高等数学4-1不定积分概念及性质

1、第四章第四章微分法微分法: :积分法积分法: :互逆运算互逆运算不定积分不定积分 ( )( ? )Fx ( ? )( )f x 二、二、 基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为一个质量为 m 的质点的质点,因此问题转化为因此问题转化为:根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律, 加速度加速度作用下沿直线运动作用下沿直线运动 ,在变力在变力sinFAt 的的试求质点的运动速度试求质点的运动速度( ).

2、v tsinAtm ( )Fa tm 已知已知( )sin ,Av ttm 求求( )?v t 满足满足在区间在区间 I 上的一个原函数上的一个原函数.则称则称 F (x) 为为f (x) 如引例中如引例中, sinAtm的原函数有的原函数有 cos ,Atm cos3,Atm定义定义 1 ： ( )( )Fxf x d ( )( )d ,F xf xx 或或 若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F (x) 及及 ( )f x ， sincosxx sin cosxx是是的一个原函数的一个原函数. 1ln(0)xxx 1ln xx是是在区间在区间 内的原函数内的原函数.(0

3、,)问题问题: 1. 在什么条件下在什么条件下, 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在若原函数存在, 它如何表示它如何表示 ?(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数 在在 I 上存在原函数上存在原函数. .( )f x那那么么 定理定理1. 如果函数如果函数 在区间在区间I上连续，上连续，( )f x关于原函数的说明：关于原函数的说明：证证(1) 若若 ，则对于任意常数则对于任意常数 ( )( )Fxf x ,C都是都是 的原函数，的原函数，( )F xC ( )f x若若 有原函数

4、，则有原函数，则 有无穷多个原函数有无穷多个原函数 ( )f x(2) 若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，( )F x( )G x( )f x则则（ 为任意常数）为任意常数）C( )( )F xG xC ( )( )( )( )F xG xFxG x ( )( )0f xf x( )( )F xG xC（ 为任意常数为任意常数）C定义定义 2. 其中其中 积分号积分号; 被积函数被积函数; 被积表达式被积表达式. 积分变量积分变量;则则C 称称为为积分常数积分常数, 不可丢不可丢 !任意性任意性在区间在区间 I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为上的不定积分上的不定积分,( )f x

5、( )f xI在在记作记作( )d,f xx ( )f xx( )df xx若若( )( ) ,Fxf x ( )d( )f xxF xC d( )( )F xF xC ( )d( )FxxF xC d ( )d( )df xxf xx d( )d( )df xxf xx 或或或或不定积分的几何意义不定积分的几何意义:yxO0 x的原函数的图形称为的原函数的图形称为的的积分曲线积分曲线 . ( )f x( )f x的图形：的图形：( )df xx 所有积分曲线组成的平行曲线族所有积分曲线组成的平行曲线族.解解解解例例1. 求求5.x dx 65 ,6xx 65 .6xx dxC 例例2. 求求

6、21d .1xx 21arctan,1xx 21arctan.1dxxCx 解解: 所求曲线过点所求曲线过点 (1, 2) , 故有故有yx)2 , 1 (O且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程.例例3. 设曲线通过点设曲线通过点(1, 2), 221C1C因此所求曲线为因此所求曲线为21yx2yx 2 dyx x 2xC(1) (1)dk x kxC (2)dxx 111xC 利利 用用 逆逆 向向 思思 维维(5)cos dx x sinxC (3)e dxx exC (4)dxax lnxaCa 二、二、

7、 基本积分表基本积分表 (P188)( k 为常数为常数)2secdx x tan xC 2cscdx x cot xCsec xC csc xC2d(7)cosxx 2d(8)sinxx (9)sectan dxx x (10)csccot dxx x (6)sin dx x cosxCd(13)xx ln xC 当当 时，时，0 x (ln)ln()xx1x 注意：注意：或或arcsin xC arccos xC2d(12)1xx 或或2d(11)1xx arctan xC arccot xC例例4. 求求3d.xxx 431 解解:解解:原式原式 =43dxx 431x C 133xC

8、例例5. 求求sincosd .22xxx 原式原式=sin12dx x co12sxC 三、不定积分的性质三、不定积分的性质1.( )dk f xx ( )dk f xx (0)k 2. ( )( )df xg xx ( )d( )df xxg xx1( )d( )dniiif xxkf xx 推论推论: 1( )( ) ,niiif xk f x 若若则则例例6. 求求解解:说明：说明：本例中，被积函数需要首先进行恒等变形，本例中，被积函数需要首先进行恒等变形，2 (e5)d .xxx 原式原式 (2e)5 2 dxxx (2e)ln(2e)x 25ln2x C e52ln21ln2xxC

9、 然后才能使用基本积分表然后才能使用基本积分表. .解解:解解: 原式原式 =2tand .x x 例例7. 求求2(sec1)dxx 2secddx xxtan xxC例例8. 求求221d .(1)xxxxx 22(1)d(1)xxxxx 21d1xx 1dxx arctan x ln xC原式原式 =例例9. 求求解解:42d .1xxx 原式原式 =42(1)1d1xxx 222(1)(1)1d1xxxx 31arctan3xxxC22d(1)d1xxxx 求积分求积分2cot.xdx 解解:22cot(csc1)xdxxdx2csc xdxdxcot xxC 求积分求积分2cot.x

10、dx 解解:22cot(csc1)xdxxdx2csc xdxdxcot xxC 求积分求积分22cos2.cossinxdxxx 解解:222222cos2cossincossincossinxxxdxdxxxxx 2211()sincosdxxx cottanxxC 22(cscsec)xx dx 例例 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx2cos21 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表. xdx2sec21解解2dsecsin

11、 ,dyxxx2(secsin )yxx dx 所求曲线方程为所求曲线方程为例例10. 已知一曲线已知一曲线 在点在点 处的切线处的切线( )yf x ( ,( )x f x斜率为斜率为 2secsin ,xx 且此曲线与且此曲线与 y 轴的交点轴的交点 为为 求此曲线的方程求此曲线的方程.(0,5),tancos,xxC(0)5,y 6,Ctancos6.yxx内容小结内容小结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 (见见P188)2. 直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形, 及及 基本积

12、分公式基本积分公式进行积分进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质 常用的三角公式有：常用的三角公式有：同角公式：同角公式：积化和差：积化和差：222222 sincos1, 1tansec, 1cotcsc; xxxxxx 1 sincossinsin, 21 sinsincoscos, 21 coscoscoscos. 2xxxxxxxxxxxx 倍角公式：倍角公式：222222 coscossin12sin 222 2cos1,2 1cos2 sin,21cos2 cos;2xxxxxx

13、xxx 思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？(,) 1,0( )sgn0,01,0 xf xxxx 思考题解答思考题解答不存在不存在. .故假设错误故假设错误结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数的函数 都没有原函数都没有原函数. .假设有原函数假设有原函数( ),F x,0( ),0,0 xCxF xCxxC x ( )F x0 x 但但 在在 处不可微处不可微所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数. .(,) ( )f x思考与练习思考与练习提示提示:212xC1. 证明证明 (P193题题7)arcsin(21)

14、, arccos(12 )2arctan1xxxx 和和21xx 都是都是 的原函数的原函数2. 若若的原函数，则的原函数，则e( )xf x 是是2(ln )d x fxx ( )(e)xf x ex 3. 若若是是的原函数的原函数 , 则则提示提示:( )f xex (ln )dfxxx 01lnCxCx( )exfx ，已知已知0( )exf xC 01(ln )fxCx 02(ln )1Cfxxxx 的导函数为的导函数为则则的一个原函数的一个原函数是是 ( ) .B( )f xsin,x( )f x4. 若若()1sin ;Ax ()1sin ;Bx ()1cos ;Cx ()1cos

15、.Dx (e1)de1xxx 2(ee1)xx3e1de1xxx 2(ee1)dxxx 21ee2xxxC3e1d .e1xxx 5. 求不定积分求不定积分解：解：22221(2)sincossincosxxxx 6. 求下列积分求下列积分:提示提示:2222dd(1);(2).(1)sincosxxxxxx 222211(1)(1)(1)xxxx 2()x 2x 22111xx 22sincosxx 22seccscxx7. 已知已知求求 A , B .解解: 等式两边对等式两边对 x 求导求导, 得得2222dd111xxxAxxBxx，221xx 22211AxAxx 21Bx 22()21A BAxx 021ABA 11, 22AB(加速度加速度)此时质点位置为此时质点位置为0,x初速为初速为0.v解解: 抛出时刻为抛出时刻为0,t 质点质点 设时刻设时刻 t 质点所在位置为质点所在位置为( ),xx t 则则d( )dxv tt 22ddddxvtt g 0(0)xx ( )xx t xO处以初速处以初速阻力阻力, 求它的运动规律求它的运动规律. 垂直上抛垂直上抛 ,不计不计0 x0v8. 质点在距地面质点在距地面取质点运动轨迹为坐标轴取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面