直线的交点坐标及距离公式习题

1、直线的交点坐标与距离公式习题（含答案）一、单选题 f1 .已知u满足遇时,z =本+ by（曲之b :- 0）的最大值为2，则直线nx + hy - I - 0过定 点（）A. 3I）B.（3）C. （13）D. （-3J）x2 y2 -|h S I2 .椭圆164上的点到直线k+为.V5二0的最大距离为（）A. 3 B. Kl-iC. 2啦D.丽3 .数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知 AABC的顶点|A（NU）,B（Q4）,若其欧拉线的方程为 犬. + 2-d， 则顶点C的坐标为（）A. C-A0）| bOI）C.3 5QD.

2、（-42）14 .若点（2, k）到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是（）5 7A. 1 B. -3 C. 1 或 D. -3 或15 .已知直线x + mv + 6 -力和（m - 2）x +打+ 2m -。互相平行，则实数m的取值为（）A. -1 或 3 B. -1C. -3D. 1 或36 .在空间直角坐标系O-W，中，若点AU匚1）,风-3, - L4）|,点匕是点|a关于xOy|平面的 对称点，则A.运 B. V咏C.屈D.7 .已知直线卜-1次4蓊+ 7二。与直线次二。互相平行，则自二（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 98 .已知双曲线 上：&-&二的左、右焦点分

3、别为%i, F；,以线段入用为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 P ,且P满足|PFi . |P皮产2b，则U的离心率 满足（）A. / -先冬】=0 B. e1 - 3e: + J = 0C.r- e - I =0 D. e1 - e3 - 1 = 09 .已知点P（mm）在直线生+ y + 1 - U上运动，则血耳温的最小值为（）A. V B. 5C. 7D. 5二、填空题10 .已知直线m的倾斜角为:，直线1： kx-y=0,若由m,则实数k|的值为.11 .经过点M 2,1且与直线3x y 8 0垂直的直线方程为 .12 .设改口口X是函数 =(图象上的动点，当点F到直线v二

4、煞-1的距离最小时，_ .13 .与直线 料/4y - 5平行，并且距离等于 3的直线方程是 .14 .已知直线Gi + 3)x-4 = 0和直线k(乱一】卜+4 = 0互相垂直，则实数 b的值为 ,15 .直线2 - v - 1-d与直线6工知+ 10 = H的距离是.16 .已知直线 |ax - 2y - 1 = Q,直线2+ y = 2 二 0 ,则 11 过定点 ；当|a 时，11与1工平行.,1*,.11 Ixi*yi-ll |x2y2*ll17 .已知实数乂1$21】押2满足工厂+兴工=1.X丁 + /=13】乂工+ 12=3，贝卜飞一十一布一1 的最大值为18 .点(-1,1)关

5、于直线XT-1=0的对称点是 .三、解答题19 .如图：已知.1 9是圆/二4与其轴的交点，为直线以二上的动点，|PA,PB 与圆的另一个交点分别为M.N,(1)若P点坐标为0.6),求直线VLN的方程；(2)求证：直线MN过定点.20 .已知椭圆C。一3二时，门7、曲是其左右焦点， Ai?、A上为其左右顶点， UiLB工为其上下顶点，若BiFiO=：, pg=之一小(1)求椭圆亡的方程；(2)过Ai九A:分别作工轴的垂线h?，椭圆匕的一条切线 以二kx4m?(kf 0)，1与I1？:交 于 W、N 二点，求证：zJvUiN =.21 .已知ABC的三个顶点蜕2J), C(-23).(I)求B

6、C边所在直线方程；(n)U边上中线 AD的方程为2x-3v+ 6=0,且3八.铀0 =7,求m, n的值.22 .光线通过点A(23L在直线lx + y+ 1 -。上反射，反射光线经过点|b(1J)|.(1)求点k(2.为关于直线1对称点的坐标；(2)求反射光线所在直线的一般式方程.23 .已知直线 11:2x y 2 0； l2：mx 4y n 0.(1)若li I2,求m的值.(2)若11 / /12,且他们的距离为 75,求m,n的值.24 .选修4.4:坐标系与参数方程选讲在直角坐标系kQ中，曲线:F y-、就;电(1为参数).以0为极点x|轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线c二的极

7、坐标方程为p-耻g日,直线的极坐标方程为白= ；(、ER).(I )求曲线C】的极坐标方程与直线的直角坐标方程；(n )若直线与etcM在第一象限分别交于 AB两点尸为氏上的动点，求IPAB面积的最大 值.25 .如图，在平面直角坐标系 卜为中，圆O|: F +4与“轴的正半轴交于点W,以点A为圆心的圆N： (2去严与圆。交于B，C两点.(1)当=Y=时，求Be的长；(2)当t变化时，求旧.短的最小值；(3)过点的直线与圆A切于点口，与圆0分别交于点归，卜，若点|e是DF的中点，4(1)求直线1的方程.(2)求与直线1平行，且过点 2,3的直线方程.(3)求与直线1垂直，且过点 2,3的直线方

8、程.27.如图，已知三角形的顶点为A(2,4), B(0, 2), q 2,3),求:(1)直线AB的方程；(2) AB边上的高所在直线的方程；(3)AB的中位线所在的直线方程.的坐标，代入目标函数得到的关系，再代入直线ax + by一 1 -。由直线系方程得答案.参考答案【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解详解:可行域，如图所示，数学结合可知在点B(6,2)处取得最大值，命; 2b -,即：3a + b -H 2( UbyM之h 。)，得,工砂十1直线|ax + by * 1 = 0过定点GJ)故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合

9、的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题.2. D【解析】椭圆方程为&十I=二可设椭圆上的任意一点 P坐标为(4ms鬼窝mxh P到直线 164a+2y-!2 = 0的 距 离 I 7小|,r庐三 百f 回斗修口电十3 “笆3闽三VmJd的最大值为，故选D.3. A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程， 求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】仆* E J *叫设C (m, n),由重心坐标公式得，三角形 ABC的重心为I丁,丁1代入欧拉线方程得:三“一誓十2 =

10、 整理得： m-n+4=0AB的中点为（1, 2） , kAB = =.2AB的中垂线方程为卜, 2 = ；（x - 1）,fx 4 2V 4 3 0 fx 4 1即 x-2y+3=0.联立耳 _ j% 2 - 0 解得y-1 ABC 的外心为（-1, 1）.则（m+1） 2+ （n-1） 2=32+12=10,整理得： m2+n2+2m-2n=8 联立 得：m=-4, n=0或m=0, n=4.当m=0, n=4时B, C重合，舍去.顶点C的坐标是（-4, 0）.故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法： 直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程.待定系数

11、法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等.4. D【解析】【分析】2-九 Ia+ 6由题得 已心=七 解方程即得k的值.【详解】llk+ 61hi由题得才=4,解方程即得k=-3或1故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能3rA J B?力.(2)点到直线1;Ax 4 By4C的距离.=5. B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】两条直线x+my+6=0和(m - 2) x+3y+2m=0互相平行,解得m= - 1,故选：B.【点睛】已知两

12、直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知 + Biy + Ci =。，IzA求 + Biy - Ca = U，M.r; J AA101 , 则2，A 心 _ A H 0，Ji -L I4A1A2+ B1B2 = 06. D【解析】【分析】由对称性先求点 C的坐标为（】,?：-】,再根据空间中两点之间距离公式计算|BC|。【详解】由对称性可知，点 C的坐标为D,结合空间中两点之间距离公式可得：=- 1）、斗（-1 -交（4+ 1尸=55.故选D.【点睛】本题考查了空间中对称点的坐标关系及两点间距离公式，属于基础题。7. B【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得- =

13、 -2,解方程求a的值.【详解】直线（a - 1次+ 3丫 4 7=n与直线2x 4 y - 3=。互相平行，它们的斜率相等， = 2,a=7,故选B.【点睛】本题考查两直线平行的性质，两直线平行可得斜率相等.8. D【解析】分析：联立圆与渐近线方程，求得 M的坐标，由IPF1I - |PF：|=2b,得点P在双曲线 右支上，代入双曲线方程化简即可求.详解：由,得匕二涓,即 PSb),由 |PR| - |PFR = 2b ,即V(a 1-+ b:-儡-城 + b* - 2b,由产=/ -/u =:,化简得即人一二9故选D.点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式， 考查计算能力，

14、属于中档题.9. C【解析】分析：11112 4 rl:的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，由点到直线的距离公式可得结果.详解：丁点P(mji)是直线2x 4 y * 1二。上的任意一点，又小。八的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，小十小的最小值为原点到直线距离的平方，.1,所求最小值为(正知/二(故选C.点睛：本题考查点到直线的距离公式，意在考查转化与划归思想，是基础题10. 跖.【解析】分析：根据两直线平行的等价条件可得斜率卜的值.详解：二.直线m的倾斜角为:直线n】的斜率为tan= 3.又1g点睛：本题考查两直线平行的性质，即两直线的斜率存在时， 则两直线平行等价于两直线的斜率相

15、等.11. x 3y 5 0【解析】设所求直线为x 3y m 0,代入2,1得m 5,故所求直线方程为x3y5 0,填 x3y50.12【解析】【分析】由点到直线的距离公式求得 卜为何值时，距离最小.【详解】是函数（二（图象上的动点，则点|p到直线 VX-1的距离为 口1| T PVF-*当n =：时，d取得最小值.故答案为：之.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题.13 .# 1U 或汰 + 4丫 - 20 - 0.【解析】分析：设所求直线为3x+4y+m=0,直线3x+4y=5即为3x+4y-5=0,运用两平行直线的距离公式，得到 m的方程计算即可得到所求方程.详解：设所

16、求直线为 3x+4y+m=0,直线 3x+4y=5 即为 3x+4y- 5=0,则由平行直线的距离公式可得d=1=3,解得m=10或-20.则有所求直线为 3x+4y+10=0,或3x+4y - 20=0.故答案为：3x+4y+10=0,或 3x+4y- 20=0.点睛：这个题目考查的是平行线间的距离公式，考查了学生计算能力，较为基础，在使用两平行线的距离公式前，先将x,y的系数化为一样的.14 . -1【解析】【分析】利用直线垂直的性质求解.直线(a+ y - 4 = 0和直线 x- (a* l)y + 4 =。互相垂直,(a+3) x 1+1 (-1) =0,解得a=-1.故答案为：-1.

17、【点睛】两直线位置关系的判断：li：A】K+Bly + Ci =。和+B河十C二二U的平行和垂直的条件属 于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：必二。；平行：IaiBn二A1B1,同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！15 .即5【解析】分析：把直线方程20化为6x - 3y - 3 - ”，利用两平行线之间的距离公式，即可求解结果.详解：由直线2m - y -1=0,可化为6k -的-3二0 ,I -3 -SI 13 H则直线版判. 3 -b和直线+ 10-。之间的距离d =的2 =小.点睛：本题主要考查了两平行线之间的距离的求解，其中熟记两平行线

18、之间的距离公式是解 答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.16 .协-2磔【解析】分析：将直线1的方程变形为fix -(2y + 1) = 0,令k二0且R 4 1二。可得定点坐标; 根据两直线平行的等价条件可得|a的值.详解：直线1的方程变形为邛_(%+ 1)-0,令12y十1口,解得v =二, 所以直线 加定点(o,-b.当h与匕平行时，则有方=-2解得即卜=-23时，卜1与匕平行点睛：直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时， 先把直线方程整理成:fD-kg （k为参数）的形式，解方程组 优L：；可得定点的坐标.17 .32我【解析】【分析】根据题意，转化为圆上两个点到

19、定直线距离和的最大值问题。根据两个点形成的夹角为 60。,即可求得最大值。【详解】由题意可设RcuyDjBgyD因为w+yiya =即口祠=：,因为r=1,设OA与OB形成夹角为“，所以品二 |园82=；,即a|1 二 2-勺即得椭圆的方程.先证明匕如丽|=七为:笠=1 ,所；_ l2 _ 2- 2 + X3 2 + % 3* 1i 1-1 O w以上MFiN = ：,同理可得 z.MF:N = 7,所以 sihn = rMFM【详解】由题设知=?-解得.3，b=】， t M = b* + L，椭圆c的方程为十)二=】(2)由题设知，hx-2, |hx-2陌C,的方程联立消丫得(+依* + S

20、kmx 4-4(rn2.l) = 0 * 与相切的= Mknrn2- 16(1 + 4k2(m: -1) -04曰 1.7付m - 4k=二】与|八匕联立得欣N(2?, T?2k + mj|又.-2k + m 2k + tn m2 - 4k2 kMFi?NF -j=?- 2 +2 + 3- 1，MFi!NFi|,即 dFiN = ；同理可得,上，IFiN 二 士k!F?N【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是证明=+1,所以Z.MF1N =亍+ m ?k4-m mJY kMFTkNFL = 三

21、亚=21. (1)工卜却-4二。；(n)n = 3|, n-m=-3, n = 0【解析】【分析】(i )|由斜率公式可得 ksc=,结合点斜式方程整理计算可得BC边所在直线方程为pc+ 2y -4 = 0.(n )由题意可得|BC| = 2H 则 ABC的BC边上的高卜,据此由点到直线距离公式和直线 方程得到关于 m,n的方程组，求解方程组可得 m = 5, n 4或m =-3 , n = o|.【详解】(i|) B(2, I), e(-2,3).二版=缶二:，可得直线BC方程为卜-3=-4*+2),化简，得BC边所在直线方程为K+2y-4-0.(n )由题意，得|BC| - V匕 V产+

22、(1-疗-25,1I ，工 SA.3 = BC|h =7,解之得 h;飞,hi 4 %，4|*由点到直线的距离公式，得高 二市，化简得 m 1 2n = 11 或m 2n 3,( 即 4 加工 11 f 2 2ii - 3 “12m 3n 十 6 =。或 12m - 3n , 6 = 0 .解得 m =n = 4或m=-3, h =。.【点睛】本题主要考查直线方程的求解，点到直线距离公式的应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22. (1) (一4一3)； (2) 4x - 5y 13【解析】【分析】(1)根据对称点与 A连线垂直直线,以及对称点与 A中点在直线1上

23、列方程组解得结果，(2) 根据对称性得反射光线所在直线经过A的对称点|a仪-4-圻和1叉1J),再根据点斜式求直线方程.【详解】(I )设点以2, 3)关于直线l的对称点为A或距也，则(解得K0 = 4皿=-3，即点A(13)关于直线l的对称点为Au( 7 - 3)(n )由于反射光线所在直线经过点人及-4, - 3)和41】)，所以反射光线所在直线的方程为1卿4区 - 5 . 0.【点睛】 本题考查点关于直线对称点问题，考查基本求解能力23. (1) m 2； (2) m 8, n 28或 122;【解析】试题分析：(1)因为两条直线是相互垂直的，故 k1 k2 -2(2)因为两条直线是相互

24、平行的，故 2 m,解得m 8.4解析：设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，则k12、k2m.4(1)若 li I2,则 k1 k2 m 1, m 22(2)若 |1 / /|2，则 2 m , . m 8.4，I2可以化简为2x y n 0,4，I1与I2的距离为2 n4、528 或 1224. (1)= W (2) 2 +【解析】【分析】(I)先求出曲线Ci的普通方程，再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.(n )先求出|AB| = Ip-川二1,再求出以AB为底边的APAB的高的最大值为卜+ 2, 再求3PAE面积的最大值.【详解】(I)依题意得，曲线o的普通方程为

25、gy+Ff 曲线Ci的极坐标方程为p* - 4P= 3二0,直线1的直角坐标方程为卜二岳.(n )曲线c工的直角坐标方程为 0-4)。2.16,设1图2旧周，=口，即P;_ 2pi - 3 -。，得pi = 3或pi - - | (舍)，p2= 8cosj = 4|(J|AB| - |p2-pi| - 1,CK4.0)到1的距离为d =曙=2W以庭为底边的APAB的高的最大值为4 +八国则hPAB的面积的最大值为；(42也)二2卜【点睛】(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2

26、)本题的解题的关键是求出|AR| =|P2-pi| = 1.25. (1) V7 (2) - 2 (3) x土* - 6 - 0【解析】分析：(1)根据半径，得到圆 A的标准方程；因为 B、C是两个圆的交点，联立两个圆可得到两个交点坐标，利用两点间距离公式即可求得BC的长。(2)根据圆A关于x轴对称，可设BGiQ=#*，代入到圆。中，用qc表示甘；根据向量数量积的坐标运算，得到 如疝 = 力.)12,根据融的取值范围即可得到 还?蔡 的 最小值。(3)取EF的中点G,连结。G&AD.OF,可知&DP与,OGP相似，根据中点性质和勾股定理，在R14OFG和R13ADP中，联立方程求得r的值；设出直线方程， 根据点到直线距离公式 即可求出直线方程。详解：(1)当:r = V：时，由仁京工得,出加”?)乒=中(2)由对称性，设BfKQy。). C (皿.付，则二d所以.=(xo - 2)2 - (4 - xo2) - 2(xo - 1 / - 2因为|42父科3所以当kq=时，晶的最小值为-2(3)取EF的中点G，连结OG.AD.OF，则ADOG则荔=% =需=：从而 II =3 不妨记 Ide-2EG7GF -PD 6l在班AOFG中OF3 = OG1 + FG1即4=阅十金在I乜3ADP中.正之二jyd: + up?即炉 J + (