第四章线性系统的根轨迹法

1、第四章线性系统的根轨迹法第四章线性系统的根轨迹法 本章阐述了控制系统本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。包的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则条件和基本规则, ,以及利以及利用根轨迹如何分析控制用根轨迹如何分析控制系统的性能。系统的性能。本章重点本章重点本章主要内容本章主要内容 学习本章内容学习本章内容, ,应重点掌握根轨迹的应重点掌握根轨迹的基本概念、绘制根轨基本概念、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则和利用迹的绘制规则和利用根轨迹分析系统性能根轨迹分析系统性能第四章线性系统的根轨迹法4-1

2、4-1 根轨迹基本概念根轨迹基本概念特征方程的根 运动模态 系统动态响应（稳定性、系统性能）一、根轨迹一、根轨迹 开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹称为根轨迹。若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。稳定性由闭环极点决定，系统的性能与闭环零极点 分布有关，零极点由根轨迹给出，也就给出了系统时间响应的全部信息，可以指明开环零极点如何变化可以满足系统的性能要求，同时可以求出系统的近似根。第四章线性系统的根轨迹法022)(,222)()()(22KsssDKssKsRsCs)15 .0(ssK例 : 分

3、析 二阶系统的根轨迹与系统性能的关系Ks2112, 1开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。Ks2112, 1 0K00K1221211K5.2KKj5.0KK=1k第四章线性系统的根轨迹法二、根轨迹与系统性能二、根轨迹与系统性能稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平面。K由0变到无穷根轨迹未进入S平面右半平面，可知系统稳定。（什么时候出现 临界开环增益）稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。分析上例系统的根分布在虚轴的左侧系统是稳

4、定的。动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。分析上例 第四章线性系统的根轨迹法0K0.5根为一对复根，欠阻尼状态阶跃响应为衰减振荡超调随k增大而增大。nK=1最佳阻尼状态nK1平稳性变差n所以绘制出系统的根轨迹即可分析系统的性能。 第四章线性系统的根轨迹法对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。根轨迹法 图解法求根轨迹。 从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系设 控制系统如图所示qiifjjGGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()()12)(1

5、()12)(1()()(sG)(sH)(sC)(sR)()(1)()(sHsGsGs第四章线性系统的根轨迹法*11*1111*,)()()()()()()()()(HGniimjjhjjqiiljjfiiHGkKKKlfmhqnpszsKpspszszsKKsHsGsG221221*TTKKGG和hjjljjHpszsKsH11*)()()(GK*GK*HK ：前向通路增益 ：前向通道根轨迹增益 ：反馈通道根轨迹增益开环系统根轨迹增益与开环增益之间相差一个比例常数第四章线性系统的根轨迹法mjjniihjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1*111*)()()()()()(1)()(结

6、论：（1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环系统前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点由 开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成。（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 均有关。*K第四章线性系统的根轨迹法根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。四、根轨迹方程四、根轨迹方程1)()(0)()(111*niimjjpszsKsHsG由闭环传递函数)()(1)()(sHsGsGs*0KK当求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。根轨迹变化的参数不一定是参数 也可使其他参数根轨迹方程*K第四章线性系统的根轨迹法),2, 1,0(,)12

7、()()(11kkpszsniimjjmjjniizspsK11*)12(11*11*1,1)()(kjjniimjjniimjjeepszsKpszsK根轨迹方程可以进一步表示为（实质是向量方程）相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）模值条件（幅值条件）：第四章线性系统的根轨迹法iniipspsK1*0)(04-2 4-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则*K可变参数为根轨迹增益),2, 1,0(,180)12()12()()(11kkkpszsoniimjj相角条件：180o根轨迹规则规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。简要证明：0)()(0)()(1

8、1*1mjjniizsKpssHsG第四章线性系统的根轨迹法又从0)()(111*mjjniizspsKjmjjzszsK1*0)(在实际系统通常是 ，则还有 条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 个无限远（无穷）零点。mn )(mn)(mn0*K*K0mn 0mn 0*K*K有两个无穷远处的终点有一个无穷远处的起点第四章线性系统的根轨迹法规则规则2：根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数根轨迹的分支数与开环极点数n相等（nm）,系统有n个根所以K变化时s平面有n条轨迹（nm 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确

9、定。第四章线性系统的根轨迹法证明如下渐近线是s很大时系统的根轨迹，采用长除法mjjniimiimjjzspskpszsk11*11*)()()()(1*1)11()(kscskcssmnmnmn第四章线性系统的根轨迹法mnmnkscs1*1)()11 (S很大时，省略高次项上式近似为111*111)()1 (backsbasmnmn上式按二项式展开略去高次项) 12(sin) 12(cos)()2sin()2cos()(1)1 (*1*11111mnkmnkkkkikkkmnsbasbasmnmnmn第四章线性系统的根轨迹法带入上述方程另js方程两边实部和虚部分别相等即可求出下式mnzpmnk

10、tgnimjjiaaaa11)12()(渐近线是n-m条与实轴交点 为交角为 的一组射线aa第四章线性系统的根轨迹法)22)(4()1()(2*sssssKsGmnkoa180)12(mnzpnimjjia11与实轴夹角与实轴交点例1 设单位反馈系统的前向传递函数为，利用上述法则确定相关数据1,11,4,014321zjpjppp（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线第四章线性系统的根轨迹法oooooakmnk180,60,6014180)12(180)12(67.114)1()1140(11jjmnzpnimjjia与实轴夹角与实轴交点规则规则4：

11、实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。第四章线性系统的根轨迹法设开环零极点分布如图， s0为一测试点。jz1z3s0z2p3p2p0p41432132利用向角条件分析第四章线性系统的根轨迹法 是各开环零点到测试点的相角。 是开环极点到测试点的相角。ij1、由图可见复数共轭极点到实轴任意一点相角和为2共轭零点也如此。可以不考虑其影响。2、测试点左侧的开环实数零极点到测试点的相角为零，右侧的开环实数零极点到测试点的相角为 ，相角和，右所有开环实零点到表示00ssi) 12() 12(00kkssjijij

12、，上式等效为每个角均为由于公式中由相角条件得相角和，右所有开环实极点到表示第四章线性系统的根轨迹法由相角条件 )12(11kniimjj规则规则5：根轨迹分离点与分离角两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：niimjjpdzd1111) 1 (0)()()2(0)()(1)()(1*dsdssHsdGsNsMKsHsG或0) 3(*dsdsdK第四章线性系统的根轨迹法注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），

13、则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。（4）l条跟轨迹分支进入并离开分离点时分离角由（2k+1） /l决定，k=1,2,3,.,l-1;分离角是根轨迹进入分离点的切线方向与实轴夹角的正方向。例 2 绘制图示系统大致的根轨迹)3)(2()1(*ssssK)(sR)(sC11z解（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。3,2,0321ppp第四章线性系统的根轨迹法（2）实轴上根轨迹（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4）分离点（用试探法求解）0, 1, 2, 32) 13/() 1()320(aooak90) 13/(180) 12(4

14、7. 2)2(4 . 03121167. 0115 . 2) 1 (3121111dddddddddd10j2347. 2第四章线性系统的根轨迹法规则规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角 。终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角 。ipizmjnijjpppzopijiji11180mijjnjzpzzozijiji11180第四章线性系统的根轨迹法设系统m个开环零点n个开环极点靠近起始角处取点s1另s1无限接近极点pi除pi外所有开环零极点到s1的向量角，点的相角条件有根据点的向量角为起始

15、角，到代替和的向量角可以用到和1111ssppiipjpipjzisjpsjzmjnijjpppzopijiji11180mijjnjzpzzozijiji11180同理有第四章线性系统的根轨迹法10j2334p21js *K规则规则7：根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益 和角频率 可以用劳斯判据或闭环特征方程（ ）确定。)22)(3()()(2*ssssKsHsG例5 设系统开环传递函数试绘制系统大致的根轨迹。第四章线性系统的根轨迹法方法1利用劳斯判据：与虚轴相交系统处于临界稳定，令劳斯表第一列含K 的项为零，确定K值利用偶次项，构造辅助方程求解，方法2：s=jw带入闭环特征方程另虚部和

16、实部为零求解。参见实例。第四章线性系统的根轨迹法解（1）无开环零点，开环极点在实轴上根轨迹-3，0。（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点jppp1,3,04 , 32125.141130135,454180)12(jjkaoooa（3）分离点01111311jdjddd第四章线性系统的根轨迹法3 . 206161540)685(0685)22)(3(0)()(1)()22)(3()()(23*234*234*22*dddddsdKssssKKssssKsssssHsGsDssssKsHsGds（4）起始角（出射角）ooooooptgtgjj6 .719021)190(18090)3

17、1()1(180113471.6op第四章线性系统的根轨迹法（5）与虚轴的交点 运用劳斯判据0685)(0)()(1)(*234KsssssDsHsGsD*0*23*4034/ )25204(5686581KsKsKssKs由第一列、第四行元素为零16. 8025204*KK由辅助方程095. 1016. 8)568(2, 12jss方法2：s=jw带入特征方程有实部虚部方程08*34kww0653ww16. 81 . 1*kw得出第四章线性系统的根轨迹法0j13 . 23规则规则 8：闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支的走向mjnllnjmniinninllinllnnlnnininlj

18、mmjminninnllmjjniimjjniipzKpppmnpspszszsKpspspszsKpszsKpssHsG11*111111111*111*11*1) 1() 1() 1(2) 1()() 1()() 1()()()()(0)()(0)()(1-1+j-1-j1-1api第四章线性系统的根轨迹法mjnllnjmniinninllipzKpppmn11*111) 1() 1() 1(2若开环传递函数的积分环节个数1mjnlljmnmjnlljmnniipzKpzKp11*11*1) 1() 1(结论结论：（1）若 n-m2 闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数表明：在某些根轨

19、迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。（2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比。第四章线性系统的根轨迹法闭环极点的确定闭环极点的确定对于特定的K*值下的闭环极点，可以借助根轨迹图用模值条件确定。根据K*值，通常用试探法先确定在实轴上的闭环极点，然后确定其它的闭环极点。例6 确定 K*=4 的闭环极点。0j13 . 23)3()1()1(*sjsjssK因为已知分离点33. 4) 3(3 . 2)1(3 . 2)1(3 . 23 . 2*jjK3 . 2d-1+j-1-j1-1第四章线性系统的根轨迹法于是可

20、知 K*=4 对应的闭环极点在分离点两侧。经过若干次试探，找出满足模值条件的两个闭环极点52. 2221ss86. 024. 0)()(52. 2)(2(4685)(44 , 343234*jssssssssssssDK另外两个根可以从特征方程求出第四章线性系统的根轨迹法4-3系统性能的根轨迹分析系统性能的根轨迹分析一、系统性能的定性分析一、系统性能的定性分析 闭环系统零点和极点对时间响应性能的影响。 （1）稳定性：闭环极点分布在s左半平面即可，与闭环零点无关。 （2）运动形式：闭环系统无零点，闭环极点均为实数响应一定是单调的，闭环极点均为复数响应一般是振荡的。 （3）超调量 ：主要取决于复数

21、主导极点衰减率 或阻尼比与其它闭环零极点接近原点的程度有关.21/第四章线性系统的根轨迹法n（4）调节时间：取决于最靠近虚轴的闭环的复数极点实部绝对值，如实部极点离虚轴最近且附近无零点，则调节时间取决其模值。n（5）实数零极点影响：零点减小系统阻尼超调增大峰值时间提前，极点增大系统阻尼峰值时间滞后，超调减小，离原点越近作用越强。（6）偶极子处理：零极点之间的距离接近，并且它们之间的距离比它们本身距离小一个数量级，可以约去，但是它们接近原点时必须考虑。第四章线性系统的根轨迹法二、附加开环零点的作用1. 附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为)22()()()(21*ssszsKsHsG1z1z 附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当 时，表明不存在有限零点。1z令 为不同的数值，对应的根轨迹见下一页图所示：（a）无开环零点；（b） ；（c）（d）31z21z01z第四章线性系统的根轨迹法060060-1+j-