北京师范大学教授押题（全国）

1、数学观止卷文科数学命题 郑州国华高考复读学校 赵碧景 2009-5-26一、 填空题：()1.设函数，把的图像按向量平移后，恰好得到函数的图像，则m的值可以为 A. B. C. D.2.由直线上一点向圆引切线，则切线的长最小值为 A.1 B. C. D.33.已知三个不同的平面和三条不同的直线，有下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确命题的个数是： A.4个 B.3个 C.2个 D.1个4.设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中的系数为 A.-150 B.150 C.-500 D.5005.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为.已知这组数据的平均

2、数为10，方差为2，则的值为 A.1 B.2 C.3 D.46.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点P是该椭圆上一动点，则当取最小值时，的值为： A. B.3 C. D.7.已知等比数列的公比，其前n项为，则的大小关系为 A A. C. D.与的值有关8.“”是“”成立的 条件 A.充分但不必要 B.必要但不充分C.既不充分也不必要 D.充分必要9.设编号为1,2,3,4,5的五名学生和编号为1,2,3,4,5的卡片.至少有2名学生号与卡片号相对应的分法有 A.30 B.31 C.32 D.3610.已知正三棱柱的底面边长为2，高为1，过顶点A作一平面与侧面交于EF,且.若平面与底面ABC所成二面

3、角的大小为，四边形BCEF面积为，则函数的图像大致是 A. B. C. D.11.设，函数的定义域为，值域为.定义区间的长度为，若区间长度的最小值为，则实数的值为 A.11 B.6 C. D.12.已知函数的定义域为，部分对应值如表1，的导函数，函数的图像如图2所示，若两正数满足，则的取值范围是 A. B. C. D.表1-2041-11二、填空题：()13.展开式第3项为，则 14.如图，已知，从点射出的光线经过直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经的路程是 15.已知，由不等式，启发我们可以推广结论，则 16.如图，将，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC

4、折成大小等于的二面角，若，M,N分别为AC,BD的中点，则下列的四种说法： ； DN与平面ABC所成的角为； 线段MN的最大值为，最小值为； 当时，BC与AD所成的角等于.其中正确的说法有 (填上所有正确的说法的序号).三、解答题：17.()在中()判断的形状；()若求的取值范围.18.()如图，直三棱柱中D为棱上一动点，M,N分别为的重心.()求证：；()若二面角的大小为，求点到平面的距离；()若点在的射影正好为M，试判断点在的射影是否为N？并说明理由.19.()一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球. (I)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； (II)采取不放

5、回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；20.()已知在直角三角形PMN中，若椭圆以M,N为焦点，且经过P点. (I)试建立恰当的直角坐标系，求出椭圆的标准方程； (II)是否存在经过左焦点M的直线，与椭圆交于A,B两点且满足？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.21.()已知数列各项均为正数，并且，求证： (I)若，则； (II)； (III).22.()设，函数. (I)求的单调区间； (II)若对于任意，不等式恒成立，求的最大值； (III)若方程存在三个相异的实数根，求的取值范围.文科数学参考答案一、 选择题：123456789101112DACBDBAAB

6、CBB二、填空题：13. 14. 15. 16.三、解答题：17.解：() () 18.解法一：()连接DM,DN并延长，分别交AB,于P,Q,连接PQ.的重心，则P,Q分别为AB,的中点，在直三棱柱中， .()连接CP,AC=BC,CPAB, 又即为二面角的平面角，在在连接同上可知，.设到平面的距离为h.() ,. 又.解法二：空间向量解法：以为原点，如图建立空间直角坐标系.()设依题意有：分别为的重心. ()设平面ABC的法向量为设平面ABD的法向量为. 令设二面角C-AB-D,为则由.因此（舍去）.设平面的法向量为则令，得.设到平面的距离为，则.()若点C在平面ABD上的射影正好为M，则

7、即因为D为的中点，根据对称性可知在平面上的射影正好为N.19.(I)解法一：“有放回摸两次，颜色不同”，指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件B.“两球恰好颜色不同”共2×44×2=16种可能，.解法二：“有放回摸取”可看做独立重复试验.每次摸出一球得白球的概率为，“有放回摸两次，颜色不同”的概率为(II)记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，摸出两个球共有方法种，其中两球一白一黑有种，.20.解：(I)以MN所在的直线为轴，MN的垂直平分线为轴，建立如图所示的直角坐标系.由于椭圆以M,N为焦点，且经过P点， ，得. 又，.椭圆方程为.(II)由(I)得左焦点为，显然，当直线的斜率k等于零或者不存在时，不符合题意，故设. 由，消去得若设，则，于是，而，若有，则，解得，所以存在，满足，因此直线.21.解：(I)因为，所以，函数是增函数，由已知，所以.(II)因为，所以所以，即数列是首项为，公差为1 的等差数列.所以，.(III)由已知，所以22.解：(I)，令得列表：00极大值极小值 的递增区间为，；递减区间为.(II)由(I)得 时，恒成立. 得(III)由得单调性