激光原理第三章

1、3.1 光学谐振腔的衍射理论3.2 对称共焦腔内外的光场分布3.3 高斯光束的传播特性 3.4 稳定球面腔的光束传播特性3.5 激光器的输出功率 3.6 激光器的线宽极限第三章 激光器的输出特性3.7 激光光束质量的品质因子M2 目标目标：通过谐振腔衍射理论的描述，掌握自再现模、横：通过谐振腔衍射理论的描述，掌握自再现模、横模场分布、纵模间隔等基本概念与描述；理解腔内外光场模场分布、纵模间隔等基本概念与描述；理解腔内外光场分布特点，掌握高斯光束的传播特性，理解掌握稳定球面分布特点，掌握高斯光束的传播特性，理解掌握稳定球面腔的光束传播特性；理解输出功率特点与影响因素；掌握腔的光束传播特性；理解输

2、出功率特点与影响因素；掌握线宽极限的物理机制，品质因子的定义式及物理意义。线宽极限的物理机制，品质因子的定义式及物理意义。 本章任务本章任务：掌握激光输出特性的理论基础，会描述光：掌握激光输出特性的理论基础，会描述光束的传播特性，理解掌握功率输出特性、线宽极限的束的传播特性，理解掌握功率输出特性、线宽极限的物理机制；掌握描述光束质量的品质因子的物理本质，物理机制；掌握描述光束质量的品质因子的物理本质，为后期激光控制技术打下扎实基础。为后期激光控制技术打下扎实基础。第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论 开腔模的一般物理概念-自再现模 孔阑传输线 菲涅耳基尔霍夫衍射积分 积分方程物

3、理意义 分离变量法 目标目标：通过谐振腔衍射理论的描述，掌握自再现模、横：通过谐振腔衍射理论的描述，掌握自再现模、横模场分布、纵模间隔等基本概念与描述。模场分布、纵模间隔等基本概念与描述。 本节任务本节任务：理解激光输出特性的理论基础，会解释自：理解激光输出特性的理论基础，会解释自再现模、积分方程及其解的物理含义、掌握纵模间隔再现模、积分方程及其解的物理含义、掌握纵模间隔表达式并会运用其进行腔模式相关计算。表达式并会运用其进行腔模式相关计算。3.1 光学谐振腔的衍射理论一、开腔模的一般物理概念-自再现模1.开腔的自再现模或横模 :在开腔镜面上，经一次往返能再现的稳态场(不随时间变化)分布 。2

4、. 往返损耗：自再现模往返一次所经受的能量损耗。 3. 往返相移：自再现模往返一次所经受的相移。 4. 谐振条件：往返相移等于2的整数倍。 二、孔阑传输线 光在平面开腔中的传输特点： 往复传播； 逸出腔外便不能返回腔内；1. 腔镜边缘存在衍射损耗。 LIII,531uuu,642uuua2当经过足够多次渡越，形成这样一种场分布:渡越时分布情况不再受衍射影响，只有整体按同样比例衰减。二、孔阑传输线 二、孔阑传输线 * 通过孔阑传输线的光场分布的变化 初始入射平面波在到达腔镜时是均匀平面波。 在到达反射镜发生反射时，在镜边发生衍射，边缘场分布出现旁瓣(强度次极大，非等相位面),波前发生改变，等相位

5、面也发生改变，不再是均匀平面波。 此后每次在镜面反射时均发生衍射，每经过一次反射，光波的振幅和相位分布就经历一次改变，经过若干次反射后，光波的振幅和相位分布受衍射的影响越来越小，趋于稳定。 当等相位面经过腔镜反射，不再发生改变时，就称存在的模式为自再现模。 均匀平面波入射自再现模。 空间相干性：开始自发辐射空间非相干。 无源开腔中，自再现模的实现伴随着能量的衰减；有源开腔中，自再现模可以形成自激振荡，得到光放大，形成激光。二、孔阑传输线三、菲涅耳-基尔霍夫衍射积分目的：用数学方法定量地表示开腔模光场分布方法：如果已知某一腔镜镜面上的场分布 ，求在衍射作用下，经一次渡越在另一腔镜镜面上生成的光场

6、 。y,xu1y, xu2 工具：菲涅耳基尔霍夫衍射积分：如果知道光波场在任一处的空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其他任意位置的振幅和相位分布。 将以上积分用于开腔的两个镜面上的场: sdeyxuikyxuikscos1,4,三、菲涅耳-基尔霍夫衍射积分假设: S尺寸远大于, 足够远, 使来自S的光都可以作用于P点 SdeyxuikyxuSikcos1,4),(112一次渡越后, 镜： q次渡越后, 生成的场uq+1与产生它的场uq之间满足类似的关系:SdeyxuikyxuSikqqcos1,4),(11由“自再现”的概念,当q足够大时,除了一个振幅衰减和相移的常数因子外,

7、 uq+1应能再现uq, 即: 12111qqqquuuu代入菲涅耳-基尔霍夫积分方程, 简化后有: SdyxuyxyxKyxu,cos1, ,4, , ,yxyxeikyxyxKyxyxik进一步简化： SdyxuyxyxKyxueLiyxyxKmnmnyxyxik,此即为自再现模场u(x,y)应满足的积分方程式，K(x,y,x,y)称为积分方程的核。|U(x,y)|描述镜面上场振幅的分布，其辐角argV(x,y)描述镜面上的相位分布。四、自再现模积分方程(3-7)mn1五、积分方程物理意义 本征函数 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。 表示的是在激光

8、谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。图3-3为各种横模光斑。 (1)本征函数 和激光横模 mnumnu图3-3 横模光斑示意图mnu复数：五、积分方程物理意义 ieiqqqeueuu11表示衰减系数, 自再现模振幅按指数衰减, , 衰减越大, 0, 无衰减。(-(0)滞后; -(0)超前)表示相位滞后系数(单位相位滞后), 相位滞后越多。 1. 单程损耗: 单程相对功率损耗 2212qqqduuu22111e12)-(3 1argargarg1kLuuqqqargq1223. 谐振条件: (有激活介质)一次往返的总相移等于2的整数倍,开腔自再现模

9、谐振条件: (2)本征值 和单程衍射损耗、单程相移 mnmn12. 单程渡越的总相移 五、积分方程物理意义 qq223. 谐振条件: (有激活介质)一次往返的总相移等于2的整数倍,(2)本征值 和单程衍射损耗、单程相移 mn16)-(3 222222LqcLcLqcckqkLmnmnq图图(3-4) (3-4) 腔中允许的纵模数腔中允许的纵模数要根据腔的结构，进一步简化积分方程，使之从数学上可解。对于矩形、圆形平面镜腔、共焦球面腔和一般球面镜腔等常见腔型，这种简化是可行的。关键：简化K(x,y,x,y), 即(x,y,x,y)的表达式 条件: xa， 六、分离变量法2、圆形球面腔(由圆形对称性

10、引入极坐标) cos2,222r rrrLyxyxcos2211222rrrrLL22aLLaLcosr rLrrikikLikeee222 adrdrrrrKru020,Lcosr rLrrikikLeLie,r , rK222其中 六、分离变量法-圆形球面腔 immerR,r分离变量: 设, (m=0,1,2,-) r reLr rkJeLkir , rKrdrrRr , rKrrRLrrikmikLmmammm21022解为多解，将其第n个解写成Rmn(r), 相应的复常数mn, 则有: amnmmnmnrdrrRrrKrrR0,而整个镜面上的场分布函数为: , mn为与 相对应的本征值

11、。 immnmnerRru,mnu代入上式并化简: 六、分离变量法3、一般球面腔aLP2(x,y)P1(x,y)P1P221设两反射镜的曲率半径分别为R1和R2，腔长为L， LyyLxxLLyyxxPP2222222211221112RyxPP2222222RyxPP222122222211221121212222不能忽略考虑,RyxRyxLyyLxxLPPPPikPPPPPPPPyxyxyyxxyxRLyxRLLL21121222221yyxxyxgyxgLL221222221六、分离变量法一般球面腔对称开腔：R1=R2=R，g1=g2=1-L/R。 对称共焦腔：R1=R2=R=L，g1=g

12、2=0， yyxxLLy,x , y, x1 LyyxxikikLaaaaeeLiyxyxKydxdyxuyxyxKyxu,平行平面腔模的自再现膜 迭代计算方法迭代法的意义 平行平面腔自再现模的形成对于对称开腔，当j足够大时，由数值计算出的uj、uj+1、uj+2能否满足下述关系： 一、迭代计算方法 sjjdsKuu1用迭代公式： jjuu11121jjuu 即出现稳定场分布：镜面上各点的场振幅按同样比例衰减(损耗)。各点的相位发生同样大小的滞后(相移)即“自再现”。 1961年，Fox A.G. and Li T.(Bell system Tech. J., 1961, 40:453)首次完

13、成此种方法。求出平行平面腔，圆形镜共焦腔等的自再现模。 迭代法直观地证明了开腔模式的存在性。 迭代法模拟了孔阑传输的过程，形象地、具体地说明 了模的各种特征。 普适性：计算任何几何形状的开腔中的自再现模。 二、迭代法的意义 2a2a2a2a振幅相位300次迭代结果三、平行平面腔自再现模的形成考察镜的宽度为2a，腔长为L的对称条状腔：由矩形腔结果，模式迭代方程为：三、平行平面腔自再现模的形成) ()(12) (22dxxueeLixuaaLxxikikLdxxueeLixuaaLxxikikL)() (22)(32选择初始波最简单均匀平面波u1=1。(等相位面为平面(镜面)0)，且振幅为1。将上

14、式代入 ，求出u2，然后将u2归一化，取 再计算u3。 1max2u特点：开始几次渡越，振幅和相位发生很大变化，边缘的起伏更大。象单边衍射特征。随着渡越次数越多，场分布变化越来越小。(3)经过300次后，场分布不再变化。获得自再现模：振幅中心强。两边弱。具有对称性。基模TEM00模相位：(相移)中心处无滞后，两边滞后增加，已不是平面波(等相位面已不是平面)。自再现模的建立时间：(300次渡越)设1m，形成自再现模所需次数(时间)与NF有关。N，次数。N，(损耗小)。因而渡越次数要多。三、平行平面腔自再现模的形成3.2 对称共焦腔内外的光场分布 积分方程及其精确解 镜面上场的振幅和相位分布 单程

15、损耗 单程相移和谐振频率 目标目标：通过谐振腔衍射理论的解析解描述，掌握自再现：通过谐振腔衍射理论的解析解描述，掌握自再现模特征表示参数：镜面光斑半径、相位分布、衍射损耗、模特征表示参数：镜面光斑半径、相位分布、衍射损耗、单程相移、谐振频率等概念与描述，理解频率简并现象。单程相移、谐振频率等概念与描述，理解频率简并现象。 本节任务本节任务：理解共焦腔内外光场分布的理论求解过程，：理解共焦腔内外光场分布的理论求解过程，会解释自再现模特征表示参数定义及公式并运用之，会解释自再现模特征表示参数定义及公式并运用之，会解释频率高度简并现象。会解释频率高度简并现象。3.2 对称共焦腔内外的光场分布一、积分

16、方程及其精确解（方形镜对称共焦腔） 尺寸 ，有 。当满足条件： 时，其自再现模umn(x.y)所满足的积分方程为式： aa22 LRRR21 aL22)(aLLa) .()().(dydxeyxueLiyxuLyyxxikaamnikLmnmn 变量代换： )(axcX )(aycY FNc2) , ()2(),() (dYdXeYXueiYXuccYYXXiikLmnmn分离变量, 令： nmmn1)()(),(YGXFYXnmmn1) 一、积分方程及其精确解 代入上式，得到Fm(X)、Gn(Y)分别满足的方程： 两个积分方程是有限付氏变换，它们的解是长椭球函数：(Goyd, Gordon)

17、,(),()()().(cYcScXcSYGXFYXuonomnmmn本征函数： 长椭球函数 ),(),(),(yxuaycSaxcSonom) ()2()(2/1dXeXFieXFiXXccmikLmm) ()2()(2/1dYeYGieYGiYYccnikLnn) 1 ,() 1 ,(4)1()1(2)1(cRcReNonomnmkLiFnm本征值： ) 1 ,()1(cRom) 1 ,()1(cRon为径向长椭球函数 二、镜面上场的振幅和相位分布 1、厄米高斯近似：) ()2()(2/1dXeXFieXFiXXccmikLmm) ()2()(2/1dYeYGieYGiYYccnikLnn

18、当共焦腔有较大的NF，即xa、ya，(仍有 )，(光束半径较小)，则积分限可扩展到-+。上式中，先求第一式 ：2)(aLNF(1) ) ()(dXeXFXAFiXXmm21)2(ikLmieA对上式对X两次微分，得： (2) ) ()(222dXeXXFdXXFdAiXXmm考虑如下积分： ) (22dXXdeXFdIiXXm) (XFm) (dXXdFm利用 ， 在趋于0 LaNF2二、镜面上场的振幅和相位分布厄米-高斯近似将（2）与（3）相加，得： 分部积分法：(3) )() (22XFAXdXeXFXImiXXm(4) )() ()()(222222dXeXFXdXXFdXFXdXXFd

19、AiXXmmmm(1) ) ()(dXeXFXAFiXXmm)()( 222XFXdXXFdmm与)(XFm满足同一形式的方程 )()()( 222XCFXFXdXXFdmmm(5) 0)()(222XFXCdXXFdmm与线性谐振子的Schrdinger方程相同： 0222dd(1) ) ()(dXeXFXAFiXXmm(2) ) ()(222dXeXXFdXXFdAiXXmm二、镜面上场的振幅和相位分布厄米-高斯近似方程的解(本征函数)是厄米高斯函数，即有： 同理：22)()(XmmmeXHCXF22)()(YnnneYHCYG式中Cm为归一化常数，Hm(X)是阶厄米多项式。 将上式代入

20、并换回坐标x，y，得到大菲涅耳数共焦腔衍射积分方程的本征函数（场分布）： 2222)()()(),(ayxcnmmnmneyacHxacHCyxu18)-(3 )2()2()(22LyxnmmneyLHxLHC为归一化常数。为m阶（n阶）厄米函数。为高斯函数 mnC)(),(YHXHnm)(22Lyxe)()(),(YGXFYXunmmn二、镜面上场的振幅和相位分布厄米多项式表达式： 2、镜面上的振幅和相位分布： )2()!2( !) 1() 1(22022kmmkkXmmXmmXkmkmedXdeXHm, n=0,1,2, 表示取整数 2m1)(0XHXXH2)(124)(22XXHXXXH

21、128)(33124816)(244XXXH二、镜面上场的振幅和相位分布阶数为0、1、2最低阶次的厄米高斯分布和镜面上光强分布图象 ： 二、镜面上场的振幅和相位分布*基模： 18)-(3 )2()2(),()(22LyxnmmnmneyLHxLHCyxu取m=n=0，称为基模，（最低阶） 所以，场分布函数： 22)-(3 ),()(22LyxooooeCyx特征：高斯函数， 当 时，振幅下降， 通常用半径 的圆来定义基模光斑的大小, 称共焦腔基模在镜面上的光斑尺寸(半径), (3-23)Lyxr22ooooCeu1Lr Lws二、镜面上场的振幅和相位分布注意：（1）理论上，高斯函数是延伸到 处

22、，只是在 的区域内光强已很弱。（2） 仅与曲率半径R(焦距 )、腔长、波长有关，与镜面尺寸无关。（ ）（边缘可略）（3）半功率点（基模强度的一半处）的光斑尺寸：强度：当 ，有：解得： （4）借用光斑尺寸，本征函数（3-18）式为：rswr sw2Rf ayx)(220022),()(LyxooooeCyxurIoswr )(u707.0),()(21)(oyxoIrIoooooooossswwLw5889. 022ln22ln222)2()2(),(swyxsnsmmnmneywHxwHCyxu二、镜面上场的振幅和相位分布* 高阶横模： 例：（1）节线：TEM10： 有x0一条节线。TEM20

23、: 有xm 两节线依此类推：m表示在TEMmn模沿x方向有m条节线。同 理：n表示在TEMmn模沿y方向有n条节线。22222222),(101010sswyxwyxsxeCxewCyxu2222224 224),(2220222020ssswyxswyxewxCewxCyxu2sw特点：不等间距，中间密, 由H（X）零点方程决定。边缘强，中间弱。 二、镜面上场的振幅和相位分布* 高阶横模： 22) 12(smswmw22) 12(snswnwx坐标：12mwwosms12 nwwsns ，对y坐标： x坐标y坐标由ws可求高阶模光斑的大小。 例：（2）光斑尺寸：* 相位分布： 镜面上的相位分

24、布由umn(x,y)的辐角决定。由于（3-18）为实数，这就表明镜面上的各点相位相同。即：共焦腔反射镜面本身构成了场的一个等相位面，对任何m、n都成立。这与平行平面腔不同。18)-(3 )2()2()(22LyxnmmnmneyLHxLHCu三、单程损耗* 共焦腔自再现模TEMmn的单程功率损耗 ： 结合其他教材有结论：均匀平面波的衍射(夫琅和费)损耗比平面镜腔的自再现模的损耗大的多。平面镜腔的损耗比共焦腔的损耗大的多。 见图45。2221111nmnmmnmn图4-5 不同腔的衍射损耗曲线四、单程相移和谐振频率 1、共焦腔TEMmn模在腔内单次渡越的总相移 ： 2、共焦腔谐振条件 ：nmmn

25、mnarg1arg) 1 ,() 1 ,(4)1()1(2)1(cRcRNeonomnmkLinm而2) 1(nmkLmn结论：由相移表达式可以看出，共焦腔相移与菲涅耳数无关，不同横模的相移之差为/2的整数倍。22qmn)1(212nmqLcmnqq：纵模m，n：横模 ck22四、单程相移和谐振频率 3、共焦腔的振荡频谱 ： 4、频率简并 ：当q一定时横模频率间隔为： 通常q表征沿Z轴（腔轴）方向的场分布，称为纵模。属于同一横模（m、n一定）的相邻纵模频率间隔为3-16&26式： 共焦腔对于所有（2q+m+n）相同的模式，有相同的谐振频率，如TEMmnq、TEMm-1,n+1,q、TE

26、Mm,n-2,q+1、TEMm-2,n,q+1、称为模式的频率简并。注意：不同的横模的损耗不同，因此，一般频率简并的模式，损耗并不简并。 Lcmnqmnqq21qnm21图(3-6) 方形镜共焦腔的振荡频谱)1(212nmqLcmnq五、共焦腔行波场与腔内外的光场分布 1. 1.腔内的光场可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在腔内造成的行波求得。腔外的光场则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。即行波函数乘以镜面的透射率t。 zyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp 212212,222222222( , , )(1)(1)()212Lxyx

27、y zkmnL1212LzarctgarctgLz图3-7 计算腔内外光场分布的示意图Lz23.2 对称共焦腔内外的光场分布 积分方程及其精确解 镜面上场的振幅和相位分布 单程损耗 单程相移和谐振频率 3.3 高斯光束传播特性 共焦腔中的厄米高斯光束 振幅分布和光斑尺寸 模体积 等相位面的分布 远场发散角 目标目标：理解掌握高斯光束传输相关特性：理解掌握高斯光束传输相关特性 本节任务本节任务：会表述高斯光束传输相关特性参数及运用：会表述高斯光束传输相关特性参数及运用相关公式计算。相关公式计算。3.3 高斯光束传播特性 Boyd and Gordon (1961)证明：镜面上的场能用厄米高斯函数

28、描述的条件下，共焦腔场可以解析地表示为329式： 一、共焦腔中的厄米高斯光束 其中： 21211,22nmfrfkzyx11arctgfzLz222Lwwso2Lf 而： 是TEMmn模在腔内任意点(x, y, z)处的电场强度，Cmn为归一化常数。 ),(UzyxmnzyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp 212212,222222二、振幅分布和光斑尺寸 共焦场的振幅分布： 对基模： zyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp 212212,22222222220012expsyxU22222000014expsyxUI222)

29、(1)(12)1 (2)(fzwfzwLzwos二、振幅分布和光斑尺寸 定义：在振幅的处的基模的光斑尺寸（z点） ：因为x，y方向的对称性，可理解Eoo(x，y)是以z轴为对称轴的旋转。 31)-(3 11212)(2222fzwfzwfzLzwos2Lf fLwo)2(Lws20)(1fzwwz位置z中心（O）镜面（ ）任意点（z）光斑w(z)最小光斑w0(z=0)称为高斯光束的基模腰斑半径（束腰）。 （3-31）可写为： 1)(2222fzwzwo光斑沿z轴的变化为双曲线。三、模体积 1概念：模体积就是该模式在腔内所占有的空间范围。 3共焦腔基模的模体积： 2模体积与输出功率的关系（除损耗

30、外）：模体积越大，参与该模式振荡的反转粒子数就越多，输出功率也越大，反之，则小。 323222222000LwLdzzVsLL4共焦腔高阶模的模体积 ： 020) 12)(12(2) 12)(12(21oonsmsmnVnmLnmwwLVTEMmn模的模体积是基模的 倍，模的阶次越高，模体积越大，多模的输出功率比单模的大。 ) 12)(12(nm三、模体积 5举例：共焦腔CO2激光器：腔长L1m，放电管直径2a=2cm， 。 m6 .10激活介质体积：基模的模体积：基模的模体积率：32314cmLaV3203 . 52cmLVoo%7 . 10VVoo高功率的基模输出很难，只有用非稳腔。 四、

31、等相位面的分布 共焦腔场相位分布由相位函数描述：忽略 微小变化（ozL）引起的的变化： ), 0 , 0(),(0zzyx znmfrfk212112200211znmfkozzz36)-(3 21211,22nmfrfkzyx11)(arctgzLz2ooLrLrzz)1 (12222得：fzfzoo相位随坐标x,y,z而变化，与腔轴相交于zo点的等相位面方程由下式给出：四、等相位面的分布 共焦腔基模等相位面特征： ooozzRzzfyx212222-抛物面方程，顶点在zzo处 抛物面焦距： （3-38） oozfzRf2212与腔轴线在zo点相交的等相位面的曲率半径： 38)-(3 212

32、22oooozLzzfzfR zo0（等相位面位于右侧），zzo1的条件下，利用菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式，将共焦腔整个空间的场分布解析地表示出来。这就是厄米高斯光束（方镜）或拉盖尔高斯光束（圆镜）。 圆镜 方镜 2行波场 ：),()(22)(2)(2)(),(zyxizwrnmoomnmneeyzwHxzwHzwwEAzyxU22)(1)(12)(fzwfzwzwoszfzzffzfzR2)()()2)(1(21)1 (),(22nmfrfkzyx),()(2220022)(2()(2()(),(zriimzwrmnmmnmneeezwrLzwrzwwEAzrU)2)(12(21)1 (),

33、(22nmfrfkzr11arctgfzLz2220Lwws所以二种高斯光束的行为特性相似，只是轮廓不同。 共焦腔模的小结 基横模体积 ： 远场发散全角 ：3高斯光束基本特性 ：光斑尺寸： 20)(1)(fzz2220002221fLwLVsfzzwz2)(2lim0等相位面曲率半径： zfzzR2)(都唯一地由焦距f(腔长L)决定，与反射镜横向尺寸无关。所以f或w0（由f决定）可作为表征共焦腔高斯光束的特征参数。对比平行平面镜w(z)、都与镜尺寸a有关。 )259. 0(a02Lf 2200)(1)(zzLs21210SIB222)(RR高亮度： 共焦腔模的小结 基横模体积很小，易产生多横模

34、振荡。 缺点： 4只有精确解才能正确描述共焦腔的损耗特性。每一横模的损耗都唯一地由腔的菲涅耳数NF决定。不同的横模的损耗也不相同。 5共焦腔具有衍射损耗低、模式鉴别力高、易于调整。 对称共焦腔是理想情况（介稳）R1R2L。如果调整或加工，使得R1L R2，则腔成为非稳腔。因此对反射镜曲率半径的加工和镜的间距的调整是苛刻的 3.3 高斯光束传播特性 共焦腔中的厄米高斯光束 振幅分布和光斑尺寸 模体积 等相位面的分布 远场发散角 目标目标：理解掌握高斯光束传输相关特性：理解掌握高斯光束传输相关特性 本节任务本节任务：会表述高斯光束传输相关特性参数及运用：会表述高斯光束传输相关特性参数及运用相关公式

35、计算。相关公式计算。3.3 高斯光束传播特性3.4 稳定球面腔的光束传播特性 稳定球面腔的等价共焦腔 稳定球面腔的光束传播特性 目标目标：与共焦腔比较，理解掌握稳定球面腔光束传输相：与共焦腔比较，理解掌握稳定球面腔光束传输相关特性关特性 本节任务本节任务：会表述并证明稳定球面腔的共焦腔的等价：会表述并证明稳定球面腔的共焦腔的等价性；会运用相关公式进行计算。性；会运用相关公式进行计算。3.4 稳定球面腔的光束传播特性一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性 “等价”指是有相同的“自再现模”。 以共焦腔模式的等相位面分布为依据。根据前面的讨论，由（3-38）式等相位面曲率公式为：1任意一个共焦球面腔与无

36、穷多个稳定球面腔等价 ： 与无穷多个球面腔等价： 前已证明，在共焦腔场的任意两个等相位面上放置两块有相应曲率半径的球面反射镜，则共焦腔场将不会受到扰动，维持原来的光波场状态和特征。但它们就构成一个新的球面腔。即它的场与共焦腔的完全相同。这就是二者“等价”的概念。因为共焦腔的等相位面可以有无穷多个，因此构成的等价球面腔也是无穷多的。 38)-(3 21222oooozLzzfzfR一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性 1任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面腔等价 ： 这些等价球面都是稳定腔 ： 图中，任意c1、c2处的反射镜的曲率半径分别为： )()(12111zfzzRR)zfz()z(RR22

37、22212zzL等价球面腔的腔长 可证(后面)R1,R2,L满足, 的稳定性判据。1)1)(1 (021RLRL1021gg故等价球面腔都是稳定的。一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性 2. 任意一个稳定球面腔唯一等价于某一个共焦腔 ： 设：已找到等价共焦腔，焦距f，中心为0处，其行波场的某两个等相位面与给定的球面腔镜面重合，则有： 3-48： 前提：已知R1、R2、L为一稳定球面腔。 上式联立消去)(1211zfzR2222zfzR12zzL1212)(zLfzLR22122,fzzzf解出LRRRLLRLRLLRLz2)()()()(2122121LRRLRLRLRLRLLz2)()()()

38、(211211222121212)()()()(RLRLLRRLRLRLf38)-(3 2zfzR一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性 2. 任意一个稳定球面腔唯一等价于某一个共焦腔 ： 必有若引入谐振腔几何结构因子： 则（348）式为： 111RLg221RLg212121121ggggg)g(Lz21211222)1 (ggggggLz22121212122)2()1 (ggggggggLf02f021gg和 0)1 (21gg或 和 021gg0)1 (21gg但不能同时满足谐振腔稳定性条件，只有条件满足。所以： 证明了前题的稳定条件，也说明球面腔是稳定的。 1021gg二、镜面上的光斑尺

39、寸 按前面共焦腔讨论，基模的光斑尺寸为：代入f可得出一般稳定球面腔的行波场基模光斑尺寸。再代入Z1、Z2，可得出两个镜面上的光斑尺寸 ： 202)(1)(1 )(fzwfzfzwLRRRLLRLRLLRLz2)()()()(2122121LRRLRLRLRLRLLz2)()()()(211211222121212)()()()(RLRLLRRLRLRLf利用 412112412112412112211111)(ggggwggggLLRRLRLLRRfzwwss4/121214/121214/121212222)1 ()1 ()()()(ggggwggggfLRRLRLLRRfzwwss二、镜面

40、上的光斑尺寸 表示腔长相同的共焦腔镜面上的光斑半径。 可得一般稳定球面腔中束腰的尺寸： Lws由共焦腔中基模束腰的公式： fw 04/12212121214/1221212102)1 ()2()()(ggggggggwLRRLRRLRLRLws) 10(21gg以上三式只对稳定腔运用，因为当 或 时， 、 成为复数。没意义。当 ，或 （但 ）时， 和 中至少一个趋于发散。（而 ） 121gg021gg1sw2sw0w121gg021gg21gg 00w1sw2sw所以 试用条件为稳定腔202)(1)(1 )(fzwfzfzw二、镜面上的光斑尺寸 原腔镜面上光斑尺寸412121222412112

41、211220021122121212121)()()()()(1)(222LRRLRLLRRLLRRLRLLRRLzzLRRLRLzLRRLRLzLRRLRRLRLRLfss3504/122121210)2()()(LRRLRRLRLRLw二、镜面上的光斑尺寸 作为一般稳定球面腔的例子：对称球面腔， 光腰位于腔中心 讨论： （共焦腔）镜面上光斑最小。 （平行平面腔）镜面光斑趋于无穷。 （共心腔）镜面光斑趋于无穷。除去两种极限情况，其它情况，光斑尺寸与共焦腔相差不大。1RL0RL2RLRRR214/124/124/12)11(11)2(gwwgwLLRRLwssss斑）（同腔长共焦腔镜上光4/1

42、0L4)LR2(Lw4/122121210)2()()(LRRLRRLRLRLw三、等相位面的分布 zfzzffzfzR2)()(将f代入 得：22121212)RL()RL(z)LRR)(LR)(LR(Lzzfz)z(R将中的z1和z2代入 得：11)(RzR22)(RzR四、谐振频率 从共焦腔的相位函数式出发: 得)2)(1()2(),(2zfzfarctgnmkfRrzkzrmn（方镜） （圆镜） )2)(12()2(),(2zfzfarctgnmkfRrzkzrmn以（348）式之f、z1、z2、分别代入上式，并利用谐振条件： qzzzrmnmnmn2), 0(), 0( 2),(21

43、2yxyxtgytgxtg1112/1211)11(cosxxtg利用arccos) 1(1221ggnmqLcmnqarccos) 12(1221ggnmqLcmnq（方镜） （圆镜） 可见：对一般稳定球面腔而言，共焦腔模的高度简并现象已经减弱四、谐振频率例：对于两块全同的大曲率半径球面镜构成的近平面腔的频谱， 与共焦腔相比，纵模的简并已消除，横模的简并仍存在。 即：RLRLggRL21 coscos11211代入方镜公式得： 212112/mnq)RL)(nm(qLcLcq22/12)2()(RLqnm五、衍射损耗 由于稳定球面腔与等价共焦腔有相同的行波场，而且反射镜的镜面都为等相位面，那

44、么它们的衍射损耗应遵守相同的规律。 a：腔镜尺度（方线度；圆半径） 前面已经讨论：对称共焦腔的单程衍射损耗单值地与菲涅耳数NF有关（反比） LaNF2对称共焦腔镜面上的光斑尺寸为： Lws22sFwaN从此式可以看出： 为镜的面积量纲， 为光斑面积， 正比于镜面积与镜面上光斑的面积之比。镜面积或镜上光斑面积，则 。 FN2a2swFN五、衍射损耗 对于一般稳定球面腔，镜面半径为 ，镜面上光斑半径 ; 其等效共焦腔, 镜面半径为 ，镜面上光斑半径 . 则说明两腔的单程损耗相同。 将的具体表达式代入上式得： 根据上面的讨论： iasiw0asw如果22022ssiiwawa)(FN引入稳定球面腔的

45、有效菲涅耳数： 22siieffwaN)gg(ggLa)LR(L)LRR)(LR(RawaNsef2121212211121212111)gg(ggLa)LR(L)LRR)(LR(RawaNsef2112221212222222221五、衍射损耗 从以上分析可见：对一般稳定球面腔，每一个反射镜对应着一个有效菲涅耳数，即使二镜的线度相同，相应的有效菲涅耳数也不一定相同。当 时 ： aaa21)gg(ggN)gg(ggLaNFef212121212111)gg(ggN)gg(ggLaNFef211221122211求出有效菲涅耳数后，即可按共焦腔的单程损耗曲线来查得一般稳定腔的损耗值。两镜的平均单

46、程损耗值： )(2121mnmnmn六、基模远场发散角 根据远场发散角（全角）的表达式（： 例： f20将f的表达式（348）代入上式，得到一般稳态球面腔的基模远场发散角（全角） 对于对称稳定球面腔，平凹稳定腔是以上的特例。 122224/12121221214/12121222120ggggggggLLRRLRLRLRRL非对称稳定球面腔的所有参数全部求出 平凹腔： 对称稳定球面腔： 对称共焦腔： 半共焦腔： RRR)(21)(12RRRRR21LR LRR21RRR21)(12RR2RL 小小 结结 一、任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，而任一稳定球面腔唯一等价于一个共焦腔。等价共焦

47、腔位置： 基模镜面光斑尺寸： LRRRLLRLRLLRLz2)()()()(2122121LRRLRLRLRLRLLz2)()()()(211211222121212)()()()(RLRLLRRLRLRLf348二、一般稳定球面腔特征： 4/121121)1 (ggggwwss4/121212)1 (ggggwwssws为同腔长共焦腔镜面的光斑尺寸 小结小结 模体积： 二、一般稳定球面腔特征： 发散角： 等相位面分布：镜面为等相位面。 谐振频率（圆镜）： 211221000001412ggggggVVarccos)12(1221ggnmqLcmnqarccos)1(1221ggnmqLcmn

48、q（方镜）衍射损耗：求等效菲涅耳数 两镜平均)1 (21211ggggNNFef)1 (21122ggggNNFef)(2121mnmnmn4/12121221210)1 ()2(2ggggggggL3.4 稳定球面腔的光束传播特性 稳定球面腔的等价共焦腔 稳定球面腔的光束传播特性 目标目标：与共焦腔比较，理解掌握稳定球面腔光束传输相：与共焦腔比较，理解掌握稳定球面腔光束传输相关特性关特性 本节任务本节任务：会表述并证明稳定球面腔的共焦腔的等价：会表述并证明稳定球面腔的共焦腔的等价性；会运用相关公式进行计算。性；会运用相关公式进行计算。3.4 稳定球面腔的光束传播特性3.5 激光器的输出功率

49、均匀加宽连续激光器的输出功率 脉冲激光器的输出功率 目标目标：理解均匀、非均匀增宽介质激光器输出功率的公：理解均匀、非均匀增宽介质激光器输出功率的公式推导思路和过程；掌握输出功率的影响参数。式推导思路和过程；掌握输出功率的影响参数。 本节任务本节任务：会分析均匀、非均匀增宽介质激光稳定输出：会分析均匀、非均匀增宽介质激光稳定输出过程，并运用相关公式进行计算，会解释兰姆凹陷形成过程，并运用相关公式进行计算，会解释兰姆凹陷形成过程和结果。过程和结果。3.5 激光器的输出功率1. 激光器稳定运转的形成过程* 随PPn，当nnt时，G0(q)=Gt小信号增益系数=阈值增益系数 激光开始自激振荡, 但如

50、果仅维持在这个水平上，腔内激光是很弱的。 * 当nnt，G0(q)Gt，则 qI qIIs，G(q, qI) 饱和nG0(q)这样就出现了一个矛盾的过程：pump持续作用，使G0，而增益饱和使G0一、均匀加宽连续激光器的输出功率3.5 激光器的输出功率* 当pump一定时，仅当G(q, qI)=Gt时， qI不再增加，系统已达到平衡-稳定的工作状态， qI)=Gt= lG(q, 此时, qI已成为大信号 * 若再增加pump速率，则重复上述过程G0 qIG(q, qI)饱和nG0(q)G0Gt最后腔内光强达到一个新的稳定状态 qI，而增益系数仍然满足G(q, qI)=Gt= l* 当激光器稳定

51、运转时，大信号增益总是等于阈值增益的数值、连续或长脉冲激光器的输出功率1. 激光器稳定运转的形成过程3.5 激光器的输出功率* 对于均匀加宽介质 qI正比于曲线G0()-Gt所包含的面积 * 对于非均匀加宽介质 qI正比于G0() 曲线上的烧孔面积 2.均匀增宽型介质激光器的输出功率稳定出光时激光器内诸参数的表达式、连续或长脉冲激光器的输出功率1. 激光器稳定运转的形成过程3.5 激光器的输出功率图(3-11) 谐振腔内光强(1) 腔内最小的光强I+(0)(2) 腔内最大光强I-(2L)=r2I+(0)exp2L(G-a内)(3) 输出光强：Iout=t t1I-(2L)=t t1r2I+(0

52、)exp2L(G-a内)(4) 镜面损耗：Ih=a a1I-(2L)=a a1r2I+(0)exp2L(G-a内)剩余部分：I+(0)=r r1I-(2L)=r r1r2I+(0)exp2L(G-a内)(5) 最大最小光强、输出光强和镜面损耗之间关系 由能量守恒定律可得：I-(2L)-I+(0)=Iout+Ih=(a1+t t1)I-(2L)(6) 平均行波光强 对于腔内任何一处z都有两束传播方向相反的行波I+(z)和I-(2L-z)引起粒子数反转分布值发生饱和，增益系数也发生饱和，近似用平均光强2I代替腔内光强 I+(z)+ I-(2L-z)，用阈GIIGGs210作为腔内的平均增益系数，则

53、腔内的平均行波光强为：) 1(2) 1(200总阈aGIGGIIss2.均匀增宽型介质激光器的输出功率稳定出光时激光器内诸参数的表达式3-612.均匀增宽型介质激光器的输出功率激光器的输出功率0, 0, 1222atr对M1有：)(1111tar激光器的总损耗为：)(1ln21ln211121taLrrLaa内总如果 很小，将 用级数展开取一级近似，可得：11ta )(1ln11ta Ltaa211总(1) 理想的情况 ，将全反射镜M2上的镜面损耗都折合到M1上，对M2有：0内a)32()1ln(32xxxx激光器输出光强也可以表示为：) 12(211011taLGtIItIsout) 1(2

54、0总aGIIs若激光器的平均截面为A，则其输出功率为：) 12(211101taLGAItAIPsout2.均匀增宽型介质激光器的输出功率激光器的输出功率激光器输出光强也可以表示为：) 12(211011taLGtIItIsout3-65) 1(20总aGIIs(1) P与Is的关系: 两者成正比(2) P与A的关系: A越大，P越大；而高阶横模的光束截面要比基横的大)2()2()()0()2(111LItLItaILI(3) P与t t1 1的关系: 实际中总是希望输出功率大镜面损耗小，即希望这要求t t1 1大，a1小，使t t1a1 t t1过大又使增益系数的阈值G阈升高，而如果介质的双

55、程增益系数2LG0不够大将会导致腔内光强减小，使输出功率降低。严重时使腔内不能形成激光。t t1过小，虽然使G阈降低,光强增强，但镜面损耗a1I-(2L)也将增大。2.均匀增宽型介质激光器的输出功率输出功率与诸参量之间的关系 ) 12(211101taLGAItAIPsout解此方程得： 为了使激光器有最大的输出功率，必须使部分反射镜的透射率取最佳值：0)(2(21) 12(210211011101taLGAIttaLGIAdtdPss)2()2(101121101aLGaaaLGt此时，激光器得输出功率为： 210100101)2(21) 122()2(21aLGAIaLGLGaLGaAIP

56、ss2.均匀增宽型介质激光器的输出功率激光器的输出功率) 12(211101taLGAItAIPsout3-671). 稳定出光时激光器内诸参数的表达式 (1) 腔内最大光强(2) 输出光强 (3) 镜面损耗)(2exp), 0(),2(2内aGLIrLI)(2exp), 0(),2()(211内aGLIrtLItIout)(2exp), 0(),2()(211内aGLIraLIaIh(4) 最小光强：)(2exp), 0(),2(), 0(211内aGLIrrLIrI光波在腔内传播情况如图3-12所示 图3-12 非均匀增宽激光器腔内的光强(5) 非均匀增宽型介质的增益系数随频率 而变光波的

57、频率不在非均匀增宽介质的中心频率处，光波在腔内传播时将有两部分粒子 和 粒子对它的放大作出贡献。zz3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率即频率为 的光波， 和 两束光在增益系数的曲线上 的两侧对称的“烧”了两个孔。如图3-13所示。),(zI)2 ,(zLI0非均匀增宽激光器的“烧孔效应”腔内不同地点的光强不同，取I作为平均光强，当增益不太大时I=I+=I-，则介质对 光波的平均增益系数为：阈GIIGGsD1)()(0 这就是非均匀增宽型介质对非中心频率光波的增益系数的表达式。(5) 非均匀增宽型介质的增益系数随频率 而变光波的频率不在非均匀增宽介质的中心频率处，光波在腔内传播时将有两部分粒子

58、 和 粒子对它的放大作出贡献。zz3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率光波的频率为线型函数的中心频率 ，它只能使介质中速度为 的这部分粒子数密度反转分布值饱和。此时腔内的光强为I+I-，故介质对 的增益系数为：0z00阈GIIIGGsDD)(1)()(000),2(),(00zLIzI若用平均光强2I来代替 ，则光波在腔中的平均增益系数可表示为：阈GIIGGsDD21)()(000(5) 非均匀增宽型介质的增益系数随频率 而变3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率3-74若腔内各频率的光强都等于Is，则 以及 附近的 光波所获得的增益系数分别为：002)()(3)()(0000GGGGDDDD和

59、 1)()( 1)(21)(202000和阈阈GGIIGGIIDsDs若增益系数的阈值都相等，则 和 附近频率为 光波的平均光强分别为下值，且前者比后者要弱：00(5) 非均匀增宽型介质的增益系数随频率 而变3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率阈GIIGGsDD21)()(0003-74若腔内只允许一个谐振频率，且 ，激光器在理想的情况下，仍有：0 依3-72此时腔内的平均光强为：激光器的输出光强为：Ltaara2; 1; 0112总内 1)(2()(2110taLGIIDs 1)(2()()(211011outtaLGItItIDs若 光束的截面为A，则激光器的输出功率为： 1)(2()()

60、(21101taLGIAtAIPDsout(1) 单频激光器的输出功率 )(1ln21ln211121taLrrLaa内总2). 激光器的输出功率 3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率3-79 1)(2(21)(211000taLGIIDs激光器输出光强为： 1)(2(21)()(211001010outtaLGItItIDs若腔内单纵模的频率为 ，激光器腔内平均光强为：0 1)(2(21)()(21100100taLGIAtAIPDsout若 光束的截面为A，激光器的输出功率为：03.非均匀增宽型介质激光器的输出功率(1) 单频激光器的输出功率 2). 激光器的输出功率 1)(2()()(2110