循环置换及循环置换分解

1、循环置换及循环置换分解.(L)循环运换(伦换)前曲我们己经引入r逹换的记法，卜血，冉介绍一神记法.设有s兀盪换 " 234 5678、穴=,兀的变换过程为1->4->2->3->5 1.即其他(4352167X丿尤素都不改变，若将不发牛攻变的2字都删抻，那么上述直换町写成恬坏置换的形 式：龙二(1423 5)住童:循环置换是置换的列 种表迖形弋它以发牛如山文字的变化次序为序，表达成轮 換的老式虽然衣达形式简徒,(n所含笛换的I京右文字的数口可能反映不出来这要求事光了 以说旳.例如“8元置换- = (1423 5)”.般地，何个循环的衷达方浓不吐，例如. =(1

2、42 3 5)=(2 3 5 I 4)=(51 42 3)= -这足因为，树个俯环迸换揶可视为一个苜尾柑接的恻坏：3例3.在比中.(12 32 3=(1)叫作1 一循环置换.所以，循环中的毎个文宇祁可以胃T神付II R侍确定麻.榕个循环肾换的表达形式也就确 定了.但习愤上，总兄将循环賈换屮出现的供小文孑賈在卄位.Sr的单位他等置换)以=(1) = (2)=二同上，习惯写成怎=(1).定义2屮的一个将片变创L 2变到“ 山变冋上仏血H余文字(如果还白取他文字) 不发牛变化的匱换叫做&-循坏置换(或称斤一循坏)，记为(心小3)叫代3循环迓换.345) 叫作5循环置换.(2)循环程换分解(1

3、2 3 4 5、 很容易发现，并不是毎个遼换都能成为循坏置换比如55兀置换r=介不13 4 5 2 I丿可能足循环負挽但我们会发现_卩2345)_(12345丫12345)心34521丿=3254山4325丿=0 3 5X2 4)(*)可見，旷虽不是祁环曽轶，但它是循环腎换之积。定义3设/r=(<lJ2, -j；)flir = G1,/»；.)«足循环置换.如果疋与：不含相同的文字，那么称兀与r是不相连的.定理2.紂个h元置换都可以弓成若干个不相连的祜坏營换的康枳.(楣环置换分解定 理)【证明】.设兀是»屮仟一个”兀置换，卜血対;r屮吹变文丫的个数用数学归納

4、法.如來兀使123, 中每个文7邵不发生反变，则余足也等還换即兀=(1)，定理2戚亿假设兀最多变动r-l(r</r)个文字时，定珅成立。现考察;r变动了/个元的情形："先在被/r变动的文宁中随意取-个文了i从/,岀发找刘/.在龙下的象心再找，2的彖/3， ，直到找到L , 其中：几>人 T是因为龙只变动了个文字，故AS,.如采&二厂，则”本少就是个，循坏置 换：兀=伉,，)定理证毕。如果k<r,模仿(*)的做法。n -山于兀中只隻动了 r个文字，.厲中只能殳动r-kcr个文字由归纳假设.厲必可以写成若干个不相连的循环置换之积：® =帀“2久，还需特

5、别说明：叭屮的所有循环置换伯2,中不可能卯出现：",，否则，半严(“) P"因为九弘，0”,是互不相连，=> 匚只右：卩屮出现.=> 召但前加C仔叭=即眄将使匚保持不动，这样就导出了孑JS.这恰说明：7T = (/, i2 .山皿入是互不相连的循环置换之积.明示：将置换写成不互相述的循环置换之积是农示置换的第二种方法.循环置换的性质问题1.禺是-个3阶群(三次对称群),所以S3中每个元素的址自皱都是以有限的. 那么具体是多少呢？比如：/r=(12 3),则n1 =(12 3办 2 3)= (13 2),、2 3 /=2 = (132X123X1). |兀| =

6、3这里兀是3擔环置换，恰好力的阶是3.这不是巧合，我们有：结论1.人一循环置换=(/j2/；)的阶就是k解释；斤一循环遥换兀=(站")的-次方则将A变成L 二次方则将匸变成 "次方则将人变1叫到人，只余文丫也是如此.所以，当m < k时，；r'J(l)向卅=(1)./.| = A .问题2每个置换/r都是刃射，那么疋的逆置换也必是双射二必虫是置换，那么広会是什 么样子呢？设冷 2 3 4 5,-=4153 $口I25锐 I 532丿(I2345丿(254 I3)若将/r 表成循环置 /r = (l4 35 2)=>/(1253 4)说脊 循环置换兀的逆置

7、换就是将每个文字的变动方向反向.结论2:人 循环置换広= (“；)的逆置换也是循环置换且兀*问题3.由前已知,两个变换一般是不能交換的,所以，两个宣换一般也不能交换的但 是我们会发现.St = (I 3 2) r =(4 5)=>r= th结论3.两个不相连的k 一循环fit换是可以交换的。结论Q任一个X循环置换兀=(M2 )=伸2 加3卜(" Xm*)=(¥iX"； )(/)定义4.毎个2 循环置換都叫做一个对换.利用结论4,我们有:定理3.每个n元置换都能表示成若干个对换的乗积。=(2 5)(2 3)(21)(2 7) = (2 7)(5 7)(3 7)

8、(17)结论4是“因地制宜-用现有的文字构成对换之枳.有时我们需菱一些其他文 字“加入”对换之中，于是有了结论5设/(彼几)且Gi «2<*)=(J <| ，2讥丿J五.置换的奇偶性.虽然山结论1. 5可知，毎个宜换部陀写成対换Z积.J1対换之枳的表示形式不是唯H 2 3 4A(比如(2 | 3 4戸 2)=(3 "I 2)(3 4)门対換个数的奇偶件兄不会改空的。结论6任激一个露换表成对换之积时，表示式中对换个数的奇偎性不变.定义5.个置换；r叫做偶(奇)置换O兀可以表成偶(奇)数个对換之积.利用结论4知.我们能很容易地判断山循环置换的奇偶性.结论7. 一个k

9、 循环鬣换n-是偶(奇)賈换o k为奇(偶)数.考察下血的例子：|S= 4!=24 .而»屮全部偶置换共有12个:(1);(12 3):(132);(12 4)：(14 2);(1 3 4):(14 3);(2 3 4);(2 4 3);(12)(3 4);(13)(2 4);(14)(2 3) = A4那么九就定Sj中的 切偶置换组成的集合，对丁賈换的乘法，能发现；中乘法封闭 比屮乘法满足給合律 人中有单位元(1)A/嗨个置换冇逆元，逆元也在/VIU山细论2)所以儿足个样，这个時殊的置换带习惯是卜林为4次交换群.定文6. n次对称群S”中全部偶宣换组成的集合九枸成一个群叫做次交错群

10、.其中 d4| = yM = p利用Cayley定理:每个有限群G都与某个置换群同构.置换的乘积设人=1.23的任一个置换123<3 1 2那么由亍”和I都是一一变换,J是1111变换.几有 /rr ：1->1, 22,3->3.用本教材的记法为：1" = 1, 2" =2, 3 = 3.换柯话说：nr =仃2 3 <23 I2 3、2 I例.计算下列置瓠的乘积:解:3Y12丿、23、1rlJnr1 = (r)r =I 2 3YI3 I 2K3、3丿11注嵐:置换乘积中是从左到右求变换值，这是b过去的习愦方法不同的.例2. 设A二1,2,3.那么A的

11、全部一一变换构成的三次対称群为S = 龙0 »龙刀2，疋P兀5 其中2 3、仃23、12 3、»71.-p龙2 =J 23丿1J 3 2;213,kZ仃23、仃23、123'2 31丿、3 1 2,'兀5 =、3 2 /所以|sj = 3!=b.tt屮仇足恒等变祕即竝忠S的单位元.定理1.刀次对称群»的阶是川ihTS换群也足变换群,故必蕴含冇变換祥的 切转征. 色姒不可殳换性：( 2 3YI 2 3、2 1 3(2 3)/ 2 3V1 2 3、3 I 2口2 1 3 丿 11宣换群的基本概念定义1.任一集合人到白身的映射都叫做A的 个变换，如足冇氐q、n变换足变换 （双射），那么这个变换为A的一个置换。有限樂合A的若F个宜换若作成群.就叫做宜換群含自/个元素的有限群&的全 体置换件成的群，叫做川次対称誹。通常记为S”.明示山定义1知道,置换群就是 种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而“次对称 群£也就是冇頤红合人的完全变换群。现以A = at心为例，S /T : A -人是A的变换。叩；F :q h> d2, a2 h> a3 f勺I a,利用本教材中特定的表示方法冇：=a2 , =ay,山于映对屮只关心元索之间的对称关条