理论力学答案(谢传峰版)

1、静力学1-3试画出图示各Z构中构件 AB的受力图Fa yFBFAx 、47t77777word(a)(a)1-4试画出两结本中构件 ABCD勺受力图Fa l-5a1-8在四连杆机构的 ABCM较链B和C上分别作用有力 Fi和F2,机构在图示位置平衡。试 求二力Fi和F2之间的关系。解：杆AB, BC, CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1（解析法）假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示:由共点力系平衡方程，对 B点有：.一 Fx =。F2 - Fbc cos450 =0对C点有：0-Fx = 0Fbc -cos30 0解以上二个方程可得：2 6F1 =26

2、F2 =1.63F2word解法2（几何法）分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。对B点由几何关系可知:F2 = Fbc cos450对C点由几何关系可知：Fbc =F1cos300解以上两式可得：F1 =L63F22-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶 Ml试求A和C点处的约束解：BC为二力杆（受力如图所示），故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿 BC两点连线的 方向。曲杆AB受到主动力偶 M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲 杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有

3、（设力偶逆时针为正）M =0Fa10a sin。450) - M =0Fa = 0.354 M a1其中：tan=一。对BC杆有:3Fc =Fb =Fa =0.354M。A, C两点约束力的方向如图所示。a2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm（乍用在BC上力偶的力偶矩 M =1N-m,试求彳用在 OA上力偶的力偶矩大小 M1和AB所受的力FAB。各杆重量不计。解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件,点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对 BC杆有：、M =0FB BC sin300 -M2 =0对AB

4、杆有：Fb=Fa对OA杆有：% M =0 M1 _Fa OA =0求解以上三式可得：M1 =3N m, FAB =Fo =FC =5N ,方向如图所示。2-6等边三角形板ABC边长为 所示。试分别求其最简简化结果a,今沿其边作用大小均为OF的力F 1, F2, F3，方向如图a，b坐标如图所示，各力可表示为 ：1313F 1 = - Fi + Fj ,F 2 = Fi, F 3 FiF j2222先将力系向A点简化得（红色的）：_ _ . 3Fr =Fi + V3Fj , M a =Fak2方向如左图所示。由于Fr _L M A ,可进一步简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢不变,3其作用线

5、距A点的距离d = a,位置如左图所示。42-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：Fr= -2Fi其作用线距A点的距离d 3a ,位置如右图所示。4简化中心的选取不同，是否影响 最后的简化结果?2-13图示梁AB 一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物 长为l ,斜绳与铅垂方向成 口角。试求固定端的约束力。法1解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程右为x轴正向，竖直向上为 y轴正向，力偶以逆时针为正）：' Fx =0 Psin二: Fbx =0'、'Fy =0FBy - P -Pcos： =0选梁

6、AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：二 Fx = 0F Ax - FBx = 0“ Fy =0FAy - FBy =0v Ma =0Ma -FBy l =0求解以上五个方程，可得五个未知量FAx，FAy，FBx ,FBy, M A分别为：FAx =FBx = Psina （与图示方向相反）FAy =FBy =P（1 +8s叼（与图示方向相同）MA=P（1+Co对（逆时针方向）D。设重物重为 P, AB（坐标一般以水平向MaFa y小F BxF By法2解：设滑轮半径为R。选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程:'、Fx =0FAx Psin =二0'、Fy =0FAy

7、- P - Pcos二0一R9 MA =0 M A - P(l - R) - P cos : (l - R) - P sin :-二0tan 一2求解以上三个方程，可得FAx ,FAy ,M A分别为:FAx = -Psina（与图示方向相反）FAy = P（1 +8s叼（与图示方向相同）M A =P（1+cosa）l（逆时针方向）2-18均质杆AB重G长l ,放在宽度为a的光滑槽内，杆的 B端作用着铅垂向下的力 F, 如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角1M。解：选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程:、M A =0Fy =0一 all ,一N D-G cos二 一 F l cos：

8、- 0cos：2ND cos： -G -F =0求解以上两个方程即可求得两个未知量Nd",其中:1r2(F G)ai3一 =arccos3(2F G)l未知量不一定是力。2-27如图所示，已知杆 AB长为l ,重为P, A端用一球较固定于地面上， B端用绳索CB拉 住正好靠在光滑的墙上。图中平面 AOB Oyz夹角为« ,绳与轴Ox的平行线夹角为日，已3o知a = 0.7m, c = 0.4m, tana =,日=45°,P=200N。试求绳子4的拉力及墙的约束力。解：选卞f AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程:一 Fbc cos 二 c - Fbc si

9、n【ctan ： = 0Fbc =60.6N_1_.M x'= 0 P a - FBc 一 FBCsin71a = 0 Fb= 100N2由Z Fy =0和工Fz =0可求出FAy,FAz。平衡方程工M x = 0可用来校核。思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个?2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为钱链。已知力F作用在平面BDEH 内，并与对角线 BD成45o角，OA=AD试求各支撑杆所受的力。杆1, 2, 3, 4, 5, 6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向， 假设各杆均受压。 选板ABCD 为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方

10、程：F2 cos450 -0v M Ao = 0- F6 cos450 a - F cos450 cos450 a = 0拉）" M BH =0-F4 cos450 a-F6 cos450 a = 0压）v M ad =0F1a F6 cos450 a - F sin 450 a = 0压）v M CD = 0F1 a F3 a - F sin 450 a = 0拉）M bc = 0F3 a F5 a - F4 cos450 a = 0F2 =0F2卜6 =-卜2（受F 2F4=TFFl-f2L1F3 = F32F5 =0本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程,但求解代数方程组非常

11、麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免 求解联立方程 2-31如图所示，欲转动一置于 V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩 M =1500N cm。已知棒料重P =400N ,直径D =25cm。试求棒料与V形槽之间的静摩擦因数fs。取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：尸 Fx =04 £ Fy =0M MO =0补充方程：Fi = fsMF2 = fsN2Fi + pcos450 N2 =0 « F2 - psin450 +Ni =0(F1 + F2)D -M =0五个方程，五个未知量 F1，N1,F2，N2，

12、fs,可得方程: 2M q - 2p D fS 2M =0解得 fS1 =0.223, fS2 =4.491。当 fS2 =4.491 时有:N _ p(1 - fS2) , 0Ni202(1 f<22)即棒料左侧脱离 V型槽，与题意不符，故摩擦系数fs=0.223。2-33均质杆AB长40cm,其中A端靠在粗糙的铅直墙上， 并用绳子CD呆持平衡，如图所示。 设BC =15cm, AD =25cm ,平衡时a角的最小值为45°。试求均质杆与墙之间的静摩擦 因数fs。解：当” =450时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：2 Fx=。«£ Fy =

13、0M ma =0附加方程：FS = fSFNFn -Tsin 1-0FS T cos? - p = 0.ABTcos? ACC sin - -T sin AC cos- - p sin =0四个方程，四个未知量FN ,FS,T, fs 可求得fs = 0.646o22-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，A, B为支点，如图所示。若 AB = BC = AC ,A和B于斜面间的静摩擦因数分别为fs1和fs2,试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角6。解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a,重为P,列平衡方程1Ma=0Mb=0ZFx=0FNB a - P cosaa2, 一

14、 FNA a + P cos«a2FA FB - Psin ;aPsin ; 一二0 2%3 a Psin := 02.3=0如果棱柱不滑动，则满足补充方程FA - fs1 F NAFB = fs2 F NB时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量.-3(fs1fs2)tan« =fs2 -fs1 2,3当物体不翻倒时FNB -0 ,则：.60°FA, F NA ,F B, FNB ,苴中)I (2)即斜面倾角必须同时满足 (1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。3-10 ABAC和DE三杆连接如图所示。杆 DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。试求在水平

15、杆DE的一端有一铅垂力 F作用时，杆 AB所受的力。设 AD = DB, DH = 杆重不计。解：HE,BC = DE ,假设杆AB, DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示,取杆DE为研究对象,.二 M h =0V M B =0FBy 2a = 0FBy -0受力如图所示，列平衡方程：FDy a - F a = 0FDyFDxa-F2a=0 FDx取杆AB为研究对象,Fy =0受力如图所示，列平衡方程:FAy FDy FBy =0F Ay二2FM A =0FDxFBxF（与假设方向相反a FBx 2a =0=-F （与假设方向相反M B =0-FAx 2a-FDx a=0FAx =

16、-F（与假设方向相反）3-12 AB，AC，AD和BC四杆连接如图所示。在水平杆 AB上作用有铅垂向下的力F。接触 面和各校链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F的位置如何，杆 AC总是受到大小等于F的压力。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程:“ Me = 0 FD b-F x=0x FD =-F b取杆AB为研究对象，受力如图所示,列平衡方程:FB b-Fx FB =F b杆AB为二力杆，假设其受压。取杆 列平衡方程：AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示,F CyD i777Fd£ Me =0 (fb +fd)b + F (b -x) -FAC b =

17、6;解得FAC = F ,命题得证。注意：销钉A和C联接三个物体。FAByAFb3-14两块相同的长方板由钱链 C彼此相连接，且由钱链 A及B固定，如图所示，在每一平 板内都作用一力偶矩为 M的力偶。如a >b,忽略板重，试求钱链支座 解：A及B的约束力。取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零， 因此有：、M A =0MA(FB) _M M =0即Fb必过A点，同理可得FA必过B点。也就是FA和FB是大小相等, 方向相反且共线的一对力，如图所示。取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：FCyFcx“ M C = 0FASin450 a - Fa cos450 b-

18、M =0 解得：Fa =W2M （方向如图所示） a -b3-20如图所示结构由横梁 AB,BC和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求 A处的 约束力及杆1,2, 3所受的力。解：支撑杆1, 2, 3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa,作用在BC杆中点。列平衡方程：、M b =。F3 sin 450 a -2qa a - M =0M一F3 =m2(+2qa)(受压)a选支撑卞f销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程:" Fx =0“ Fy =0F1 -F3 cos450 =0M 一F1 = +

19、2qa （受压） a-F2 - F3 sin 450 -0yF2_ M 一 一，、 LF2 =-（一+2qa）（受拉）Fia口F3/选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：£Fx=0FAx+F3 cos450 =0 FAx =（M+2qa）（与假设方向相反）a“ Fy -0FAy F2 F3 sin 450 -P -4qa-0 FAy = P 4qa“ M A =0 M A F2 a - P 2a -4qa 2a F3 sin 450 3a -M =0MA =4qa2 +2Pa M （逆时针）3-21二层三校拱由AB，BC，DG和EG四部分组成，彼此间用钱链连接，所受载荷

20、如图所示。试求支座A, B的约束力。解：选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程:M A =0M B =0Fx = 0FBy 2a-F 2a =0 FBy =F-FAy 2a - F 2a =0 FAy = -FFax FBx F = 0由题可知杆DG为二力杆，选 GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点 受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：FeF2 oGFAyBx一 一一一 !;工LFG FE取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:Fe fg_. F“ MC =0Fbx a FBy a - Fe sin 450代入公式（1）可得：FFAx - - 2FCyCEF ByA&q

21、uot;F Bx3-24均质杆AB可绕水平轴 A转动, 上，用不可伸长的绳子 AC拉在销钉 杆AB对销钉A的作用力。并搁在半径为r的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面A上，杆重16N, AB =3r, AC = 2r。试求绳的拉力和解：取杆AB为研究对象，设杆重为 P,受力如图所示。列平衡方程:、MA -0N13r P 匹cos600 =012、'Fx =0FAx N1sin600 =0' Fy =0 FAy N1 cos600 P =0取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：、Fx =0N1cos300 -Tcos300 =0注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对

22、象求得的N1 = 6.93( N)FAx =63)FAy =12.5(N)T =6.93(N)A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27均质杆AB和BC完全相同，A和B为较链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示。设静 摩擦因数fs =0.353。试求平衡时日角的范围。解：取整体为研究对象，设杆长为L,重为P,受力如图所示。列平衡方程：一 _ L ._ PMA =0Fn 2Lsin -2Pcosi -0FN =22 tan 1(1) 取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：“ M B = 0FN L sin 二 P L cos 1 - Fs L cosu - 0FS = P2(2)补充方

23、程：Fs ，s FN ,将(1)式和(2)式代入有：taM <fs,即a M100。23-30如图所示机构中，已知两轮半径量 R=10cm,各重P = 9N ,杆ac和BCM量不计。 轮与地面间的静摩擦因数 fs =0.2,滚动摩擦系数6= 0.1cm。今在BC杆中点加一垂直力 F。试求：平衡时F的最大值Fmax；当F =Fmax时，两轮在d和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：Fx =。1fsd -fse =0; Fy =0 Fnd +Fne -F -2P=0由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力 F ,以及B和C处的约

24、束力 &和FAC ,由三力平衡汇交，可确定约束力FB和FAC的方向如图所示，其中:AC受压。Fac取轮A为研究对象，受力如图所示，设FAC的作用线与水平面交于.二.M a=。FsdR MD D - 0v M F-0(Fnd -P) R-M d=0取轮B为研究对象，受力如图所示，设Fb的作用线与水平面交于v M B=0ME- FSE R=0v Mg=0M E(P - FNE) Rtanr -0F点，列平衡方程:G点，列平衡方程:解以上六个方程，可得:1 Fnd = P F4FbLL1 L一一1Fsd = Fse =FMd=Me= FR4,4若结构保持平衡，则必须同时满足：M D - F

25、ND ME W ,FNEFSD - fsFND ) ) 即：FSE - fsFNE4、4、F 工 minP,R、R3、4fsPP, s1 一 fs4fsP 1 -3fs4、.R -因此平衡时F的最大值Fmax =0.36,此时:Fsd =Fse =0.091(N) Md =M e =0.91(N cm)3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1, 2, 3杆的内力。由图可见杆桁架结构中杆 CF, FQ EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部 分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：F1 = 14.58（kN）（受拉）F3 =-31.3（受拉）F2=41.67（受压）'、M

26、C =0F1cosu 6 Fh 4 -FG 3=0'、Fx =0-F1sin 二-F3 -Fh =0、Fy =0F2F1 cosi - FG =03-38如图所示桁架中, 试求杆BC的内力。ABCDEG;正八角形的一半,AD, AE,GC,GB各杆相交但不连接。解：假设各杆均受压。取三角形BC劭研究对象，受力如图所示。列平衡方程:£Fx=0 F - Fcd=0Fcd =F（受压）FbcFcgFcdE Fx =0xF Fy =°Fbc =0.586 F （受压）Fbc cos45 - Fcd - Fcg cos1 0Fbc sin 450 Fcg sin u - 01

27、2 tarn - 其中：2 + J2 ,解以上两个方程可得:3-40试求图中所示桁架中杆 1和2的内力。解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：“ Ma=0 Fb 2a-F 2a-F 3a =0FB -2.5F用截面S-S将桁架结构分为两部分， 假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象， 受力如图所 示。列平衡方程：M Me =0Fb a+F a F2 3a =0Fz=1F （受拉）65 -£ Fx =0 2FFiF2=0Fi=F （文拉）64-1力铅垂地作用于杆 AO上，AO =6BO,COi =5DOi。在图示位置上杠杆水平，杆DC与DE垂直。试求物体 M所受的挤压力FM的大

28、小。解：1 .选定由杆OA OC, DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主 动力为F , Fm。2 .该系统的位置可通过杆 oa与水平方向的夹角e完全确定，有一个自由度。选参数e为广 义坐标。3 .在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角6日，相应的各点的虚位移如下：6rB = O B 四6c = O£ 石日cjd =O1D - -Jb = -Jc=r d = r e代入可得：'"a = 30 'Je4 .由虚位移原理Z GW(Fi)=0有：F rA FM , rE =(30F - FM)、rE =0对任意6rE #

29、 0有：FM =30F ,物体所受的挤压力的方向竖直向下。4-4如图所示长为l的均质杆AB其A端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。 忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度9。解：4a1 .选卞f AB为研究对象，该系统具有理想约束。2 .该系统的位置可通过杆 AB与z轴的夹角 标。由几何关系可知：设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。8完全确定，有一个自由度。选参数0为广义坐h =杆的质心坐标可表不为：zC3 .在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度 抽，则质心c的虚位移:ZC，n - sin 2 -24 .由虚位移原理工9（相）=0有:一 P ' ZC

30、对任意68 # 0有：a - arcsin( 2a )3(a)(b)al=P ( a一一 sinf卜rsin 2 f2a-sin - 0sin 2 32即杆AB平衡时：解：4b1 .选卞f AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2 .该系统的位置可通过杆 AB与z轴的夹角10完全确定，有一个自由度。选参数日为广义坐 标。由几何关系可知：ZA 二杆的质心坐标可表不为：Rsin 二zc3 .在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆 AB顺时针旋转一个微小的角度 66 ,则质心c 的虚位移：' ZC = - R- cos 11sin 2 -4 .由虚位移原理

31、工°W(Fi) = 0 <:- P ' zc对任意69 # 0有：R=- P (- cos 1sin 2 -sin ) )、r 2cos -sin - = 0sin 2 -2即平衡时日角满足：2R cos 9 - l sin 3 6 = 0。a4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重P,弹簧原长为2，试求系统在日角保持平衡时的弹簧刚度系数值。解：1 .选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力F1, F2 ,且F1 = F2 ,将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有F1，F2 ,以及重力P。2 .该系统只有一个自由度，选定 6为广义坐标。由几何关

32、系可知： za = zb = a sin -3 .在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移68 ,则质心的虚位移为：zc = za = zb = a cos - 、rel = 2a sin 一弹簧的长度2 ,在微小虚位移每日下：6l = a cos 一 二24 .由虚位移原理Z 8W(Fi)=0有：ePzc - F2 l = ( Pa cos ? - F2 a cos ) - - 0a、F2 = k (2a sin )其中22 ,代入上式整理可得：一一a 一2 P cos【-ka (2 sin 二-cos ) -=0由于a 0 0 ,对任意68 # 0可得平衡时弹簧刚度系数为：.

33、2 P cos 二k 二：-a (2 sin 二-cos )24-6复合梁 AD的一端砌入墙内， B点为活动较链支座， C点为钱链，作用于梁上的力 F1 =5卬下2 =4kN,F3 =3kN ,以及力偶矩为M =2kN m的力偶，如图所示。试求固定端A处的约束力。解：解除A端的约束，代之以 FAx,FAy,M A 并将其视为主动力，此外系统还受到主动力F1，F2，F3，M的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移Xa1yA和梁ac的转角中为广义坐标。1 .在不破坏约束的前提下给定一组虚位移SXa于0,6yA = 0,型0 0如图所示。由虚位移原理工6W(Fi) = 0有：F Ax ' X

34、a = 0对任意6XA 0 0可得： FAx = 02 .在不破坏约束的前提下给定一组虚位移6xa = 05VA ¥0,6* = 0 ,如下图所示。-FAy yA Fi 、yi F2 、y2 - F3 V3 M - - 0 (1)由虚位移原理工GW(Fi) = 0有：物物次由几何关系可得各点的虚位移如下：11=y 3 = y a ：i y 2' y c y a3 311、筌=£、yc = 7 va33代入(1)式：11F2- F3M ) 、yA= 0333.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移8xa = 0,ByA = 0,69 ¥ 0 ,如上图所示。对任意

35、"手0可得：FAy = 4(kN ),方向如图所示。有：、y1 f2 、y2 f3 、y3 M (2)由虚位移原理",'"(、)=0Ma - - ' Fi有几何关系可得各点的虚位移如下：、.丫1 = 2匚；：门、3 = yC = 3;：、r-、.：c.y2 =、口 -、. 代入(2)式：(-M A 2 F1 F2 - 3F3M )、： = 0对任意6# 0可得： M a = 7(kN，m ),逆时针方向。4-7图示结构上的载荷如下：q =2kN 'm；力Fi =4kN ；力F2 =12kN，其方向与水平成60o角；以及力偶，其力偶矩为 M

36、=18kN mo试求支座处的约束力。解：将均布载荷简化为作用在 CD中点的集中载荷F3,大小为6q 。1.求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力FB ,并将其视为主动力，系统还受到主动力 F1, F2, F3, M 的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆 AC不动，梁CDBR能绕C点转动。系统有 一个自由度，选转角8为广义坐标。给定虚位移68，由虚位移原理工W(Fi)=0有:FB rB cos 45 0 M 、1 F2 - y2 cos 150 0 - F3 y3 = 0(1)各点的虚位移如下：rB =6x2y2 = 9、"、'y3 = 3、'1代入(1)式

37、整理可得：9x3(6FB M - F2 - 3F3)-0对任意= 0可得：FB = 18 -6(kN ),方向如图所示。2.求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以FAx,FAy,M A ,并将其视为主动力，系统还受到主动力F1，F2，F3，M的作用。系统有三个自由度，选定 A点的位移XA，yA和梁AC的转角9为广 义坐标。2a.求 Fax在不破坏约束的前提下给定一组虚位移“Xa金0, 6yA =0,就=0,此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理工6W(Fi) =0<:(2)FAxxa F1 X1F2、x2 cos120 0 =0各点的虚位移如下： 1Xi = - - X2 = -

38、 X a代入(2)式整理可得：(FaxFi -0.5F2) xa = 0对任意6XA 0 0可得：Fax = 2(kN ),方向如图所示。2b.求 FAy在不破坏约束的前提下给定一组虚位移"A = OfyA # 0, 68 = 0 ,此时梁AC向上平移，梁CD的D点转动，如上图所示。由虚位移原理 工OW(Fi) = 0有：FAy ；7a-F3 % ¥2、y2cos300 -M =0 (3)各点的虚位移如下：y2 =、丫3 = 1、yC = t ya 、 =，2 = 1、)a2236代入(3)式整理可得:1,31(FAy - 2 F3F2 - - M ) yA = 0对任意5

39、yA 0 0可得：FAy = 3.8(kN ),方向如图所示。2c.求 M A在不破坏约束的前提下给定一组虚位移1dxA = 0, 6yA = 0,阴0 0 ,此时梁AC绕A点转动，梁CD抨移，如上图所示。由虚位移原理工0W(Fi) = 0有：-M A、口 F1、x1F2、x2 cos1200 = 0(4)各点的虚位移如下：、*1 = 3、筌-*2 - Xc = 6。"代入(4)式整理可得：(-MA 3F1 -3F2) ,口 =0对任意演00可得：M A =-24(kN m) ,顺时针方向。4-8设桁架有水平力F1及铅垂力F2作用其上，且AD = DC = CE = BE = DK

40、= KE , a =30°。试求杆1, 2和3所受的力。解：假设各杆受拉，杆长均为 a。1 .求杆1受力去掉杆1,代之以力P1 ,系统有一个自由度，选 AK与水平方向的夹角6为广义坐标，如上 图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动,因此有d,AD，6味-LAK，且：,D = a c口 , ,：'rk = x 3 a -c.r滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。三角形BEK绕B点旋转SrE工BE ,且:对刚性杆CD和杆 CE,由于 Md -L C D , rE -L C E ,因此、.%0。由虚

41、位移原理2 6W(Fi) =0 有:（F1 巳）、rDcos600P1 、rE cos 600 = 0代入各点的虚位移整理可得：（F1 2 P1） a、r - 0Pi = - 巳对任意殖¥0可得：2 （受压）。2 .求杆2受力去掉杆2,代之以力P2 ,系统有一个自由度，选 BK与水平方向的夹角9为广义坐标，如 上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移， 杆AK绕A点转动，因此有6rK 1 AK 且：、k 二'3a 、u同理可知B点不动，三角形 BEK绕B点旋转SrE工BE ,且：.:;e a 、'二' rE 二、r d 二 a 二杆AD绕A点转动drD -

42、L AD，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定 D点位移方向如图所示， 且：rD = rE = a u同理可知ire =0。由虚位移原理工°W（Fi） =0有：F1 rD cos 120 0 P2rD cos 150 0P2 rK cos 120 0 - 0代入各点的虚位移整理可得：（F12、3P2） a、" - 0p 、3Fi-一P2 一一对任意6日, 0可得：6 （受压）。3 .求杆3受力去掉杆3,代之以力P3 ,系统有一个自由度，选 AK与水平方向的夹角8为广义坐标，如上 图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动， 3rD -L AD, 6rK

43、-L A K"且：同理可知B点不动，Me,BE，且：；r e =。口 = a ',二'"c = 0由虚位移原理Z BW（Fi） = 0有：F1 rD cos 60 0P3、rE cos 150 0P3、rK cos 120 0 = 0代入各点的虚位移整理可得：（Fi -23P3） a、u - 0P3 ）星！对任意6日于 0可得：6（受拉）。4-12杆长2b,重量不计，其一端作用铅垂常力 F ,另一端在水平滑道上运动，中点连接弹 簧，如图所示。弹簧刚度系数为 工当y =0时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡 位置y,讨论此平衡位置的稳定性。F大小和方向不变

44、，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系 统，有一个自由度，选 日为广义坐标，如图所示。取 0=0为零势能位置，则系统在任意 位置的势能为：V =V弹+VF19k (b - b cos f) -F(2b-2b cos) 2=-kb2(1 - cos i)2 -2Fb (1 - cos )2由平衡条件d9 可得:dV -bkb(1 - cos ) - 2 F sin - 0有：sin 日=0 和 kb(1 cos8) -2F =02 F即：8 = 0 和 cos 8 = 1 kb也就是：y = 0和y = 2 Jf (kb F )两个平衡位置。k为判断平衡的稳定性，取势能

45、V的二阶导数：d 2V2-二（kb - 2 F ）b cos 二 一 kb 2 cos 2- d”当8 = 0时，d2VdP=2Fb0 ,即y = 0时是不稳定平衡。2 F 当 cos 0=1-时,kbd 2V4=F (kbk-F)由上式可知：1 .当 cose =1 2F且 kb>F 时, kb2 .当cos日=i _2F且kbF时, kb 2-驾 > 0即y = 2肝他F)是稳定平衡位置；du2k.2.上三0即y = 2 /(他F)是不稳定平衡位置。dik ,R的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动4-15半径为r的半圆住在另一半径为 的滚动扰动的稳定性。解：取半径为r的

46、半圆柱为研究对象，圆心为Q半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个 半圆心连线与y轴夹角9为广义坐标。作用在 半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统， 如图所示，其中h = 红。由于半圆柱作纯滚3 二动，有：Pr=8R(1)取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为:4rV 二 mgz c = mg ( R r) coscos(-)3 二代入(1)式有：_.4 r R rV = mg ( R r) cos 口 - cos( 1 )3 二rdV4 . , R r . 二 mg ( R r) sin( ) sin -d 13二 r*=mg(R r) d»包jcos( j).cos1

47、3 rr由平衡条件二=0可得日=0为平衡位置。势能 V的二阶导数: d。3.由上式可得当R > ( n - 1)r , 6 = 0是稳定的。4努力学习吧！动力学解：v运动方程：y = 1 tan 0 ,其中日=kt。将运动方程对时间求导并将3 =30°代入得H 1k 41kv = y = -2- = -2-=-cos 二 cos 二 321k2 sin u 8,31k2a = y = -3=cos 191 6证明：质点做曲线运动，所以质点的加速度为：a = a t a n,设质点的速度为v,由图可知：cos? - vy =包，所以：a =anv v avy2将 vy =C, a

48、n =二3代入上式可得 a v c：证毕1-72a证明：因为 P = Y, an =asinH =anv3所以：p = dIla xv|证毕1-10解：设初始时，绳索AB的长度为L ,时刻t时的长度 为S,则有关系式：s = L -v0t,并且 s2 = 12X2将上面两式对时间求导得:s = -vo, 2ss = 2xx由此解得：X = - sv°(a)X(a)式可写成：xX = -v°s ,将该式对时间求导得:XX X2 = -sv0 = v(2(b)将(a)式代入(b)式可得:22Vo - Xax = x =X2 2Vol3X(负号说明滑块取套筒A为研究对象，受力如图

49、所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有:ma = F F N mg将该式在X,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程:mx = mg - F cos -my - -F sin - FN其中：cos 9 = j X , sin 6 = $_l-.x2 l2.x2 lV2l 2x = -, y = 0X将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得:F =m(g +吗-)1 +(L)2 X X1-11解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以vB =®R,由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：vB =vAcos1因为,x2

50、- R2cos 二二x将上式代入(a)式得到A点速度的大小为：(a)(b)由于vA = x , (c)式可写成:将上式两边对时间求导可得:xvA = R.x2 . R2(c)-xVx2 - R2 =sRx,将该式两边平方可得:2/22、222x (x - R ) = R x_ 2_2_3_2_22xx(x - R ) - 2xx =2 R xx将上式消去2x后，可求得：2R4xx 二-(x2 - R2)2由上式可知滑块 A的加速度方向向左，其大小为取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：ma 二 F F N mg将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：aA(d)_2R4x=(x2 _R2)2mx = -F cos-my = F sinFN -mg其中:sin - R, cosi =x.2R4x -x = - 222 2 1y = 0(x -R )将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得2 4 2匚 m，R x "_2_2X5-(x -R )2Fn =mg25m R x, 2-2、1(x -R 尸1 13解：动点：套筒 A;动系：O