) 表示函数，用表示函数，用 表示求和，用表示求和，用 i i表示虚表示虚数等。圆周率数等。圆周率虽

9、然不是欧拉首创，但却是经过虽然不是欧拉首创，但却是经过欧拉的倡导才得以广泛流行。而且，欧拉还把欧拉的倡导才得以广泛流行。而且，欧拉还把e e 、 、i i 统一在一个令人叫绝的关系式中。统一在一个令人叫绝的关系式中。 欧拉欧拉在研究级数时引入欧拉常数，在研究级数时引入欧拉常数， 这是继这是继 、e e 之后的又一个重要的数。之后的又一个重要的数。 欧拉不但重视教育，而且重视人才。当时欧拉不但重视教育，而且重视人才。当时法国的拉格朗日只有法国的拉格朗日只有1919岁，而欧拉已岁，而欧拉已4848岁。岁。拉格朗日与欧拉通信讨论拉格朗日与欧拉通信讨论 等周问题等周问题 ，欧，欧拉也在研究这个问题。后

10、来拉格朗日获得拉也在研究这个问题。后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己的论文，让拉格朗成果，欧拉就压下自己的论文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名。日首先发表，使他一举成名。 17351735年，欧拉着手解决一个天文学难题年，欧拉着手解决一个天文学难题计算计算慧星的轨迹（这个问题需经几个著名的数学家几慧星的轨迹（这个问题需经几个著名的数学家几个月的努力才能完成）。由于欧拉使用了自己发个月的努力才能完成）。由于欧拉使用了自己发明的新方法，只用了三天的时间。但三天持续不明的新方法，只用了三天的时间。但三天持续不断的劳累也使欧拉积劳成疾，疾病使年仅断的劳累也使欧拉积劳成疾，疾病使年仅2828岁的岁的

11、欧拉右眼失明。但他仍然醉心于科学事业，忘我欧拉右眼失明。但他仍然醉心于科学事业，忘我地工作。地工作。 晚年欧拉的左眼又失明了，但他用口授、别人记晚年欧拉的左眼又失明了，但他用口授、别人记录的方法坚持写作。他撰写了录的方法坚持写作。他撰写了微积分原理微积分原理，17681768年，年，积分学原理积分学原理第一卷在圣彼得堡出版。第一卷在圣彼得堡出版。17701770年第三卷出版。同年，他又口述写成年第三卷出版。同年，他又口述写成代数代数学完整引论学完整引论，有俄文、德文、法文版，成为欧，有俄文、德文、法文版，成为欧洲几代人的教科书。洲几代人的教科书。 17711771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉

12、的住宅，年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来。一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来。可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。大火可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。大火以后他立即投入到新的创作之中。他完全凭着坚以后他立即投入到新的创作之中。他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。欧强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。欧拉的记忆力也确实罕见，他能够完整地背诵出几拉的记忆力也确实罕见，他能够完整地背诵出几十年前的笔记内容，然后口授，由他的长子记录。十年前的笔记内容，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文多篇以及多部他用这种方

13、法又发表了论文多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上。专著，这几乎占他全部著作的半数以上。 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从从1919岁开始发表论文，直到岁开始发表论文，直到7676岁，他那不倦的一岁，他那不倦的一生，共写下了生，共写下了886886本书籍和论文，其中在世时发表本书籍和论文，其中在世时发表了了700700多篇论文。多篇论文。甚至在他死后，甚至在他死后，彼得堡科学院为彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了了整理他的著作，整整用了4747年。年。就科研成果方就科研成果方面来说，欧拉是数学史上或者说是自然科学史上面来说，欧

14、拉是数学史上或者说是自然科学史上首屈一指的。首屈一指的。 欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！欧拉写的数学教材在当时一直被当作都有研究！欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。标准教程。 有的历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列有的历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家，依据是他们为有史以来贡献最大的四位数学家，依据是他们都在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具都在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、

15、物理和力学等方面的实际问题，去解决大量天文、物理和力学等方面的实际问题，他们的工作是跨学科的，他们不断地从实践中吸他们的工作是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而是把宇宙看作是一个有机的整体，力图揭示它而是把宇宙看作是一个有机的整体，力图揭示它的奥秘和内在规律。的奥秘和内在规律。 由于欧拉出色的工作，后世的著名数学家都极度由于欧拉出色的工作，后世的著名数学家都极度推崇欧拉。大数学家拉普拉斯说过：推崇欧拉。大数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，读读欧拉，这是我们一切人的老师。这是我们一切人的老师。”被誉为数学王子的高被誉

16、为数学王子的高斯也说过：斯也说过： 对于欧拉工作的研究，将仍旧是对于对于欧拉工作的研究，将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校，并且没有别的可数学的不同范围的最好的学校，并且没有别的可以替代它以替代它 。 例例3、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数及顶的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数及顶点数点数.分析分析:关健是寻找关健是寻找V,F.E关系关系.事实上事实上:设面数为设面数为F,顶点数顶点数为为V,棱数为棱数为E,因为每个面都是五边形因为每个面都是五边形,所以共有所以共有5F条边条边,而每两条边

17、合成一条棱而每两条边合成一条棱,共有共有25F条棱条棱,所以有所以有E=25F另一方面另一方面:每一顶点处有三条边每一顶点处有三条边,共有共有3V条边条边,每两每两条边合成一条棱条边合成一条棱,所以所以E=3532,23FEVV所以代入可求代入可求V=20,F=12,E=30. 解：解：假设一个简单多面体的棱数假设一个简单多面体的棱数E=7， 根据欧拉公式根据欧拉公式V+F-E=2，得，得V+F=7+2=9. 因为多面体的顶点数因为多面体的顶点数V4，面数，面数F4， 所以只有两种情况：所以只有两种情况：V=4，F=5，或，或V=5，F=4. 但是，有但是，有4个顶点的多面体只有四面体，个顶点

18、的多面体只有四面体， 而四面体也只有而四面体也只有4个面，个面， 实际中上述的两种情况都不存在，实际中上述的两种情况都不存在， 因此没有棱数是因此没有棱数是7的简单多面体。的简单多面体。2）有没有棱数是）有没有棱数是7的简单多面体的简单多面体？说明理由说明理由3）为什么只有）为什么只有5种正多面体？种正多面体？(阅读材料阅读材料) 正多面体有且仅有五种：正四面体、正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体十面体 以上以上5 5种正多面体的展开图种正多面体的展开图: : 1 1） 19961996年的诺贝尔化学奖授予对发现年的诺贝尔化学奖授予对发现 有有重大贡献的三位科学家。重大贡献的三位科学家。 是由是由6060个个C C原子组原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。这个成的分子，它结构为简单多面体形状。这个多面体有多面体有6060个顶点，从每个顶点都引出个顶点，从每个顶点都引出3 3条棱，条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种。计算各面的形状分为五边形或六边形两种。计算 分子中形状为五边形和六边形的面各有多少分子中形状为五边