《函数项级数》ppt课件

1、 第一节 函数项级数的一致收敛性 第二节 一致收敛级数的判别与性质 第三节 幂级数 第四节 函数的幂级数展开 一、点态收敛一、点态收敛 二、函数项级数二、函数项级数(或函数序列或函数序列)的根本问题的根本问题 三、函数项级数三、函数项级数(或函数序列或函数序列)的一致收敛的一致收敛 一、点态收敛一、点态收敛思索含有参数的数项级数及其思索含有参数的数项级数及其收敛性。收敛性。.11nxn例如：)., 1 (11的收敛域为例如：nxn),1 , 1()(xS和函数),1 , 1。 1 , 1。xx1下面的例子阐明，在点态收敛的情况下，上述性质不一定成立。 一致收敛的判别一致收敛的判别 一致收敛级数

2、的性质一致收敛级数的性质 处处延续但处处不可导的例子处处延续但处处不可导的例子以下图显示不同参数所对应的Weierstrass函数的图像Weierstrass 的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生。所谓“分形” ，就是指几何上的一种“形” ，它的局部与整体按某种方式具有相似性。 “形”的这种性质又称为“自相似性” 。经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都

3、具有上面所述的“自相似性” 。如云彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等。这些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但可能处处不可导。因此“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的新的学科。一、幂级数的收敛半径一、幂级数的收敛半径 二、幂级数的性质二、幂级数的性质 幂级数 机动 目录 上页 下页 前往 终了 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为幂级数, 其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 幂级数1,110 xxxnn为幂级

4、数的系数 .即是此种情形.的情形, 即nnxxa)(0称 机动 目录 上页 下页 前往 终了 ox发 散发 散收 敛收敛 发散假设幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 那么对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 假设当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 那么对满足不等式证证: 设设00nnnxa, 0lim0nnnxa收敛, 那么必有),2, 1(0nMxann于是存在常数 M 0, 使阿贝尔 目录 上页 下页 前往 终了 当 时, 0 xx 00nnxxM收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛 .也收敛,反之, 假设当0 xx 时该幂级

5、数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点1x01xx0 x满足不等式0 xx 所以假设当0 xx 满足且使级数收敛 ,面的证明可知, 级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 那么对一切那么由前也应收敛, 与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0证毕机动 目录 上页 下页 前往 终了 幂级数在 (, +) 收敛 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为那么R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = 时,0 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R

6、 ) 加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径 ， 在R , R 能够收敛也能够发散 .Rx外发散; 在(R , R ) 称为收敛区间.ox发 散发 散收 敛收敛 发散机动 目录 上页 下页 前往 终了 xaaxaxannnnnnnn111limlim0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1) 假设 0,那么根据比值判别法可知:当,1x原级数收敛;当,1x原级数发散.x即1x时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即时,那么 1x机动 目录 上页 下页 前往 终了 2) 假设, 0那么根据比值判别法可知,;R绝对收敛 ,3) 假设,那么对除 x = 0

7、 以外的一切 x 原级发散 ,.0R对恣意 x 原级数因此因此 0nnnxa的收敛半径为阐明阐明: :据此定理据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径.1R机动 目录 上页 下页 前往 终了 对端点 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x = 1, 级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 . . 1, 1(故收敛域为 limn 机动 目录 上页 下页 前往 终了 .!)3(;!)2(;!1) 1 (000nnnnnnnxnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1

8、(limnn所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在 x = 0 处收敛 .! ) 1(1n机动 目录 上页 下页 前往 终了 .e1)3(Rnnxnn202) !(! )2(求幂级数的收敛半径 .解解: 级数短少奇次幂项级数短少奇次幂项,不能直接运用定理不能直接运用定理2,比值判别法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接由

9、机动 目录 上页 下页 前往 终了 12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解: 令令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当 t = 2 时, 级数为,11nn此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x机动 目录 上页 下页 前往 终了 定理定理. 设幂级数设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0n

10、nnnxbaRx ,0nnnxcRx 那么有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上结论可用部分和的极限证明 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径能够比原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为,R但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb0 x11机动 目录 上页 下页 前往 终了 nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数(证明见第六节)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnx

11、nnxdd)(000,110nnnxna),(RRx那么其和函在收敛域上延续, 且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分, 运算前后收敛半径一样: 注注: 逐项积分时逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.机动 目录 上页 下页 前往 终了 解解: 由例由例2可知级数的收敛半径可知级数的收敛半径 R+.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x那么11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函数 .因此得设机动 目录 上页 下页 前往 终了 1nnxn求幂级数的和

12、函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,机动 目录 上页 下页 前往 终了 01nnnx的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收敛 , 有时则当,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1机动 目录 上页 下页 前往 终了 ) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由

13、和函数的延续性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及机动 目录 上页 下页 前往 终了 .2) 1(122的和求数项级数nnn解解: 设设,1)(22nnnxxS那么, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2机动 目录 上页 下页 前往 终了 1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2

14、ln4385)0( x机动 目录 上页 下页 前往 终了 1. 求幂级数收敛域的方法1) 对规范型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非规范型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进展加、减与)0(0nnnnaxa也可经过换元化为规范型再求 .乘法运算. 机动 目录 上页 下页 前往 终了 2) 在收敛区间内幂级数的和函数延续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思索与练习思索与练习 1. 知知nnnxa00 xx 在处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答: 根据Abel 定理可知, 级数在

15、0 xx 收敛 ,0 xx 时发散 . 故收敛半径为.0 xR 机动 目录 上页 下页 前往 终了 2. 在幂级数在幂级数nnnnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 为奇数,23n 为偶数,61能否确定它的收敛半径不存在 ?由于nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x当2x时级数收敛 ,2x时级数发散 ,.2R阐明阐明: 可以证明可以证明比值判别法成立根值判别法成立机动 目录 上页 下页 前往 终了 , )(lim221nanaan其中. 1a解解: 令令nnanaaS221nkkak1作幂级数,1nnxn设其和为, )(xS易知其收敛半径为 1,那么1)

16、(nnxnxS11nnxnx1nnxxxxx12)1 (xxnnSlim)(1aS2) 1( aa机动 目录 上页 下页 前往 终了 两类问题: 在收敛域内和函数)(xSnnnxa0幂级数求 和展 开本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数的幂级数展开 机动 目录 上页 下页 前往 终了 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf那么在假设函数0)(x

17、xf在的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :机动 目录 上页 下页 前往 终了 )(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为f (x) 的泰勒级数 . 那么称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数能否为 f (x) ?假设函数的某邻域内具有恣意阶导数, 0)(xxf在机动 目录 上页 下页 前往 终了 各阶导数, )(0 x那么 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项

18、满足:.0)(limxRnn证明证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xx设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 前往 终了 假设 f (x) 能展成 x 的幂级数, 那么这种展开式是独一的 , 且与它的麦克劳林级数一样.证证: 设设 f (x) 所展成的幂级数为所展成的幂级数为),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn那么;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22

19、 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 显然结论成立 .)0(0fa 机动 目录 上页 下页 前往 终了 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数实际可知, 展开成幂级数的步函数)(xf第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内)(limxRnn能否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用知其级数展开式0. 的函数展开机动 目录 上页 下页 前往 终了 xexf)(展开成 x 的幂级数. 解解: ,)()(xnexf)

20、, 1 ,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x , 其他项满足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0与x 之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数 机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxfsin)(展开成 x 的幂级数.解解: )()(xfn)0()(nf得级数:x)sin(2nx其收敛半径为 ,R对任何有限数 x , 其他项满足 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x1

21、2! ) 12(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxx机动 目录 上页 下页 前往 终了 nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos类似可推出:),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx机动 目录 上页 下页 前往 终了 mxxf)1 ()(展开成 x 的幂级数, 其中m为恣意常数 . 解解: 易求出易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 级数 mx12!2) 1(xmm由于

22、1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对恣意常数 m, 机动 目录 上页 下页 前往 终了 11, )(xxF2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1 (xFx),(xmFmxxF)1 ()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F那么推导 目录 上页 下页 前往 终了 为防止研讨余项 , 设此级数的和函数为2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()1

23、1(x称为二项展开式 .阐明：阐明：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.机动 目录 上页 下页 前往 终了 由此得 对应1,2121m的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x机动 目录 上页 下页 前往 终了 ) 11(1112xxxxxn211x x11利用一些知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例4. 将函数将函数展开成 x 的幂

24、级数.解解: 由于由于nnxxx) 1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页 前往 终了 )1ln()(xxf展开成 x 的幂级数.解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn从 0 到 x 积分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定义且延续, 区间为.11x利用此题可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,有在而1)1ln(xx所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 前往 终了 xsin

25、展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的幂级数. 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x机动 目录 上页 下页 前往 终了 3412 xx展成 x1 的幂级数. 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1

26、机动 目录 上页 下页 前往 终了 1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及知展开2. 常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函数 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 ! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x)

27、1, 1(x) 1, 1(x机动 目录 上页 下页 前往 终了 1. 函数0)(xxf在处 “有泰勒级数 与 “能展成泰勒级数 有何不同 ?提示提示: 后者必需证明后者必需证明, 0)(limxRnn前者无此要求.2. 如何求xy2sin的幂级数 ?提示提示:xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(机动 目录 上页 下页 前往 终了 作业 P223 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 第五节 目录 上页 下页 前往 终了 )(xFm2!2)2)(1(111)(xmmxmmx

28、F)()1 (xFx211)(xmxmxFx1mxm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(nxnnmm!)() 1(nxnnmm! ) 1() 1() 1(将以下函数展开成 x 的幂级数xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()(fxf002d) 1(nxnnxx01212) 1(nnnxnx1 时, 此级数条件收敛,4)0(f,12) 1(4)(012nnnxnxf1, 1x因此 机动 目录 上页 下页 前往 终了 )1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn在x = 0处展为幂级数.)32ln(

29、)(2xxxf解解:)1ln(2ln)1ln()(23xxxf )1ln(x)32)(1 (322xxxx1nnnx) 11(x)1ln(23xnnnxn)(23) 1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)() 1(2311机动 目录 上页 下页 前往 终了 一、近似计算一、近似计算 二、欧拉公式二、欧拉公式函数幂级数展开式的运用函数幂级数展开式的运用 机动 目录 上页 下页 前往 终了 第十一章 mxxm1)1 (2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1()11(x例例1. 计算计算5240.104 32r8231

30、!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 准确到282811811131!254134105 . 013431518231!254112331!35941解解: 553243240514)1(331机动 目录 上页 下页 前往 终了 )11(432)1ln(432xxxxxx2ln的近似值 ,使准确到.104解解: 知知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,3

31、1x于是有机动 目录 上页 下页 前往 终了 9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上述展开式中取前四项, 机动 目录 上页 下页 前往 终了 xx11ln中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此递推公式可求出恣意正整数的对数 . 如53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n为自然数) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx机动 目录 上

32、页 下页 前往 终了 753)20(!71)20(!51)20(!312020sin,!3sin3xxx求9sin误差. 解解: 先把角度化为弧度先把角度化为弧度9(弧度)52)20(!51r5)2 . 0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646. 0157080. 03)20(!312020sin误差不超越 510的近似值 , 并估计91802015643. 0机动 目录 上页 下页 前往 终了 ( 取 xexd21201的近似值, 准确到)56419. 01解解:12xe!) 1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!) 1(20nxnnn0!)

33、 1(2nnnxxnd2021.104! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !) 1(2nnn1221n) 12(n机动 目录 上页 下页 前往 终了 !3721!252132111642xdex22102!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn那么 n 应满足4nxexd22120那么所求积分近似值为欲使截断误差5205. 0,4n取机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxxdsin10的近似值, 准确到.104解解: 由于由于, 1sinlim0 xxx故所给积分不是广义积分.假设定义被积函数在 x = 0 处的值为

34、1, 那么它在积分区间! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551! ) 12() 12() 1(nnn3r00167. 005556. 01上延续, 且有幂级数展开式 :!7714103 . 03528019461. 0机动 目录 上页 下页 前往 终了 )(1nnnviu 那么称 收敛 , 且其和为)(1nnnviu 绝对收敛,1nnu)(1nnnviu 收敛 .,1uunn,1vvnn假设nnnviu 1. viu 221nnnvu 收敛,假设对复数项级数,22nnnvuu22nnnvuv1nnv绝对收敛那么称 绝对收敛. 由于

35、, 故知 欧拉 目录 上页 下页 前往 终了 yixz的指数函数为)(!1!2112zznzzenz易证它在整个复平面上绝对收敛 .当 y = 0 时, 它与实指数函数xe当 x = 0 时,nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242! )2() 1(!41!211iycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyyi sin的幂级数展式一致.机动 目录 上页 下页 前往 终了 xixexisincosxixexisincos欧拉公式2cosxixieex也称欧拉公式利用欧拉公式可得复数的指数方式rxxyyoyixzyixzsincosir

36、ier那么ieexxixi2sin机动 目录 上页 下页 前往 终了 据此可得ni)sin(cosninsincos(德莫弗公式)利用幂级数的乘法, 不难验证2121zzzzeee特别有yixe)sin(cosyiyex),(Ryxyixeyixee )sin(cosyiyexxerxxyyoyixz作业作业 P229 1(2) , (4) ; 2 (2)第六节 目录 上页 下页 前往 终了 瑞士数学家. 他写了大量数学经典著作, 如, , 等, 为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理. 机动 目录 上页 下页 前往 终了 规范方式幂级数: 先求收敛半径 R

37、 , 再讨论Rx 非规范方式幂级数经过换元转化为规范方式直接用比值法或根值法处的敛散性 .P257 题7. 求以下级数的敛散区间:;)11 ()2(12nnnxn.2)4(21nnnxn练习练习:机动 目录 上页 下页 前往 终了 1 解解:nnnnnna)11 (limlim当ex1因此级数在端点发散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee时,12)11 ()2(nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛 .故收敛区间为机动 目录 上页 下页 前往 终了 nnnxn212)4()()(lim1xuxunnn解解: 因因) 1(2121

38、nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为. )2,2(级数收敛;普通项nun不趋于0,nlim级数发散; 机动 目录 上页 下页 前往 终了 .) 1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解: 分别思索偶次幂与奇次幂组成的级数分别思索偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径4121,minRRR留意: 机动 目录 上页 下页

39、前往 终了 求部分和式极限求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式在收敛区间内 数项级数 求和机动 目录 上页 下页 前往 终了 nnnxa0.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为易求出级数的收敛域为),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x机动 目录 上页 下页 前往 终了 先求出收敛区间, )(xS那么xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220