数学物理方法(梁昆淼)chapt8

1、第八章 分离变数法(傅立叶级数法)分离变数法分离变数法:适用于大量的各种各样的定解问题分离变数法的基本思想分离变数法的基本思想:偏微分方程分离变数法分离变数法若干个常微分方程若干个常微分方程8.1 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法问题问题1:有限区间的自由振动问题,两端固定的均匀弦的自由振动.定解问题表示为泛定方程20ttxxua u00 xu边界条件0 x lu初始条件0( )tux0( )ttux齐次的波动方程两个第一类齐次边界条件例1 的解题步骤:1分离变数( , )( ) ( )u x tX x T t20ttxxua u0XX20Ta T00 xu0 x lu(0)0,X(

2、)0X l 本征值问题本征值:本征函数( )nXx( )nT t分离分离分离12解2 : 解22 求偏微分方程的本征解( , )( )( )nnnux tT t Xx3 求( , )u x t( , )( , )nu x tux t本征值4 通过初始条件确定叠加系数泛定方程20ttxxua u00 xu边界条件0 x lu初始条件0( )tux0( )ttux定解问题120txxua u一齐一齐00 xu0 x lu一齐一齐0( )tux波动方程输运方程( , )( ) ( )u x tX x T t分离变数分离变数0XX(0)0,X( )0X l 本征值问题本征值问题本征值本征值222nl本

3、征函数本征函数( )sinnn xXxCl1( , )( )sinnnn xu x tT tl泛定方程20ttxxua u00 xxu边界条件0 xx lu初始条件0( )tux0( )ttux定解问题220txxua u二齐二齐0( )tux00 xxu0 xx lu二齐二齐波动方程输运方程( , )( ) ( )u x tX x T t分离变数分离变数0XX(0)0,X( )0Xl 本征值问题本征值问题本征值本征值222nl本征函本征函数数( )cosnn xXxCl0( , )( )cosnnn xu x tT tl泛定方程20ttxxua u00 xu边界条件0 xx lu初始条件0(

4、 )tux0( )ttux定解问题320txxua u一齐二齐0( )tux00 xu0 xx lu二齐一齐波动方程输运方程( , )( ) ( )u x tX x T t分离变数分离变数0XX(0)0,X( )0Xl 本征值问题本征值问题本征值本征值222(21)4kl本征函数本征函数(21)( )sin2nkxXxCl0(21)( , )( )sin2nkkxu x tT tl泛定方程20ttxxua u0 x lu边界条件00 xxu初始条件0( )tux0( )ttux定解问题420txxua u一齐二齐0( )tux00 xxu0 x lu二齐一齐波动方程输运方程( , )( ) (

5、 )u x tX x T t分离变数分离变数0XX(0)0,X( )0X l 本征值问题本征值问题本征值本征值222(21)4kl本征函数本征函数(21)( )cos2nkxXxCl0(21)( , )( )cos2nkkxu x tT tl分离变数法有界区间I 第一类问题第一类问题: 齐次的泛定方程II 第二类问题第二类问题: 非齐次的泛定方程1. 边界条件为 “一齐”2.边界条件为 “二齐”3.边界条件为 “ 混齐”4 4 极坐标系中拉普拉斯方程带有周期性边界条件II 第三类问题第三类问题: 非齐次的边界条件I 第一类问题第一类问题: 齐次的泛定方程1. 边界条件为“ 一齐”本征值本征值2

6、22nl本征函数本征函数( )sinnnn xXxCl(1,2.)n I 第一类问题第一类问题: 齐次的泛定方程1. 边界条件为“ 一齐”本征值本征值222nl本征函数本征函数( )sinnnn xXxCl(1,2.)n a. 波动问题20ttxxua u00 xu0 x lu0( )tux0( )ttux(0)xl通解通解1( , )(cossin)sinnnnn atn atn xu x tABlll系数02( )sinlnn xAxdxll02( )sinlnn xBxdxn al( )nT t( )nXxb. 输运问题20txxua u00 xu0 x lu0( )tux(0)xl通解

7、通解22221( , )sinnatlnnn xu x tC el系数02( )sinlnn xCxdxll( )nT t( )nXx2. 边界条件为“ 二齐”本征值本征值222nl本征函数本征函数( )cosnnn xXxCl(0,1,2.)n a. 波动问题20ttxxua u00 xxu0 xx lu0( )tux0( )ttux通解通解001( , )(cossin)cosnnnn atn atn xu x tAB tABlll02( )coslnn xAxdxll02( )coslnn xBxdxn al001( )lAx dxl001( )lBx dxl系数(0)xlb. 输运问题

8、20txxua u00 xxu0 xx lu0( )tux(0)xl222201( , )cosnatlnnn xu x tCC el通解通解系数001( )lCx dxl02( )coslnn xCxdxll3. 边界条件为“ 混齐”本征值本征值21()2nl本征函数本征函数1()2( )sinnnnxXxCl(0,1,2.)n 00 xu0 xx lu121()2( )cosnnnxXxCl00 xxu0 x lu2120ttxxua u0( )tux0( )ttuxa. 波动问题12或21(0)xl0sin1/ 2(1/ 2)(1/ 2)( , )(cossin)cos1/ 2nnnnx

9、 lnatnatu x tABllnx l12210sin1/ 22( )cos1/ 2lnnx lAxdxlnx l0sin(1/ 2)2( )cos(1/ 2)(1/ 2)lnnx lBxdxnx lna12211221b. 输运问题(0)xl20txxua u12或210( )tux22222140sin 212 ( , )cos 212 natlnnnxlu x tC enxl12210sin 212 2( )cos 212 lnnxlCxdxlnxl通解系数1221定解问题20txxua u00 xu0 xx lu00tu xul保持零度绝热细杆导热问题初始时刻00u温度梯度均匀例题

10、：012012345x=l/4x=l/2x=lu(x,t)t2222(1/2)02201()212( , )( 1)sin1()2ka tklkkxuu x telk0.00.20.40.60.81.0012345t=1t=0.5t=0.2t=0.1t=0u(x,t)x/l2222(1/2)02201()212( , )( 1)sin1()2ka tklkkxuu x telk0.00.20.40.60.81.0012345t=1t=0.5t=0.2t=0.1 uxx/l4 极坐标系中极坐标系中拉普拉斯方程带有周期性边界条件( ,2 )( , )uu 2m本征值(0,1,2.)m 本征函数( )cossinmmmAmBm通解001( , )ln(cossin)mmmmuCDAmBm 1(cossin)mmmmCmDmI 第二类问题第二类问题: 非齐次的泛定方程方法一：傅立叶级数法方法二：冲量定理法冲量定理法适用的定解问题冲量定理法适用的定解问题2( , )ttxxua uf x t00 xxu0 xx lu00tu00ttu初