1990全国高考理科数学试题

1、1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内 (3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 (4)方程sin2x=sinx在区间(0,2)内的解的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)(A)-2,4(B)-2,0,4(C)-2,0,2,4(D)-4,-2,0,4 (7)如果直线y=ax2与直线y=3xb关于直线yx对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(B)(2,3)(C)(2,3)(D)(x,y)

2、y=x+1 (11)如图,正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足ab<2h;命题乙为:两个实数a,b满足a1<h且b-1<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那

3、么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C与C关于原点对称,那么C所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上. (17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于 (18)已知an是公差不为零的等差数列,如果Sn是an

4、的前n项的和,那 (19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 (20)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2 三、解答题.7(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数. (23)如图,在三棱锥SABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SAAB,SBBC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数. (24)设a0,在复数集C中解方程z2+2

5、za. n2.()如果f(x)当x(-,1时有意义,求a的取值范围;()如果a(0,1,证明2f(x)<f(2x)当x0时成立.参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C(6)B (7)A (8)D (9)B (10)D(11)C (12)B (13)B(14)C（15)D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:由式得d=12-2a.整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,

6、8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x由式得x=3y-12.将式代入式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设02,且点A的坐标是（cos,sin）,点B的坐标是（cos,sin）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OCAB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sin+

7、sin)=3(cos+cos).将式代入式,可得sin(-)=sin(-).于是(2k+1)-(-)(kZ),或-=2k+(-)(kZ).若-=(2k+1)-(-)(kZ),则(2k+1)(kZ).于是sin=-sin,即sin+sin=0.由此可知-=2k+(-)(kZ),即2+2k(kZ).所以 (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SBBC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SCBE.又已知SCDE,BEDEE,SC面BDE,SCBD.又SA底面ABC,BD在底面ABC上,SABD

8、.而SCSAS,BD面SAC.DE面SAC面BDE,DC面SAC面BDC,BDDE,BDDC.EDC是所求的二面角的平面角.SA底面ABC,SAAB,SAAC.设SAa,又因为ABBC,ACS30°.又已知DESC,所以EDC60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SBBC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SCBE.又已知SCDE,BEDEESC面BDE,SCBD.由于SA底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BDAC;又因ESC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC

9、上的射影在AC上,由于DAC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BDDE.DE面BDE,DC面BDC,EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设zx+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,式化为x2+2x=a.()令x>0,方程变为x22x=a.由此可知:当a=0时,方程无正根;()令x<0,方程变为x2-2x=a.由此可知:当a=0时,方程无负

10、根;当a>0时,方程有负根x=1-.()令x=0,方程变为0=a.由此可知:当a=0时,方程有零解x=0;当a>0时,方程无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y0).此时,式化为-y2+2y=a.()令y>0,方程变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.由此可知:当a>1时,方程无实根.当a1时解方程得y=1±,从而,当a=0时,方程有正根y=2;当0<a1时,方程有正根y=1±.()令y<0,方程变为-y2-2y=a

11、,即(y+1)2=1-a.由此可知:当a>1时,方程无实根.当a1时解方程得y=-1±,从而,当a=0时,方程有负根y=-2;当0<a1时,方程有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,式化为x2+2x=a.即| x |2

12、+2x=a.解方程得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y0).此时,式化为-y2+2y=a.即-y2 +2y=a.当a=0时,因y0,解方程得y=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a1时,解方程得,即当0<a1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2z+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=y

13、i(y0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cos+isin),其中r0,0<2.代入原方程得r2cos22r+ir2sin2a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.式变成0=a.由此可知:当a=0时,r=0是方程的解.当a>0时,方程无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.()当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2=1,故式化为r2+2r=a.由此可知:当a=0时,方程无正根;当a>0时,方程有正根.所以,当a>0时,原方程有解.()当k=1,3时,对应的复数是z=&#

14、177;ri.因cos2=-1,故式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,由此可知:当a>1时,方程无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0<2.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中

15、a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是 (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.()解:f(x)当x(-,1时有意义的条件是1+2x+(n-1)x+nxa>0x(-,1,n2,上都是增函数,在(-,1上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为()证法一:2f(x)<f(2x)a(0,1,x0.即1+2x+(n-1)x+nxa2<n1+22x+(n-1)2x+n2xaa(0,1,x0.现用数学归纳法证明

16、式.（A）先证明当n=2时式成立.假如0<a<1,x0,则(1+2xa)2=1+2·2xa+22xa22(1+22x)<2(1+22xa).假如a=1,x0,因为12x,所以因而当n=2时式成立.（B）假如当n=k(k2)时式成立,即有1+2x+(k-1)x+kxa2<k1+22x+(k-1)2xa a(0,1,x0,那么,当a(0,1,x0时(1+2x+kx)+(k+1)xa2=(1+2x+kx)2+2(1+2x+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2<k(1+22x+k2x)+2(1+2x+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2=k(1+22x+k2x)+2·1·(k+1)xa+2·2x(k+1)xa+2kx(k+1)xa+(k+1)2xa2<k(1+22x+k2x)+1+(k+1)2xa2+22x+(k+1)2xa2+k2x+(k+1)2xa2+(k+1)2xa2=(k+1)1+22x+k2x+(k+1)2xa2(k+1)1+22x+k2x+(k+1)2xa,这就是说,当n=k+1时式也成立