211正弦定理(1)

1、北师大课标必修北师大课标必修5 5 2.12.1.1 正弦定理(1)问题提出问题提出回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系? ABCcba222cbaAbatan 90BAAcasin Bcbsin 两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？cBbAa sinsin1sin CCcBbAasinsinsin 即正弦定理，定理对任意三角形均成立即正弦定理，定理对任意三角形均成立分析理解分析理解 向量的数量积向量的数量积 ， 为向量为向量a 与与b 的夹角的夹角 cos|baba 如何构造向量及等式？如何构造向量及等式？ 利用向量如何在三角形的边长与利用向量如何在三角形的边长与三角函数

2、建立联系？三角函数建立联系？分析理解分析理解jACB在锐角在锐角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ， ACABC A)(ABjC)(CBjACj 90cos90cos90cosAcCasinsin 即即CcAasinsin 同理，过同理，过C作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，可得，可得CBCcBbsinsin 则有则有j 与与 的夹角为的夹角为 ， j 与与 的夹角为的夹角为 . 等式等式A 90CBC 90ABCBAC ABABjCBACj )(CcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理:在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，

3、即对角的正弦的比相等，即CcBbAasinsinsin 正弦定理可以解什么类型的三角形问题？正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角其他的边和角.正弦定理正弦定理例例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破坏一角已破坏.现测得如下数据：现测得如下数据：BC2.57cm，CE3.57cm，BD4.38cm，B45，C120.为了为了复原，请计算原玉佩两边的长复原，请计

4、算原玉佩两边的长(结果精确到结果精确到0.01cm)BCDEA分析分析 如图，将如图，将BD，CE分别延长相分别延长相交于一点交于一点A，在，在ABC中，已知中，已知BC的长及角的长及角B与与C，可以通过正弦定，可以通过正弦定理求理求AB，AB的长的长.例题讲解例题讲解解：将解：将BD，CE分别延长相交于一点分别延长相交于一点A ，在，在ABC中中，BC2.57cm，B45，C120A180(B+C)=180-(45+120)=15sinsinBCACAB因为sin2.57sin45sinsin15BCBACA所以利用计算器算得利用计算器算得7.02(cm)AC 同理同理 8.60(cm)AB

5、 例题讲解例题讲解 例例2 在在 中，已知中，已知 ，求求b（保留两个有效数字）（保留两个有效数字）. . ABC 30,45,10CAc解：解： 且且CcBbsinsin 105)(180CAB1930sin105sin10sinsin CBcb例题讲解例题讲解 例例3 在在 中，已知中，已知 ，求求 .ABC 45,24, 4BbaA解：由解：由 BbAasinsin 得得 21sinsin bBaA 在在 中中 ABC ba A 为锐角为锐角 30A例题讲解例题讲解 例例4 在在 中，中， ， 求求 的面积的面积S ABC )13(2,60,45 aCBABC 解：解：180() AB

6、C75由正弦定理得由正弦定理得 4426)22)(13(2sinsin ABab326)23(4)13(221sin21 CabSABC 例题讲解例题讲解（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaA.sinsin BbAaBcoscos. AbBaC.sinsin AbBaDcoscos. CABC （2）在）在 中，若中，若 ，则，则 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三有形等边三有形2cos2cos2cosCcBbAa ABC D课内练习课内练习（3）在任一）在任一 中，求证：中，求证： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa证明：由于正弦定理：令证明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,s