艺术生高考数学专题讲义：考点7指数与指数函数

1、考点七指数与指数函数知识梳理1.根式 如果a= xn，那么x叫做a的n次实数方根(n>1且n C N*),当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的 n次实数方根是一个负数，记为： 露；当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为: a叫做被开方数.±%.式子%叫做根式，其中n叫做根指数,(1)两个重要公式a (n为奇数)， n/a=i|a|='a (a> 0),a (a<0)(n为偶数)；(na)n=a(注意a必须使胴有意义).(2)0的任何次方根都是 0.(3)负数没有偶次方根.2.分数指数哥(1)分数指数哥的概念：m正分数指数哥

2、：a n = n/am(a>0, m, nC N ,且n>1).m负分数指数哥：a"n =m=一(a>0, m, nCN*,且n>1).a nam0的正分数指数哥等于0,0的负分数指数哥没有意义.(2)有理数指数哥的性质：aras= ar+s(a>0, r, sC Q)；但尸 ars(a>0, r, sC Q)；(ab)r = arbr(a>0, b>0 , rCQ).3 .无理数指数募一般地，无理数指数哥ar(a>0, r是无理数)是一个确定的实数.有理数指数哥的运算性质同 样适用于无理数指数哥.4 .指数函数的图象与性质xy

3、= aa>10<a<1图象7科 1)vHd i，定义域R值域(0, +00)性质过点（0,1）,即x=0时y=1当 x>0 时，y>1;当 x<0 时，0<y<1当 x>0 时，0<y<1 ;当 x<0 时，y>1是R上的增函数是R上的减函数典例剖析题型一指数哥的化简与求值例1 "二力的值是.答案 3解析 ，变式训练下列各式正确的是.（填序号） a°= 1-4产=-4:禧=m 3飞展=3答案解析 根据根式的性质可知 正确.涧=1阿，a=1条件为（aw。）故、错.例2化简或求值1 10.064 3_

4、1介十16。作十。2111（a3 b 1 ） 2 a 2 b3（2）6a b5解析 （1）原式=丁，J -+ i.。5-.0.4-1 - 1 + 8 + i=5 1= - + 7+ =106 2.1111aN2 a，3-1-1-11（2）原式=-=a 3 2 6 b 2 3 6 =-aa6b6解题要点指数募运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减，负指数哥化成正指数哥的倒数.(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数哥， 尽可能用塞的形式表示， 运用指数塞的运算性质来解答.题型二指

5、数函数的图象和性质例3函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中 a, b为常数，则下列结论正确的是 .(填 序号) a>1, b<0 a>1, b>0 0<a<1, b>0 0<a<1, b<0答案解析 由f(x) = ax b的图象可以观察出函数f(x)= ax b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x) = ax-b的图象是在f(x) = ax的基础上向左平移得到的，所以 b<0.变式训练 指数函数y=。" *十1恒过的定点为.2答案(U 2)解析由函数y=ax恒过(0, 1)点，_ 2可得当

6、3x 2=0,即时，y=2恒成立，故函数恒过点(3, 2).2故答案为：(' 2).题型三指数值的大小比较当=产，y2 - 8° 43为=价仃例4答案设"工3，则yi、V2、V3的大小关系是yi>y3>y2因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以yi>y3>y2.,则x的取值范围是解析原不等式可化为,而指数函数y=05 Ri所以x<- 3.解题要点 比较大小时，首先要观察有无同底或是同指数的，若指数相同，底数不同,利用募函数的单调性；若底数相同,指数不同，则利用指数函数的单调性;若底数不同,指数也不同，应寻找中间值 (常用0,1)

7、进行比较.答案12.12332解析函数xi是减函数，由2>3,知123又-2-T =31"1反21.31的性质，知21. 1 工 1 1,故1 >1- I231 2 所以1311 2< 311 "< I 2当堂练习1.的大小关系是2 .函数y= a"3+3恒过定点答案 (3, 4) 解析 当x=3时，f(3) = a3 3+3=4,所以f(x)必过定点(3, 4).3 .已知f(x) = 3x b(2<x<4, b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域答案1,9 解析 由f(x)过定点(2,1)可知b=2,因f(x)=

8、 3x 2在2,4上是增函数，f(x)min = f(2) = 1, f(x) max=f(4) = 9.4 .化简L的结果是答案.5 .若指数函数y=(a 2)x在(°°, +°°让是减函数，那么解得答案 A解析.一指数函数y=(a 2)x在(一00, +8)上是减函数,.0<a-2< 1,解得 2V a<3.课后作业填空题 1.设集合 A=x|X-1|<2 , B=yy = 2x, xC0, 2,则 AAB= 答案1, 3)解析 由 |x1|<2,解得一1<x<3,由 y=2X, xC 0,2,解得 1WyW

9、4, .An B=( 1,3)n 1,4 = 1,3).2,若a=6:尸，b= !3；口，c= !：尸，则a、b、c的大小关系是答案 c<b<a解析由y= I;)在R上单调递减，知 g ) 4 < |:)3 , 444而方"弓尸' 所以。尸< 3尸 < 少.即 c<b<a.2,27)3 度3.464的值为.答案04.飞S -小+3的值是 .答案。或2(ab)解析当 ab>0 时，原式=a- b+ a- b= 2(a- b);当 ab<0 时，原式=ba+a b= 0.5.设 a = 40.7, b= 0.30.5, c=

10、log23,则 a、b、c 的大小关系是 答案 b<c<a1斛析a=4 >4=2,0<b=0.3 <1,1<c= log23<2,所以 b<c<a .6.函数 f(x) = 4i2x+ j 1的定义域为Vx+3答案 (3,0解析若使函数有意义,1-2x>0,解得一3<x< 0.x+ 3>07 .已知 f(x) = 2x+2 x,答案 7f(a) = 3,则 f(2a)等于2a+2=9,即 22a+2 2a=7, f(2a)= 7.a的取值范围是解析 因为指数函数y=(a= 2)x在xC R上是减函数,所以有0vaI2

11、V 1,解得 2< a< 3,即解析 由f(a)=3得2a+2-a=3,两边平方得22a+28 .如果指数函数 y=(a 2)x在xC R上是减函数，则答案 (2, 3)a的取值范围为(2, 3).9 .函数y=ax 1+1过定点答案 (1, 2)y=ax1+1=1+1=2 ,解析,函数f(x)=ax过定点(0, 1),当x1=0时，x=1 ,故丫=2、1+1过定点(1, 2).故答案为：(1, 2).10.函数y =-1 -1的定义域是<9 J答案 (8, 0解析由题意得(9)x-1>0,即(9)x> 1, x<0.11 .计算：243X3/15x6/12 =答案 61解析原式=2X32 X3二 二 二(2) 3 X 126 = 2X 3 2 X 31X2 = 2X 3二、解答题12 .计算下列各式的值-1 (口 L5 ">< E + 80.25xv- +12(2):二.O至3 =2+4X27=110;.、解析 (1)原式=31二各一3尸+各2(2)原式，8?13 .函数f(x)=ax(a>0,且aw优区间1,2上的最大值比最小值大求a的值.解析 当 a>1 时，f(x) = ax为增函数，在 xC 1,2上,f(x)最大=f(2)= a2, f(x)最小