高等代数课件第2章矩阵和向量2.3矩阵的秩

1、. , 数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵nmA ., 12阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵阶行列式，阶行列式，的的中所处的位置次序而得中所处的位置次序而得变它们在变它们在不改不改元素元素处的个处的个），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩阵矩阵在在定义定义kAkAknkmkkkAnm 矩阵的秩矩阵的秩. )(0102等于零等于零并规定零矩阵的秩并规定零矩阵的秩的秩，记作的秩，记作称为矩阵称为矩阵的最高阶非零子式，数的最高阶非零子

2、式，数称为矩阵称为矩阵，那末，那末于于）全等）全等阶子式（如果存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有式式阶子阶子的的中有一个不等于中有一个不等于设在矩阵设在矩阵定义定义ARArADrDkA .)( 子式的最高阶数子式的最高阶数中不等于零的中不等于零的是是的秩的秩矩阵矩阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显有显有. 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 例例1.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR例例2.0000034000521302301

3、2的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一个行阶梯形矩阵，是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR例例3 3，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR做初等变换，做初等变换，对矩阵对矩阵 510231202231A另解另解,000031202231510231202231 显然，非零行的行数为显然，

4、非零行的行数为2， . 2 AR此方法简单！此方法简单！., 梯形梯形等行变换把他变为行阶等行变换把他变为行阶总可经过有限次初总可经过有限次初因为对于任何矩阵因为对于任何矩阵nmA 问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？ . ,1 BRARBA 则则若若定理定理证证).()( BRARBA 则则，经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为先证明：若先证明：若. 0 )( rDrArAR阶子式阶子式的某个的某个，且，且设设时，时，或或当当BABAkrrriji 时，分三种情况讨论：时，分三种情况讨论：当当BAjikrr ,.rrDDB相对应的子式相对应的子式中总能找到与中总能找到

5、与在在, rrrrrrkDDDDDD 或或或或由于由于.)(0 rBRDr ，从而，从而因此因此行；行；行但不含第行但不含第中含第中含第）（行；行；行和第行和第中同时含第中同时含第）（行；行；中不含第中不含第）（jiDjiDiDrrr321.)(, 0)2(),1( rBRDDDBrrr 故故子式子式对应的对应的中与中与两种情形，显然两种情形，显然对对，对情形对情形)3(,rrjijirDkDrkrkrrD , 0 rD若若,非零子式非零子式阶阶行的行的中有不含第中有不含第行知行知中不含第中不含第因因riAiDr.)(rBR , 0 rD若若).()( BRARBA ，则，则经一次初等行变换变

6、为经一次初等行变换变为若若 ,AB为为也可经一次初等变换变也可经一次初等变换变又由于又由于.)(, 0rBRDDrr 也有也有则则).()(BRAR 因此因此).()(ARBR 故也有故也有 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变 ).()(,BRARBA 也有也有经初等列变换变为经初等列变换变为设设,BA经初等列变换变为经初等列变换变为设设).()(),(, BRARBABA 则则即即经有限次初等变换变为经有限次初等变换变为若若综上综上,TTBA 经初等行变换变为经初等行变换变为则则),()(

7、TTBRAR ),()(),()(TTBRBRARAR 且且).()(BRAR 证毕证毕初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式秩，并求秩，并求的的求矩阵求矩阵设设AAA,41461351021632305023 阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行作初等行变换，变成行对对A解解 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 41

8、461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr . 的一个最高阶子式的一个最高阶子式求求 A , 3)( AR . 3阶阶的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为知知A阶子式共有阶子式共有的的 3A . 403534个个 CC

9、阶梯形矩阵为阶梯形矩阵为的行的行则矩阵则矩阵记记),(),(42154321aaaBaaaaaA 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，考察考察A 000400140161, 3)( BR的前三行构成的子式的前三行构成的子式计算计算B .3阶非零子式阶非零子式中必有中必有故故 B.4 个个且共有且共有623502523 1106502523 116522 . 016 则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.A，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR .,EAEA的的标标准准形形为为单单位位阵阵故故.为为满满秩秩矩

10、矩阵阵，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵例例5 5 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),( bABB 的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为设设分析：分析：的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则则AA).()(),(BRARbAB及及中可同时看出中可同时看出故从故从 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR(2)(2)初等变换法初等变换法1. 矩阵秩的概念矩阵秩的概念2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最