全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—广东卷

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东B卷）数学（文科）选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M2,3,4,N0,2,3,5A.3,5 B . 3,42,30,22.已知复数z满足（34i）z25,则zA. 3 4i3 4i C4i3 4i3 .已知向量a(1,2),b(3,1)，A. (4,3)(2,0)(2,1)(2,1)4 .若变量x,y满足约束条件2y 8x 4则2xy的最大值等于A.11B.105 .下列函数为奇函数的是（“2-xA. x 2 B2cosx3 x sin x D2x40的样本，则分段的间

2、6 .为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为隔为（）A.20B.25C.40D.507 .在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“ab”是“sinAsinB”的（）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件22228 .若实数k满足0k5,则曲线人一y1与曲线L1的（）165k16k5A.焦距相等B.离心率相等C.虚半轴长相等D.实半轴长相等9 .若空间中四条两两不同的直线l123,l4,满足l1l2/2/l3/3L,则下列结论一定正确的是（）A.1114B.11/14C.li与14既不垂直也不平行D.11与14的位置关

3、系不确定10 .对任意复数w1,w2，定义1211，其中二是2的共轲复数，对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题：（z1Z2）Z3（z1Z3）（Z2Z3）；Z1（Z2Z3）（z1Z2）（z1Z3）；（z1Z2）Z3z1（Z2Z3）；z1Z2Z2z1；则真命题的个数是（）A.4B.3C.2D.1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（1113题）11 .曲线y5ex3在点0,2处的切线方程为.12 .从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，则取字母a的概率为13 .等比数列an的各项均为正数，且a1a54,则1og2a1+1og2a2+1og2a3

4、+1og2a4+1og2a5=（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14 .（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2cos2sin与cos1,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为15 .（几何证明选讲选做题）如图1,在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE,AC与DE交于点F则3mAEF的周长80分（0, 一），求 f （一 ）26三.解答题：本大题共6小题，满笠16 .(本小题满分12分)已知函数f(x)Asin(x),x3(1) 求A

5、的值；(2)若f()f()后17 .(本小题满分13分)某车间20名工人年龄数据如下表：年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20(1) 求这20名工人年龄的众数与极差；(2) 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图;(3) 求这20名工人年龄的方差.18 .(本小题满分13分)如图2,四边形ABC型矩形，PDL平面ABCDAB=1,BC=PC=2作如图3折叠：折痕EF/DG其中点E,F分别在线段PD,PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M并且MFICF.(1) 证明：CF，平面MDF(2) 求三棱锥M-CDE勺体积.19.(本小题满分14

6、分)设各项均为正数的数列an的前n项和为&,且SnS；n2n3Sn3n2n0,nN(1)求ai的值;(2)求数列an的通项公式;证明：对一切正整数n,有a1 a111a2 a2 1an an 120.(本小题满分14分)22已知椭圆C ： x2 4 1 aa bb 0的一个焦点为 j5,0 ,离心率为.5o3(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点Pxo,yo为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求P的轨迹方程.21.(本小题满分14分)1 Q 9已知函数 f (x) - x x ax 1(a R)(1) 求函数f(x)的单调区间; 1f(Xo) f(-)11(2) 当a0时

7、，试讨论是否存在x0(0,)U("1),使得参考答案一、选择题1. C解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题.MN2,3,故选C.解析2绝对送分题。答案为B。因为集合为高中教材的第一个内容。也基本上是各省市的必考内容，放在第一小题给人信心。虽然为送分题，但仍然会有个别同学拿不到分，原因主要是粗心引起。2525(34i)2. A解析：本题考查复数的除法运算，属于基础题.z34i.故选A.34i34i(34i)解析2同样的送分题。一般解法是将左边Z的复数除到右边。秒杀方法是两边同时乘以|3+4/|,口算得到结果D。3. C解析：本题考查向量的基本运算，属于基础题.bl(31,12)(2

8、,1).故选C.解析2又一送分题，由向量减法法则秒杀。答案为B。4. B解析：本题考查线性规划问题。在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由(0,0),(0,3),(2,3),(4,2),(4,0)组成的五边形。由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当x=4,y=2时，z=2x+y取得最大值10。本题也可以通过平移直线y2x,当直线y2xz经过(4,2)时，截距达到最大，即z取得最大值10.故选答案B.解析2基础题，一般做法画出可行区域。求出交点(2,3),(4,2)。得最大值为Co此题容易x2 2x ,非奇非偶，对33 _x ( sin x) x sin x错选

9、成D,即将(4,3)代入，要注意(4,3)在区域之外。5. D解析：本题考察函数的奇偶性.对于A,x22xx223C, ( x) Sin( x)于b,2cos(x)12cosx1,为偶函数；对于V11V为偶函数；D中函数的定义域为R,关于原点称，且2x2x2xT2x2xj22xx1(2)为奇函数.故答案为D=解析2选Bo又一送分题。一种做法是用奇函数的性质。容易得出结果。另一秒杀方法是用0代入,只有国勺结果为0.6. B解析：本题考查系统抽样的特点。分段的间隔为100025,故答案为B.40解析2由系统抽样的概念，先进行分组，每组为1000除以40即每组25名学生，故分段时隔为25.选Q2R,

10、所以 a 2RsinA,b 2RsinB,7. A解析：本题考查正弦定理的应用。由于sinAsinB所以ab2RsinA2RsinBsinAsinB,故"ab"是"sinAsinB”的充要条件，故选答案为A.解析2由大边对大角，或由正弦定理都可以秒杀。答案为A。8. A解析：本题可以采用一般法和特殊法，一般法在这里不赘述，令k4,则这两个曲线方程分2222别为：x_y_1和工1,它们分别对应的J216117,c2212517,故C1c2。161125所以它们的焦距相等，故答案为A.解析2由已知可得两曲线均为双曲线，在又曲线中C是最长的。故选D。9. D解析：本题考

11、查空间中线线的位置关系。以正方体为模型，易知11和14的位置关系可能有1114或1114,故11与14的位置关系不确定.故答案为D.解析2线与线的位置关系，放在选择的倒数第二题，相对来说有一定难度。可以想象一下以笔为直线，将L1和L4放在课桌面上，第二条和第三条与课桌面垂直，问题得到解决。此题需要一定的空间想象能力。对于，z1 z2 z3Zi Z2Z3令 z9 a bi , z3 c di ,贝U z2z32bdi,则 z2z3a c b d i10. C解析：对于，ZiZ2Z3z1z2z3z1z3z2z3z1z3z2z3abicdiz2z3,所以ZiZ2Z3Zi Z2Z3Zi(Z2 Z3)Z

12、i Z2Z1Z3ZiZ2ZiZ3 Zi Z2Z3Z1Z2Z3Z1Z2 Z3Zi Z2 Z3ZiZ2 Z3Zi (Z2Z3) Z1Z2Z3Z1 z3 z2 故 z1z2z3ZiZ2Z3Z1z2z1z2,z2Z1z2z1,故ZiZ2Z2Zi故答案为C.解析2此题为创新题，另一种说法是定义新运算。解法较多。基本解法可以用特殊值法，如取三个已知复数分别代入。另一个秒杀的方法是，前9个题的结果是1A,3B,2C,3D,按照历年广东文科的分布规律最后一题应选A这种解题法没有科学依据，但近十年来都是这样的分布！11.解析：本题考查导数的几何意义。y'5ex,故k5e05,所以y5ex3在点0,2处的

13、切线方程为y25x即5xy20解析2此为基础题。求出导数为一5,然后用点斜式方程。12 .解析：本题考查古典概型.采用列举法，从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de42共10个，含有子母a有ab,ac,ad,ae。故概率为105A后，需要在另外4个字母中解析2一般解法是用列举的办法或画数状图。简单解法是取到字母任取一个，有4种方法，一共从5个字母中取2个有10种方法。13.解析：本题考查等比数列的定义和性质.10g2(a1a2a3a4a5)log2(aa5a2a4a3)log(442)5本题也可以直接引入a1和q这两个基本量求解解

14、析2此题秒杀方法是令此数列an2的常数列。结果为5.14 .解析：本题考查极坐标与平面直角坐标系的互化.由2cos2sin得22cos2sin,即2x2y,由cos1得x1.联立2x2y和x1,解得x1,y2,所以则曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).2解析2转化为直角坐标系万程C1:yx,C2:y1后易得结果。15 .解析：本题考查平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定以及性质。因为ABDC即3AEAE，CDF的周长DCABAECD,所以CDFsAEF,所以的国上AEF的周长AEAE解析2显然两三解形相似。相似三角形面积的等于相似比的平方。故面积比为9.16解析：(1)由题意得f(A

15、)Asin()Asin-三2A包2,所以12123422A3.(2)由(1)得f(x)3sin(x一),所以f()f()3sin(一)3sin(一)3333(sincoscossin)3(sincoscossin)3sinJ3,所以3333sin一,所以.cos V1 sin221 1吏,1 33所以f ()3sin(一 63sin( ) 3cos 2点评：笔者觉得2014年广东高考的三角函数题目难度总体比往年大，第一问属于送分题，与往年设计求解特殊函数值类似，第二问比往年设计得复杂些，但对于中上层考生来讲，笔者仍觉得这是个容易题，思维受阻的可能性比较小.17 .解析：（1）年龄30的的工人数

16、为5,频率最高，故这20名工人年龄的众数为30,极差为最大值与最小值的差，即40-19=21.（2）茎叶图如下：-12349888999000001111 2220（3）这20名工人年龄的平均数为192832933053143234013020所以这20名工人年龄的方差222222s21930328303(2930)4(3130)3(3230)4030二620.点评：类似于本题的题目其实学生已经不小，所以学生对这种题型不会有陌生感.但是我觉得会遇到几个问题，一是关于计算，而是在画茎叶图可能不是很规范。另外关于极差，很可能大部分学生都忘记了.18 .（1）证明：（1）因为PD面ABCD,AD面A

17、BCD,所以PDAD.又因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD,因为PDCDD,所以AD面PCD.在图3中，因为CF面PCD,所以ADCF即MDCF,又因为MFCF,MDMFM,所以CF面MDF.,3.(2)因为CF面MDF,DF面MDF,所以CFDF.在图2中，PD1PC2CD2因为PD 3, PC2,DC 1,所以 PCD .所以在Rt3DFC 中，DFDC sin 一3,32CFDC cos31一.所以在图3中，PF PC 23FC 即2MF一.在 Rt 2MDF ,MDDF 2三6.又因为在Rt DPC ,2EF/ DC,所以DE CFDP CP1 -,所以4DE1 DP4、3 _3,

18、所以s4DEC1-DE DC2所以Vm cde1 -S DEC MD3216点评：本次考试的立体几何题基本与近两年较相似，主要汇集在线面位置关系的证明和锥（柱）体的体积求解，本题的第（2）问计算量较大，这也是做立体几何题常常会遇到的一个困难和挑战!19.解析：（1）当n 1时,2a1ai6 。解得ai2或ai3。因为an0 ,所以a12 .(2)由题意得Sn3 Sn(n2n)0,因为an所以Sn0 ,所以Sn30 ,所以Sn(n2 n) 0即 Sn2时，an Sn Sn1 n2(n21)(n1)2n(3)所以所以1, a12满足上式，故an证明：当n 1时,2时，an(an 1)1an(an1

19、)a1(a11)2n(na1(a11)2n(2n 1)4n2 2n3n22n3n2 n 2n 3n(n 1)1(13n(n 1)37）（nn 12)a2 ( a21)an(an 1)a2 ( a21)an(an 1)111)n163故对一切正整数n,有a1 a11a2 a2_11 an an 1点评：本道题的第（1）问是基础题，难度较小，第（2）问可能会让部分学生思维受阻，注意到222Snnn3Sn3nn0,nN，其本质就是关于Sn的一元二次方程，采用因式分解或1一求根公式求出Sn是解决本题的关键！第（3）问是数列求和放缩问题，放缩目标为一，结合题目特311点不难猜测利用这个模型就可以达到目的

20、，而在证明an（an1）3n（n1）an（an1）3n（n1）方法很多，分析法和综合法都可以派上用场。与2014年广东理科数列题第19相比，笔者觉得文科的难度其实更大！20 .解析：（1）由题意得c55,ec出，所以a3,所以b2a2c24,所以椭圆Ca322的标准方程为二匕1.94（3）由题意可设两条直线的斜率都要存在,设其中的一条切线方程为y kx b,则另一条切线为1y kx bx m.联立 22k4x2 9y36，消 y得 4 9k2 x2 18kbx 9b2 036 0因为直线与椭圆相切，所以18kb 2 4(4 9k2)(9b2 36) 0 ,化简得 b2 9k2 4 .同理可2y

21、 kx b19得m2 9 4 4 ）。又因为P xo, y0是这两条切线的交点，所以联立1kky - x mk解得粤图，所以k2 1y kx2k (m b)b 2k2 1k2.所以xok(mb)k2 1k2m by。k22x。-22 22bmk k b22k 12y。42_22k m 2k mb bk2 1所以2x。2y。2 2422k bk m b22k2 1b2 9k29代入 k2式，得22x。y。292_249- 2k2 42 k2(9k2 4) k4(42) 9k2 4kk13(k4 2k2 1)13-当11与x轴垂直，12y轴时，或|2与x轴垂直11y轴时，此时满足条件的 p的坐标为 3, 2 ,满足上述方程，所以点22P的轨迹方程为x0y013点评：本题的第（2）问与2。12年广东文科高考和2011年广东理科第（1）问有几分相似，方法很类似，考查了转化与化归的能力，计算量较大.可以看出往年的高考题就是最好的模拟试题!21 .解析：f'(x)x22xa.令x22xa0当44a。即a1时，f'(x)。，所以f(x)的单增区间为，.当。即a1时，x22xa。有两