追击相遇问题1

1、V后V前问题一：问题一：两物体能追及的主要条件是什么？两物体能追及的主要条件是什么？能追及的特征：能追及的特征：两物体在追及过程两物体在追及过程中在中在同一时刻同一时刻处于处于同一位置同一位置后面物体的速度要大于前面物体的速度后面物体的速度要大于前面物体的速度问题二：问题二：解决追及问题的关键在哪？解决追及问题的关键在哪？关键：关键：位移关系、时间关系、速度关系位移关系、时间关系、速度关系1：位移关系：位移关系追及到时追及到时:前者位移前者位移+两物起始距离两物起始距离=后者位移后者位移2：时间关系：时间关系同时出发：同时出发：两物体运动时间相同。两物体运动时间相同。 思考：思考：两物体在同一

2、直线上同向作匀速两物体在同一直线上同向作匀速运动运动. .则两者之间距离如何变化则两者之间距离如何变化? ?3：速度关系：速度关系结论：结论： 当前者速度当前者速度等于等于后者时，两者距离后者时，两者距离不变不变。 当前者速度当前者速度大于大于后者时，两者距离后者时，两者距离增大增大。 当前者速度当前者速度小于小于后者时，两者距离后者时，两者距离减小减小。思考：思考：那匀变速直线运动呢？结论那匀变速直线运动呢？结论还成立吗？还成立吗？结论依然成立：结论依然成立： 当前者速度当前者速度等于等于后者时，两者距离后者时，两者距离不变不变。 当前者速度当前者速度大于大于后者时，两者距离后者时，两者距离

3、增大增大。 当前者速度当前者速度小于小于后者时，两者距离后者时，两者距离减小减小。问题三：问题三：解决追及问题的突破口在哪？解决追及问题的突破口在哪？突破口：突破口：研究两者研究两者速度相等速度相等时的情况时的情况 在追及过程中两物体在追及过程中两物体速度相速度相等等时，是能否追上或两者间距时，是能否追上或两者间距离有极值的离有极值的临界条件临界条件。常见题型一：常见题型一： 匀加速匀加速(速度小速度小)直线运动追及匀速直线运动追及匀速(速度大速度大)直线运动直线运动 开始两者距离开始两者距离增加增加，直到两者，直到两者速度相等速度相等，然后两者距离开始然后两者距离开始减小减小，直到，直到相遇

4、相遇，最后距，最后距离一直离一直增加增加。即能追及上且只能即能追及上且只能相遇一次相遇一次，两者之间，两者之间在追上前的在追上前的最大距离最大距离出现在两者出现在两者速度相速度相等等时。时。例例1：一小汽车从静止开始以一小汽车从静止开始以3m/s2的的加速度启动，恰有一自行车以加速度启动，恰有一自行车以6m/s的的速度从车边匀速驶过，速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多时间后两者距离最远？此时距离是多少？少？（2）经过多长时间汽车能追上自行）经过多长时间汽车能追上自行车？车？此时汽车的速度是多少？此时汽车的速度是多少？

5、解法一：解法一：物理分析法物理分析法(1)解：解：当汽车的速度与自行车的速度相等时，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。由上述分析可知当两车两车之间的距离最大。由上述分析可知当两车之间的距离最大时有：之间的距离最大时有： v汽汽atv自自 tv自自 /a6/32sx自自v自自t x汽汽 at2/2xmx自自x汽汽xmv自自tat2/262322/26m例例1：一小汽车从静止开始以一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的的速度从车边匀速驶过，（速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距）汽车在追上自行

6、车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？离最远？此时距离是多少？例例1：一小汽车从静止开始以一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？间后两者距离最远？此时距离是多少？解法二：解法二：数学极值法数学极值法(1)解：解：设经过时间设经过时间t 汽车和自行车之间的距离汽车和自行车之间的距离xxx自自x汽汽v自自tat2/26t3t2/2二次函数求极值的条件可知：二次函数求极值的条件可知：当当 tb

7、/2a6/32s 时，时，两车之间的距离有极大值，两车之间的距离有极大值，且且 xm62322/26m(1)解：当解：当 tt0 时矩形与三角形的面积之差最大时矩形与三角形的面积之差最大。xm6t0/2 （1）因为汽车的速度图线的斜率等于因为汽车的速度图线的斜率等于汽车的加速度大小汽车的加速度大小a6/t0 t06/a6/32s （2）由上面（由上面（1）、（）、（2）两式可得）两式可得 xm6m 例例1：一小汽车从静止开始以一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多

8、长时）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？间后两者距离最远？此时距离是多少？解法三：解法三：图像法图像法例例1：一小汽车从静止开始以一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（的速度从车边匀速驶过，（2）经过多长时间汽车能追上自行车？）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？此时汽车的速度是多少？ v自自t at2/2 6t3t2/2 t4s v汽汽at12m/s(2)解：解：汽车追上自行车时两者位移相等汽车追上自行车时两者位移相等解法一：解法一：物理分析法物理分析法解法二：数学极值

9、法解法二：数学极值法例例1：一小汽车从静止开始以一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（的速度从车边匀速驶过，（2）经过多长时间汽车能追上自行车？）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？此时汽车的速度是多少？xx自自x汽汽v自自tat2/26t3t2/2=0 t=4s v汽汽at12m/s(2)解：解：汽车追上自行车时两者位移相等，汽车追上自行车时两者位移相等， 即即x=0例例1：一小汽车从静止开始以一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车

10、边匀速驶过，（的速度从车边匀速驶过，（2）经过多长时间汽车能追上自行车？）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？此时汽车的速度是多少？解法三：解法三：图像法图像法t由图象可知，经过由图象可知，经过ts自自行车和汽车的位移相等，行车和汽车的位移相等，即即Vt图象围成的面积图象围成的面积相等，相等， 6t3t2/2 t4s v汽汽at12m/s常见题型二：常见题型二：匀速直线运动匀速直线运动追及追及匀加速直线运动匀加速直线运动 （两者相距一定距离，开始时匀速运动的速度大）（两者相距一定距离，开始时匀速运动的速度大） 开始两者距离开始两者距离减小减小，直到两者，直到两者速度相等速度相等

11、，然后两者距离开始然后两者距离开始增加增加。所以：。所以：到达同一位置前到达同一位置前,速度相等，速度相等，则追不上。则追不上。到达同一位置时到达同一位置时,速度相等，速度相等，则只能相遇一次。则只能相遇一次。到达同一位置时，到达同一位置时， v加加 v匀匀，则相遇两次。则相遇两次。例例2、车从静止开始以车从静止开始以1m/s2的加速度的加速度前进，车后相距前进，车后相距x0为为25m处，某人同处，某人同时开始以时开始以6m/s的速度匀速追车，能的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。最小距离。 解析：解析：依题意依题意,人与车运动的时间相等人与

12、车运动的时间相等,设为设为t, 当人追上车时当人追上车时,两者之间的位移关系为：两者之间的位移关系为： x人人x0 x车车 即：即： v人人tx0at2/2由此方程求解由此方程求解t,若有解若有解,则可追上则可追上;若无解若无解;则则不能追上。不能追上。代入数据并整理得：代入数据并整理得： t212t500 b24ac122450560 所以，人追不上车。所以，人追不上车。 在刚开始追车时在刚开始追车时,由于人的速度大于车由于人的速度大于车的速度的速度,因此人车间的距离逐渐减小因此人车间的距离逐渐减小;当车速当车速大于人的速度时大于人的速度时,人车间的距离逐渐增大人车间的距离逐渐增大因因此此,

13、当人车速度相等时当人车速度相等时,两者间距离最小两者间距离最小 at6 t6s 在这段时间里，人、车的位移分别为：在这段时间里，人、车的位移分别为： x人人v人人t6636m x车车at2/2162/218m xx0 x车车x人人2518367m题型三：题型三：速度大速度大的匀减速直线运动追的匀减速直线运动追速度小速度小的的匀速运动：匀速运动：当两者速度相等时当两者速度相等时, ,若追者仍未追上被追者，若追者仍未追上被追者，则永远则永远追不上追不上, ,此时两者有此时两者有最小距离最小距离。若追上时若追上时,两者速度刚好相等两者速度刚好相等,则称恰能则称恰能相遇相遇,也是两者避免碰撞的也是两者

14、避免碰撞的临界条件临界条件。若追上时，追者速度仍大于被追者的速度若追上时，追者速度仍大于被追者的速度,(若若不出现碰撞不出现碰撞)则先前的被追者还有一次追上先前则先前的被追者还有一次追上先前的追者的机会的追者的机会,其间其间速度相等速度相等时时,两者相距最远两者相距最远解答：设经时间解答：设经时间t追上。依题意：追上。依题意： v甲甲tat2/2Lv乙乙t 15tt2/2329t t16s t4s (舍去舍去) 甲车刹车后经甲车刹车后经16s追上乙车追上乙车 例例2、甲车在前以甲车在前以15 m/s的速度匀速行驶，乙车的速度匀速行驶，乙车在后以在后以9 m/s的速度匀速行驶。当两车相距的速度匀

15、速行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问经。问经多少时间乙车可追上甲车？多少时间乙车可追上甲车？解答：甲车停止后乙再追上甲。解答：甲车停止后乙再追上甲。 甲车刹车的位移甲车刹车的位移 x甲甲v02/2a152/2112.5m 乙车的总位移乙车的总位移 x乙乙x甲甲32144.5m tx乙乙/v乙乙144.5/916.06s 例例2、甲车在前以甲车在前以15 m/s的速度匀速行驶，乙的速度匀速行驶，乙车在后以车在后以9 m/s的速度匀速行驶。当两车相距的速度匀速行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为时，甲车开始刹车，加速度大

16、小为1m/s2。问经多少时间乙车可追上甲车？问经多少时间乙车可追上甲车？例例3、 A、B两车沿同一直线向同一方向运动两车沿同一直线向同一方向运动,A车车的速度的速度vA4 m/s,B车的速度车的速度vB10 m/s.当当B车运车运动至动至A车前方车前方7 m处时处时,B车以车以a2 m/s2的加速度开的加速度开始做匀减速运动始做匀减速运动,从该时刻开始计时从该时刻开始计时,则则A车追上车追上B车需要多长时间车需要多长时间?在在A车追上车追上B车之前车之前,二者之间的二者之间的最大距离是多少？最大距离是多少？解答：设经时间解答：设经时间t追上。依题意：追上。依题意： vBtat2/2x0vAt

17、10tt274t t7s t1s (舍去舍去) A车刹车后经车刹车后经7s追上乙车追上乙车解答：解答：B车停止后车停止后A车再追上车再追上B车。车。 B车刹车的位移车刹车的位移 xBvB2/2a102/425m A车的总位移车的总位移 xAxB732m txA/vA32/48s vAvBatT6/23sxx0 xBxA7211216m例例3、 A、B两车沿同一直线向同一方向运动两车沿同一直线向同一方向运动,A车车的速度的速度vA4 m/s,B车的速度车的速度vB10 m/s.当当B车运车运动至动至A车前方车前方7 m处时处时,B车以车以a2 m/s2的加速度开的加速度开始做匀减速运动始做匀减速

18、运动,从该时刻开始计时从该时刻开始计时,则则A车追上车追上B车需要多长时间车需要多长时间?在在A车追上车追上B车之前车之前,二者之间的二者之间的最大距离是多少？最大距离是多少？题型四：速度大题型四：速度大的匀速运动追的匀速运动追速度小速度小的匀的匀减速直线运动减速直线运动两者距离一直变小，一定能追上。要注意两者距离一直变小，一定能追上。要注意追上时，匀减速运动的速度是否为零。追上时，匀减速运动的速度是否为零。题型五：题型五：匀变速运动追匀变速运动匀变速运动追匀变速运动总结：总结：解答追及，相遇问题时，首先根据速解答追及，相遇问题时，首先根据速度的大小关系判断两者的距离如何变度的大小关系判断两者

19、的距离如何变化，把整个运动过程分析清楚，再注化，把整个运动过程分析清楚，再注意明确两物体的意明确两物体的位移关系、时间关系、位移关系、时间关系、速度关系速度关系，这些关系是我们根据相关，这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据。运动学公式列方程的依据。（2）常用方法常用方法 1 1、物理解析法、物理解析法 2 2、数学极值法、数学极值法 3 3、图像法、图像法 4 4、相对运动法、相对运动法1、甲乙两车同时同向从同一地点、甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以出发，甲车以v116m/s的初速度，的初速度，a12m/s2的加速度作匀减速直线的加速度作匀减速直线运动运动,乙车以乙车以v24m/

20、s的速度的速度, a21m/s2的加速度作匀加速直线运动，的加速度作匀加速直线运动，求两车相遇前两车相距最大距离和求两车相遇前两车相距最大距离和相遇时两车运动的时间。相遇时两车运动的时间。 解法一解法一(物理公式法）：当两车速度相同时物理公式法）：当两车速度相同时,两车相距两车相距最远最远,此时两车运动时间为此时两车运动时间为t1，两车速度为，两车速度为v对甲车：对甲车： vv1a1t1对乙车：对乙车： vv2a2t1两式联立得两式联立得 t1(v1v2)/(a2a1)4s此时两车相距此时两车相距 xx1x2(v1t1a1t12/2)(v2t1a2t12/2)24m当乙车追上甲车时，两车位移均

21、为当乙车追上甲车时，两车位移均为x，运动时间为，运动时间为t，则：则：v1ta1t2/2v2t2 a2t2/2得得 t8s 或或 t0(出发时刻，舍去。出发时刻，舍去。) 解法二（数学函数法）：解法二（数学函数法）：甲车位移甲车位移 x1v1ta1t2/2乙车位移乙车位移 x2v2ta2t2/2某一时刻两车相距为某一时刻两车相距为x x x1x2 (v1ta1t2/2)(v2ta2t2/2) 12t3t2/2当当tb/2a 时，即时，即 t4s 时，两车相距最远时，两车相距最远 x124342/224m当两车相遇时，当两车相遇时，x0，即，即12t3t2/20 t8s 或或 t0(舍去舍去)2

22、、一列火车以、一列火车以v1的速度直线行驶的速度直线行驶,司机忽然司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为发现在正前方同一轨道上距车为x处有另一处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速做匀速运动运动,于是他立即刹车于是他立即刹车,为使两车不致相撞为使两车不致相撞,则则a应满足什么条件？应满足什么条件？ 方法方法1：设两车经过时间：设两车经过时间t相遇，则相遇，则 v1tat2/2v2tx化简得：化简得：at22(v1v2)t2x0当当 4(v1 v2)2 8ax0即即a(v1v2)2/2x时，时，t无解，即两车不相撞无解，即两车不相撞. 方法方法2：当两车速度

23、相等时，恰好相遇，是：当两车速度相等时，恰好相遇，是两车相撞的临界情况，则两车相撞的临界情况，则 v1atv2 v1tat2/2v2tx解得解得 a(v1v2)2/2x为使两车不相撞，应使为使两车不相撞，应使 a(v1v2)2/2x2、一列火车以、一列火车以v1的速度直线行驶的速度直线行驶,司机忽然司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为发现在正前方同一轨道上距车为x处有另一处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速做匀速运动运动,于是他立即刹车于是他立即刹车,为使两车不致相撞为使两车不致相撞,则则a应满足什么条件？应满足什么条件？ 方法方法3: 后面的车相对前

24、面的车做匀减速运动，初状后面的车相对前面的车做匀减速运动，初状态相对速度为态相对速度为(v1v2)，当两车速度相等时，相对速度，当两车速度相等时，相对速度为零，为零， 根据根据 vt2v022ax ，为使两车不相撞，应有，为使两车不相撞，应有 (v1v2)2 2ax a (v1v2)2/2x2、一列火车以、一列火车以v1的速度直线行驶的速度直线行驶,司机忽然司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为发现在正前方同一轨道上距车为x处有另一处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速做匀速运动运动,于是他立即刹车于是他立即刹车,为使两车不致相撞为使两车不致相撞,则则a应

25、满足什么条件？应满足什么条件？ 3、在一条公路上并排停着、在一条公路上并排停着A、B两车，两车，A车车先启动，加速度先启动，加速度a120m/s2，B车晚车晚3s启动，启动，加速度加速度a230m/s2，以，以A启动为计时起点，启动为计时起点，问：在问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？最远？这个距离是多少？ 解一、两车速度相等时，相距最远。解一、两车速度相等时，相距最远。 a1ta2(t3)得得 t9s xa1t2/2a2(t3)2/2270m解二、解二、 xa1t2/2a2(t3)2/2 5t290t135 5(t218t27)二次项系数为负

26、，有极大值。二次项系数为负，有极大值。 x5(t9)2270当当t9s时，时，x有极大值，有极大值，x270m3、在一条公路上并排停着、在一条公路上并排停着A、B两车，两车，A车车先启动，加速度先启动，加速度a120m/s2，B车晚车晚3s启动，启动，加速度加速度a230m/s2，以，以A启动为计时起点，启动为计时起点，问：在问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？最远？这个距离是多少？ 解三、用图象法。解三、用图象法。作出作出vt图象。由图可知，图象。由图可知，在在t9s时相遇。时相遇。x即为图中斜三角形的面积。即为图中斜三角形的面积。x3180

27、/2270m 3、在一条公路上并排停着、在一条公路上并排停着A、B两车，两车，A车车先启动，加速度先启动，加速度a120m/s2，B车晚车晚3s启动，启动，加速度加速度a230m/s2，以，以A启动为计时起点，启动为计时起点，问：在问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？最远？这个距离是多少？ 4、A、B两车在一条水平直线上同向匀速两车在一条水平直线上同向匀速行驶行驶,B车在前车在前,车速车速v210m/s,A车在后车在后,车速车速v120m/s,当当A、B相距相距100m时时,A车用恒定车用恒定的加速度的加速度a减速减速.求求a为何值时为何值时,A车与车与B车相车相遇时不相撞。遇时不相撞。解一：分析法。解一：分