全等三角形问题中常见地8种辅助线地作法(有问题详解)

1、word全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等“三线合一法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一的性质解题2 .倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形5 .截长未卜短：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6 .图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7 .角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值

2、上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8 .计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折法构造全等三角形.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等

3、变换中的“旋转法构造全等三角形.3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，1可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.2可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。3可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移或“翻转折叠5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相

4、等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6）某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线线段造全等例1、“希望杯”试题，如图ABC中，AB=5,AC=3如此中线AD的取值X围是.13 / 12例2、如图，ABC中，E、F分别在ARAC上，DELDF,D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.例3、如图，ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/BAE.DEC截长

5、补短1、如图，ABC中，AB=2ACAD平分BAC,2、如图，AD/BC,EA,EB分别平分/DAB,/CBA且AD=BD求证：CD!ACABCDCD过点E,求证；AB=AD+BCA._03、如图,0在ABC内，BAC60,40°,P,Q分别在BCCA上，并且AP,BQ分别是BACABC的角平分线。求证:4、如图，在四边形ABCD,BOBA,AACDB叶分ABC,BQ+AQ=AB+BP求证：AC18005、如图在ABC中，AB>AC,/1=/2,P为AD上任意一点，求证；AB-AC>PB-PC、平移变换例1 AD为 ABC的角平分线，直线MNLAD于A.E为MNLh一点，

6、ABC周长记为巳，EBC周长记为Pb.求证PB>Pa.例2如图，在ABC的边上取两点口E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.BO,求证：OE=ODD。AC于 F.四、借助角平分线造全等1、如图，在ABC中，/B=60°,ABC的角平分线AD,CE相交于点2、如图，ABC中，AD平分/BACDGLBC且平分BC,DEIAB于E,1说明BE=CF的理由；2如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.五、旋转例1正方形ABCM,E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/EAF的度数.例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DMLDN,DM,DN别交BC,CA于

7、点E,F。(1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF(2) 假如AB=2求四边形 DECF勺面积。例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120°,以D为顶点做一个6°°角，使其两边分别交AB于点M交AC于点N,连接MN如此AMN的周长为；参考答案与提示、倍长中线线段造全等例1、“希望杯”试题，如图ABC中，AB=5,AC=3如此中线AD的取值X围是解：延长AD至E使AE=2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故 AD的取值 X 围是 1<AD<4例2、如图， ABC中，E、F分别在 A

8、R AC上，DEL DF, D在 BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证:AD平分 / BAE.解：延长 AE至G使AG= 2AE,连BG DG,显然 DG= AC/ GDC= ACD由于 DC=AC 故 / ADC=Z DAC在人口8与4 ADG中,BD=AC=DG AD= AD/ ADB=Z ADC它 ACDh ADC吆 GDC= / ADG故 ADB ADG 故有/ BAD至 DAG 即 AD平分 / BAE二、截长补短1、如图， ABC 中，AB=2ACAD平分 BAC ,且 AD=BD 求证

9、：CDL AC解：截长法在AB上取中点F,连FDADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF±AB,故/AFD=90°AD阵ADCSAS/ACD=/AFD=90°即：CD!AC2、如图，AD/BC,EA,EB分别平分/DAB,/CBACD过点E,求证；AB=AD+BC解：截长法在AB上取点F,使AF=AD连FEAD电AFESASA/ADE=/AFEZADE-+ZBCE=180°ZAFE+ZBFE=180°故/ECB=/EFBFBECBEAAS故有BF=BC从而;AB=AD+BC00BC, CA 上，并且 AP, BQ3、如图，在ABC内

10、，BAC60,C40°,巳Q分别在分别是BAC,ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：补短法，计算数值法延长AB至D,使BD=BP,连DP在等月BPD中，可得/BDA40°从而/BDP=40°=/ACP AD国ACPASA故AD=AC又/QBC=40°=ZQCB故BQ=QCBD=BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD43,BOBA,AD=CDB叶分ABC,求证：AC1800解：补短法延长BA至F,使BF=BG连FD BD阵BDCSAS故/DFB=/DCB,FD=DC又AD=CD故在等腰BFD中/DFB=/DAF故有/BAD吆

11、BCD=180°5、如图在ABC中，AB>AC,/1=/2,P为AD上任意一点，求证；AB-AC>PB-PC解：补短法延长AC至F,使AF=AB,连PD AB国AFPSAS故BP=PF由三角形性质知PB-PC=PF-PC<CF=AF-AC=AB-AC、平移变换例1AD为ABC的角平分线，直线MNLAD于A.E为MNL上一点，ABC周长记为巳,E C EBC周长记为PB.求证旦>PA.解：镜面反射法延长BA至F,使AF=AC,连FE人口为ABC的角平分线，MNXAD知/FAE=/CAE故有 FAECAESAS故EF=CE在BEF中有：BE+EF>BF=BA

12、+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACF+BC=求证：AB+AC>AD+AE.例2如图，在ABC的边上取两点D、E,且BD=CE证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.vBD=CE,DM=EM,.DMNAEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,如止匕BN+BP>PN,DP+PA>AD,相力口得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,.AB+AC>AD+AE。四、借助角平分线造全等AC1、如图，在ABC中，ZB=60°,ABC的角

13、平分线AD,CE相交于点Q求证：OE=ODDC+AE=AC证明（角平分线在三种添辅助线，计算数值法）/B=60如止匕/BAC+/BCA=120度；AD,CE均为角平分线，如止匕/OAC+/OCA=60Jg=/AOE=/COD;/AOC=120度.B在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;/OAE=/OAF.如止匕，OAE0AOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/AOF=/AOE=60度.如此/COF=/AOC-/AOF=60度=/COD;又CO=CO;/OCD=/OCF.故，OCD0AOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.DEI A

14、B于 E, D。AC于 F.2、如图，ABC中，AD平分/BACDGLBC且平分BC,1说明BE=CF的理由；2如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.解：（垂直平分线联结线段两端）连接BD,DCDG直平分BC,故BD=DC由于AD平分/BACDE±ABTE,DF±AC于F,故有ED=DF故RTADBERTADFCHL故有BE=CRAB+AC=2AEAE=a+b/2BE=(a-b)/2五、旋转例1正方形ABCM,E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ADABG如止匕GE=GB+BE=DF+

15、BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以/EAF=/GAE=/BAE+/GAB=/BAE+/DAF又/EAF+/BAE+/DAF=90所以/EAF=45度例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DMLDN,DM,DN别交BC,CA于点E,F。当MDN绕点D转动时，求证DE=DF（2）假如AB=2,求四边形DECF勺面积。解：（计算数值法）1连接DCD为等腰RtABC斜边AB的中点，故有CDLAB,CD=DACD平分/BCA=90°,/ECD=/DCA=45°由于DMLDN有/EDN=90°由于CDAB,有/CD=90°从而/CDE=/FDA=故有CD国ADFASA故有DE=DF2S»AAB（=2,S四DEC=SACE=1例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120°,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN如此AMN的周长为；解：（图形补全法，“截长法或“补短法,计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交于点F,在线段CF上取点E,使CE=BM.ABC为等边三角形，BCD为等腰三角形，且/BDC=120,.MBD=/MBC+/DBC=60+30°=90°,/DCE=180-ZACD=180-/