将军饮马18道典型习题

“将军饮马”常见模型及18道典型习题何为将军饮马？2000多年以前。古希腊的亚历山大城里住着一位睿智的数学家海伦。一天，城里来了一位将军，听闻海伦盛名，特来向他请教一个问题。将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题时，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。此之谓“将军饮马”。最佳方案为何？且阅下文：一、将军饮马常见的5种模型：1、一动两定（和最小）：如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路PA+PB的值最小？解析：做A点关于L的对称点A’，连接A’B，与L的交点即为P点。为什么这时PA+PB最小？假设L上有一点M（与P点不重合）。∵A点与A’关于L对称∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP+BP=A’P+BP=A’B而AM+BM=A’M+MB在△A’MB中，两边之和大于第三边∴A’B<A’M+MB；而M为L上任一点（与P点不重合）。∴动点P在A’B与L交点处时AP+BP最小。2、一定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，小河L1依然像上题中一样潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，不同的是，这次吃草的地方不在是一个指定的点，而是L2所代表的一片草地，Q则是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿会再回到营帐。那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QA的值最小？解析：做A点关于L1的对称点A’；做A点关于L2的对称点A‘’；连接A’A‘’，与L1和L2的交点即为P、Q。为什么此时，AP+PQ+AQ的和最小？假设L1上有点M（不与P重合）、L2上有点N（不与Q重合）。∵A点与A’关于L1对称；A点与A‘’关于L2对称。∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ=A’P+PQ+A”Q=A’A”；AM+MN+AN=A’M+MN+A”N在四边形A’MNA”中：A’M+MN+A”N>A’A”∴P、Q位于A’A”与L1和L2的交点处时，AP+PQ+AQ的和最小。•延伸阅读：如果将上述问题改为：P、Q位于何处时，AP+PQ的和最小？我们又当如何应对？解析：做A点关于L1的对称点A’；直接过A’点做L2的垂线；垂足则为Q点，A’Q与L1的交点即为P点。由图易知：AP+PQ=A’Q。可以在L1、L2上任选两点M、N（如图）。AM+MN=A’M+MN>A’N∵A’Q⊥L2∴A’N>A’Q∴A’M+MN>A’Q；即AP+PQ最小。3、两定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，那条千年不变的小河L1仍然没心没肺的流过，P是将军带着马儿喝水的地方，L2仍然代表着那片永不枯萎的草地，Q依然是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿不再回营帐，而是去了位于B点的军营。那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QB的值最小？提示：做A点关于L1的对称点A’；做B点关于L2的对称点B’；连接A’B’，与L1和L2的交点即为P、Q。同学们可以参考前面两个模型并结合图示自己推导相关结论。•总结：解决“将军饮马问题”，一般分四步走。确定定点和动点：当图形比较复杂、点的个数比较多时，我们先要锁定所求目标，比如求“AP+BP“最小值，那么，定点和动点就一定在A、B、P三个点里寻找。确定动点所在直线。做定点关于动点所在直线的对称点。连接对称点与定点（或另一个对称点）。4、两定一线：如图，你一定猜对了----点A是将军和马居住的营帐。那条小河经过千年的流淌，终于流成了一条大河，L1、L2分别代表河的两岸；B点是河对岸的一块草地；将军骑着马要去河对岸的那片草地吃草，为了过河得修座桥，那么桥PQ修到哪里，将军走的路最短？（桥必须垂直于河岸。）解析：将点B平移至点B’，使BB’的长度与河岸宽度相同，且与河岸垂直。连接AB’，与L1交点即为P，做PQ⊥L2。PQ即为要修的桥。为何此时路径最短？假设桥修在MN处，连接AM、MB’、NB。∵BB’∥PQ∥MN，且BB’=PQ=MN。∴四边形PQBB’、MNBB’均为平行四边形∴BQ=B’P；BN=B’M则AP+PQ+QB=AP+PQ+PB’=AB’+PQ而AM+MN+NB=AM+MN+MB’在△AMB’中：AM+MB’>AB’。而MN=PQ∴AM+MN+MB’>AB’+PQ即AM+MN+MB’>AP+PQ+QB∴桥修在PQ的位置时，将军所走路径最短。5、一动两定（差最大）：为了能更清楚的说明问题，这次情景模型有一定的改变。如图，B点是一家储备了很多现金的银行，P代表的是离这家银行最近的警察局----你猜对了，我们正在策划一件可怕的事情：抢！银！行！在银行和警局之间，一条笔直的马路横穿而过。为了顺利实施我们的计划，把车停在代表马路的什么位置，最利于我们逃跑？（L代表马路）。相信很多同学和我一样，都希望把车停在离银行最近的地方：即，做BH⊥L。垂足H即为停车点。而这样的问题是：车确实离我们很近，但离警察也并不远。也许，我们刚上车还未关上车门。警察叔叔就已出现在我们面前，邀请我们去他们工作单位去吃免费的午餐。其实，我们真正理想的状态是：车可以离我们适当远一点，比如西安至郑州；但一定要离警察足够的远，比如地球到月球。即，双方离车的距离差最大。具体方案如下：做B点关于L的对称点B’；连接PB并延长与L交于点Q；停车点即为Q。∵BQ=B’Q∴PQ与BQ之差，即PQ-BQ=PQ-B’Q=PB’。如果停车点选在Q以外的L点，比如H。则，PH-BH=PH-B’H在△B’HP中，PB’>PH-B’H（两边之差小于第三边）∴车停在Q处时，其差值最大。选址已定，让我们开始行动吧！二、练习题：1、在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S矩形ABCD=3S△ABP。求PA+PB的最小值。2、长方形ABCD中，AB=5，BC=10，M、N分别是BD和BC上的动点，求MN+CM的最小值。3、等边△ABC的边长为4，E是AB上任意一动点，点D在BC的延长线上，且满足：AE=BD。、如图，当点E为AB的中点时，DE=。、如图，点E在运动过程中，DE与EC满足什么数量关系？请说明理由。、如图，F是AC中点，连接EF，在AB边上是否存在点E。使DE+EF值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。4、问题提出：（1）、如图，四边形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，对角线BD平分∠ABC，点E是对角线BD上一点，求AE+BE的最小值。问题解决：（2）、如图，直线y=-x+4与x轴、y轴交于点A、B，点P为直线AB上的动点，以OP为边在其下方作等腰RT△OPQ且，∠POQ=90°，已知点C（0，-4），点D（3,0），连接CQ、DQ。则DQ+CQ是否存在最小值。若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。5、已知直线y=x+6与x轴、y轴交于A、B两点。点C是OA中点，M是y轴上一点，求BM+2CM的最小值。6、如图，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，弧BC所对圆心角为60°，点P是弧BC上一动点，E、F是AB、AC上的动点。求C△PEF的最小值。7、如图，RT△ABC中，AC=BC=6，D为AC中点，E为BC上动点，将△DEC沿DE折叠，C’为C的对应点；M、N为AB、BC上两动点，则△MNC’的周长的最小值为多少？8、如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，E、F分别是AC、BC上两个动点；且CF=AE，连接BE、AF。求BE+AF的最小值。9、矩形ABCD中，AB=4，BC=4。（1）、点E为AB上一点，AE=；F为AC上一动点，求EF+DF的最小值。（2）、E为AB上一点，AE=，F为AC上一动点，求EF+BF最小值。（3）、点E、F为对角线A、C上两点，且EF=2，求DE+BF最小值。（4）、E、F为对角线AC上两动点，EF=2，求DE+DF最小值。（5）、E、F分别为AB、CD上两动点，EF⊥AC，求DE+BF最小值。10、如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=CF，当BF+CE最小时，求AE的长。11、菱形ABCD边长为10，对角线BD=16，P、Q为BD上的动点。PQ=2，E为AB中点，求EPQA最小值。12、在等边△ABC中，AB=4；D、E、F分别是AB、BC和AC三个边上的动点。求DE+DF的最小值。13、如图1，直线y=kx+b与x轴交于点（6,0），与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C(a,4)。、求c点坐标及直线AB的表达式；、如图2，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴于点E，交直线y=2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若点E的坐标是（4,0）。①求△CGF的面积。②直线l上是否存在点P，使OP+BP的值最小？若存在，直接写出P点坐标。、若（2）中的点E是x轴正半轴上一动点。当点E在x轴上运动时，直线l上存在点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△AOC全等？请求出Q点的坐标。14、长方形ABCD中，AB=20，BC=15；E、F是AC、CD上两个动点，AE=CF，求BE+BF最小值。15、在△ABC中，∠BAC=30°，BC=2；△ABC的面积是6；点D、E、F分别为BC、AB和AC上的动点。连接DE、EF和DF。求△DEF周长的最小值。16、如图，在平面直角坐标系中，直线OA的解析式为y=x，动线段BC在射线OA上，动线段EF在X轴正半轴上，且BC=2，EF=，点D为∠AOF内一点，点D到直线OA、x轴的距离分别为2和1，求点D到B、C、E、F四个