北京四中---高中数学高考综合复习专题十七算术平

1、高中数学高考综合复习 专题十七 算术平均数与几何平均数一、知识网络 二、高考考点1、运用重要不等式a2+b22ab（a、bR）或 （a、bR+）判断或证明所给不等式的命题是否成立；2、在给定条件下求有关式的取值范围；3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值；4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。三、知识要点（一）不等式的性质不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。1、 关于不等式的“基本性质”（1）对称性：a>b b （ 2 ）传递性： a>b,b>c a>c （ 3 ） “ 数

2、加 “ 法则： a>b a+c>b+c 推论： a+b>c a>c-b （移项法则） （ 4 ） “ 数乘 ” 法则： a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac 2 、关于不等式 “ 两边运算 ” 的性质 （ 1 ）同向不等式两边 “ 相加 ” ： a>b,c>d a+c>b+d; （ 2 ）同向的正数不等式两边 “ 相乘 ” ： a>b>0 ， c>d>0 ac>bd ； （ 3 ）正数不等式两边 “ 乘方 ” ： a>b>0 a n >b n >0(n N

3、 * ; （ 4 ） 正数不等式两边 “ 开方 ” 认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为 1 （ 1 ）； 1 （ 3 ）； 1 （ 4 ）及其 2 （ 3 ）； 2 （ 4 ） （二）基本定理及其推论 定理 1 ：如果 a,b R ，那么 a 2 +b 2 2ab （当且仅当 a=b 时等号成立） 推论（平方和不等式）： （当且仅当 a=b 时等号成立） 定理 2 ：如果 a,b R + ，那么 （当且仅当 a=b 时等号成立） 推论 1 （和的平方不等式）：若 a,b R + , 则（ a+b

4、） 2 4ab （当且仅当 a=b 时等号成立） 推论 2 （最值定理）：设 x,y 均为正数，则 （ 1 ）当积 xy 为定值 P 时，和 x+y 有最小值 （当且仅当 x=y 时取得）； （ 2 ）当和 x+y 为定值 S 时，积有最大值 （当且仅当 x=y 时取得）； 四、经典例题 例 1 （ 1 ）若 x,y R + 且 的最大值 . （ 2 ）若 x,y R 且 xy>0 ， x 2 y 2 ，求 u xy x 2 的最小值 . 分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等 （ 1 ）欲求积 的最大值，首先致力于 “ 凑因子 ” ，为凑出已知条件下 “ 和为定值 ” 的正数

5、之积而变形 u ，若 u 的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察 u 2 ： （ 2 ）欲求和 xy+x 2 的最小值，首先致力于 “ 凑项 ” ，为凑出已知条件下 “ 积为定值 ” 的正数之和而变形 u ，若有可能，将 u 化为一元函数，问题分析会更明朗一些。 解： （ 1 ）注意到这里 x>0 ， u>0 ， = （当且仅当 ） 时等号成立）。 （ 2 ）由已知得 =3( 当且仅当 时成立 u min =3 （当且仅当 x=1 且 y=2 时取得） 点评：遇 “ 积 ” 凑因子，在主体部分凑出 “ 若干因子之和为定值 ” 的形式； 遇 “ 和 ” 则凑项，

6、在主体部分凑出 “ 若干项之积为定值 ” 的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数 “ 相等 ” 的可能性。 例 2 （ 1 ）若 x,y,a,b R + ， ab ，且 ，求 u x+y 的最小值； （ 2 ）若 0 ， a ， b 为常数，且 ab>0 ，求 的最小值 . 分析： 对于（ 1 ）如何利用 , 这一条件通常用法多是作 “1 的替换 ” 或作 “ 三角替换 ” ； 对于（ 2 ），注意到这里 0 ，并且两个分母之和为 1 ： x+(1-x=1, 在 (1 的基础上易于寻出解题思路。 解： （ 1 ） 解法一（利用 “1 的替换 ” ）： x,y,a,b R + 解法二（

7、运用 “ 三角替换 ” ）：注意到 令 则有 x=asec 2 ， y=bcsc 2 u= asec 2 +bcsc 2 =(atan 2 +bcot 2 +(a+b ( 当且仅当 atan 2 bcot 2 时等号成立 (2 注意到这里 0 ，且 x+(1-x=1 ， 令 x=cos 2 , 则 1-x=sin 2 ( ( 当且仅当 时等号成立） y min =(a+b 2 ( 当且仅当 时取得 点评 : 对于 (1, 是明显的 ; 对于 (2,x+(1-x=1 是隐蔽的，今后解决函数或代数的其它问题 , 也要注意认知并利用问题中隐蔽的等量关系或不等关系。 例 3 （ 1 ）设 a,b,c

8、是 RtABC 的三边， c 为斜边之长，且 a+b+c=4, 试求 C 的取值范围； （ 2 ）设三个数 a,b,c 成等比数列，且 a+b+c=1 ，试求 b 的取值范围。 分析：在一定条件下求某个变量的取值范围，基本解题思路有二： (i 由已知条件与重要不等式导出关于 的不等式，而后由这一不等式解出 的取值范围； （ ii ）立足于已知条件中的等式（内因），借助已知的重要不等式（外因），内外结合推导 的取值范围。 解： （ 1 ）由已知得 c 2 =a 2 +b 2 ( 利用三角形的特殊性 4-c=a+b （以 c 为主元整理或变形） 注意到 a,b R + 且满足 2 （ a 2 +b

9、 2 ） (a+b 2 将 ， 代入 得 2c 2 (4-c 2 再注意到这里 a+b>c ( 利用三角形的普通性质 a+b+c>2c 又 a+b+c=4 c<2 于是由 、 得 所求 C 的取值范围为 （ 2 ）由已知得 b 2 =ac 1-b=a+c ( 以 b 为主元整理或变形 为利用重要不等式而讨论：由题设知 a 、 c 同号 （ i ）当 a,c 同为正数时， ( 当且仅当 a=c 时等号成立 由 得 a+c2|b| 再由 得 1-b2|b| 2|b|+b1 若 b>0 ，则由 得 ； 若 b<0 ， 则由 得 -1b<0 由 解得 -1b<

10、0 或 (ii 当 a,c 同为负数时， 由 、 得 1-b-2|b| 2|b|-b-1 无解 于是综合（ i ）（ ii ）得所求 b 的取值范围为 -1 ， 0 ） （ 0 ， 点评：（ 1 ）、（ 2 ）解题的共同之处，是立足于已知的等式，借助算术平均数与几何平均数大小的不等式导出有关变量 的取值范围，这也展示了这一类问题的基本解法。 例 4 （ 1 ）已知 a>b>c ，不等式 恒成立，求 k 的最大值 （ 2 ）已知 x,y R + , 且不等式 恒成立，求 a 的最小值 分析：此恒等式问题与最值有着千丝万缕的联系，而寻求有关式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。 解

11、： （ 1 ） a>b>c 原不等式恒成立 恒成立 令 则 ku 的最小值 又 ( 分子主动与分母沟通联系 4 （当且仅当 时等号成立） u min =4( 当且仅当 a+c=2b 时取得 于是由 、 得 k4 ，即 k 的最大值为 4 （ 2 ）不等式 恒成立 恒成立 恒成立 ( 为便于利用重要不等式而变形 恒成立 ( 化生为熟转化成功 令 则 au 的最大值 x ， y R + ( 当且仅当 x=y 时等号成立 ( 当且仅当 x=y 时等号成立 ( 当且仅当 x=y 时取得 于是由 、 得 ，即 a 的最小值为 例 5 已知 a,b R + ，且 a+b=1 ，求证： （ 1

12、） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） 分析：对于条件不等式的证明，条件的适当运用是证明的关键环节，对于题设条件中的等式的应用，主要有三个方面 （ i ）直接代入：以 a+b=1 或（ a+b ） 2 =1 代入； （ ii ） 换元转化：令 a=cos 2 , （ iii ）借助 “ 外因 ” 联合推理：由已知等式联想有关的重要不等式，二者联合导出已知条件的延伸。 联想 1 ：由已知等式本身联想重要不等式： a,b R + ，且 （ 1 ）由左边 a+b 联想重要不等式 （当且仅当 a=b 时等号成立） （当且仅当 a=b 时等号成立） （当且仅当 a=b 时等号成立

13、） （ 2 ） （当且仅当 a=b 时等号成立） 联想 2 ：由已知等式的等价变形联想重要不等式 （当且仅当 a=b 时等号成立） （当且仅当 a=b 时等号成立） 这与联想 1 中推出的结果殊途同归 . 对已知条件作以上挖掘延伸之后 , 再证明所给例题便是水到渠成。 证明：（ 1 ） 证法一 ( 分析转化、化生为熟 ： 原不等式 又 不等式（ * ）成立， 原不等式成立。 证法二：（化整为零，化隐为明）； 注意到 当且仅当 时等号成立 同理 ( 当且仅当 时等号成立 ( 当且仅当 时等号成立 (2 利用前面的推论，左边 (3 略 (4 利用前面的结论 , 左边 ( 当且仅当 时等号成立 (5

14、 利用前面的推论得 为了构造同向不等式 , 对左边配方 : 左边 ( 当且仅当 时等号成立 ( 当且仅当 时等号成立 ( 当且仅当 时等号成立 ( 当且仅当 时等号成立 (6 解法一 :( 为了构造 “ 同向不等式 ” 硬性提取 后再作变形 : 左边 ( 当且仅当 时等号成立 ( 当且仅当 时等号成立 左边 ( 当且仅当 时等号成立 解法二 : 仿 (5 之解法 , 留给同学们练习 点评（ 1 的证明告诉我们 , 对于感觉生疏的不等式的证明 , 要注意通过等价变形来认知它的本来面目 ; 其它问题的证明则告诉我们 , 条件不等式的证明中 , 已知条件延伸的主要方向 , 品悟本例的证明思路 , 对

15、证明其它的条件不等式具有重要的启示或迁移作用。 例 6 、（ 1 ）已知 x,y R + ，且 x+y=1 ，试求 (i 的最小值； （ ii ） 的最小值。 （ 2 ）已知 a,b R + ，且 a 3 +b 3 =2 ，求证： （ i ） ab1; (iia+b2 分析： 对于（ 1 ）本质上是例 5 （ 5 ）（ 6 ）的改作题； 对于（ 2 ），仍可仿照例 5 中已知条件的延伸手法来寻觅解题思路 解：（ 1 ）从略 (2 证明：注意到已知条件 a 3 +b 3 =2 (a+b(a 2 +b 2 -ab=2 (i 由 式左边联想重要不等式 a 2 +b 2 2ab 由 得 a 2 +b

16、2 -abab>0 由 得 ( 当且仅当 a=b=1 时等号成立 由 、 得 （当且仅当 a=b=1 时等号成立） （ ii ）由 式左边联想重要不等式 由 、 、 得 ( 当且仅当 a=b=1 时等号成立 （ a+b ） 3 8 a+b2( 当且仅当 a=b 时等号成立 命题得证 点评：前事不忘，后事之师，学习中要注意知识、方法与策略的迁移，对于（ 2 ），也可以根据已知条件 a 3 +b 3 =2“ 实施等量替换 ” ，只是效果不一定理想，事实上， 设 则 ； （i）得证；而a+b2则难以证明,同学们不妨一试.五、高考真题1、（2004辽宁卷）对于0 给出下列四个不等式： （ 1 ）

17、 （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 其中成立的是（ ） A.1 与（ 3 ） B. （ 1 ）与（ 4 ） C. （ 2 ）与（ 3 ） D. （ 2 ）与（ 4 ） 分析：从 0 入手去比较 1+a 与 的大小 0 又当 0 时， y=log a x 为减函数 当 0 时， y=a x 为减函数， 于是由（ * ）、（ * ）知本题应选 D 2 、（ 2004 全国卷 II ）： 已知 a 2 +b 2 =1,b 2 +c 2 =2,c 2 +a 2 =2, 则 ab+bc+ca 的最小值为（ ） A. 分析：为建立 “ 已知 ” 与 “ 目标 ” 的联系，考察已知三式的和： 将 与已知各

18、式联立，解得 即 注意到欲求 ab+bc+ca 的最小值， 只需 a 、 b 同号且 c 与它们反号 ab+bc+ac 的最小值为 应选 3、（2005湖南卷）集合 B=x| |x-b| ，若 “a=1” 是 “AB ” 的充分条件，则 b 的取值范围可以是（ ） A.-2b<0 B.0 万平方米以上的大学生创业孵化基地；每个科技创业特别社区中安排面积不少于 5000 平方米的载体专门用于大学生创业。 三、扶持政策分析：从认知与化简集合A、B切入A=（-1，1）， B=（b-a, b+a）当a=1（三）提供创业场地扶持。对在宁初始创业青年大学生入住创业园区的项目，可提供最高30）此时，令

19、b=0 则B=（-1，1），显然 AB ，符合要求，由此否定A，B；令b=-1，则B=（-2，0）此时，AB=（-1，1）（-2，0）=（-1，0） ，符合要求，否定C.8000元为限额依次扣减其当年实际应缴纳的营业税、城市维护建设税、教育费附加和个人所得税。（六）鼓励创业带动就业。青年大学生创业并正常经营纳税一年以上和带动2人以上就业的，给予一次性4000元奖励。初创企业3年内吸纳本市户籍失业人员或就业困难人员就业，签订一年以上期限的劳动合同并依法缴纳社会保险费的，给予1500元/人的一次性带动就业奖励。创办企业吸纳就业困难人员就业的，给予最长3年期限的社会保险和岗位补贴（创办劳务派遣企业不

20、在本政策扶持范围，下同）。（七）加强创业指导和培训。鼓励驻宁高校结合大学生创业园建设成立大学生创业指导站，指导站建设符合市规定要求的，每个给予一次性5-10万元经费补贴。推行大学生创业导师制，通过“创业导师进校园”、“一对一”创业指导、跟踪服务等多种形式帮助大学生提高创业实践能力。开展青年创业培训实训，经具备创业培训资质且经过公开招标的社会培训机构培训合格的在宁青年大学生，可按规定申报创业培训补贴。对到定点实训基地参加创业实训的我市户籍大学毕业生，给予最低工资标准60%的生活费补助。n满足（一）加强青年大学生创业工作组织领导。市区（县）两级成立由政府分管领导任组长、相关责任部门参加的青年大学生创业工作领导小组。创业工作领导小组负责青年大学生创业工作的组织和协调，加强目标责任的管理和跟踪监督检查，确保青年大学生创业计划的顺利实施。在大学生就业工作主管部门设立青年大学生创业工作办公室，按照属地化管理的原则，受理并审核大学生创业享受扶持政策的申请，对符合条件的发放青年大学生创业证，青年大学生凭证享受各项创业优惠扶持政策。（二）加强青年大学生创业扶持工作经费保障。市、区（县）财政要加大对大学生创业扶持工作的资金投入和保障力度，根据本意见确