平面问题的直角坐标解答ppt课件

1、要点要点 用逆解法、半逆解法求解平面弹性用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。力学问题。3-1 3-1 多项式解答多项式解答3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力3-5 3-5 级数式解答级数式解答3-6 3-6 简支梁受恣意横向载荷简支梁受恣意横向载荷主主 要要 内内 容容3-1 3-1 多项式解答多项式解答适用性：适用性：由一些直线边境构成的弹性体。由一些直线边境构成的弹性体。目的：目的：调查一些简单多项式函数作为应力函数调查一些简单多项式函数作为应力函数(x,y) ，能处理

2、什么样的，能处理什么样的力学问题。力学问题。逆解法cbyaxyx),(其中：其中： a、b、c 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y) 能否满足双调和方程：能否满足双调和方程：0244224444yyxx显然显然(x,y) 满足双调和方程，因此可作为应力函数。满足双调和方程，因此可作为应力函数。11. 一次多项式一次多项式23对应的应力分量：对应的应力分量：02yxxyXxyx22XxXx 0YyYy 0Yyxy22假设膂力：假设膂力：X = Y =0，那，那么有：么有：0 xyyx结论结论1：12一次多项式对应于无膂力和无应力形状；一次多项式对应于无膂力和无应力形状；在该函数在该函数(x

3、,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2. 二次多项式二次多项式122cybxyax其中：其中： a、b、c 为待定系数。为待定系数。(假定：假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0)检验检验(x,y) 能否满足双调和方程，显然有能否满足双调和方程，显然有20, 0, 02244444yxyx04(可作为应力函数可作为应力函数 )3由式由式2-26计算应力分量：计算应力分量：byxxy2cyx222axy222xy2c2c2a2abxy结论结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。二次多项式对应于均匀应力分布。xy0202yxy0

4、试求图示板的应力函数。试求图示板的应力函数。例：例：xy00 xyyx0),(202),(yyx3. 三次多项式三次多项式13223dycxyybxax其中其中: a、b、c 、d 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y) 能否满足双调和方程，显然有能否满足双调和方程，显然有20, 0, 02244444yxyx04(可作为应力函数可作为应力函数 )(假定：假定：X =Y = 0)3由式由式2-26计算应力分量：计算应力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy6222结论结论3：三次多项式对应于线性应力分布。三次多项式对应于线性应力分布。讨论：讨论：,3dy取)0(YX可

5、算得：可算得：0 xydyx60yxy12h2hll图示梁对应的边境条件：图示梁对应的边境条件：:2hy0, 0 xyy: lx0,6xyxdydh3mindh3maxMM3dy可见：可见： 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数常数 d 与弯矩与弯矩 M 的关系：的关系：220hhxdy(1)由梁端部的边境条件：由梁端部的边境条件：0622hhdydy(2)Mdyyhhx222226hhMdydyMhd32)2(3hMd 或yIMxyhMx312yhMx)12/(3可见：此结果与材力中结果一样，可见：此结果与材力中结果一样，阐明材力中纯弯曲梁的应力结

6、果是正确的。阐明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。0 xydyx60yxy12h2hllMMyIMxdh3mindh3max阐明：阐明：(1)组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力须线性的面力须线性分布，且中心处为零，结果才分布，且中心处为零，结果才是准确的。是准确的。(2)假设按其它方式分布，如：假设按其它方式分布，如：那么此结果不准确，有误差；那么此结果不准确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。大，离端部较远处误差较小。(3) 当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，误差较小；反之误差较大。4. 四次多项式四次多

7、项式1432234eydxyycxybxax检验检验(x,y) 能否满足双调和方程能否满足双调和方程2cyx8244ax2444ey2444代入：代入：04得得033eca024824eca432234eydxyycxybxax可见，对于函数：可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才干作为应函数：其待定系数，须满足下述关系才干作为应函数：033eca3应力分量：应力分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262axbxycy 应力分量为应力分量为 x、y 的二次函数。的二次函数。4特例：特例：44eyax 212eyx0 xy212axy须满

8、足：须满足：a + e =0总结：总结：多项式应力函数多项式应力函数 的性质的性质 1 多项式次数多项式次数 n 4 时，那么系数可以恣意选取，总可满足时，那么系数可以恣意选取，总可满足 。04多项式次数多项式次数 n 4 时，那么系数须满足一定条件，才干满足时，那么系数须满足一定条件，才干满足 。04多项式次数多项式次数 n 越高，那么系数间需满足的条件越越高，那么系数间需满足的条件越多。多。2 一次多项式，对应于无膂力和无应力形状；恣意应力函数一次多项式，对应于无膂力和无应力形状；恣意应力函数(x,y)上加上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次

9、多项式，对应均匀应力形状，即全部应力为常量；三次多项式，二次多项式，对应均匀应力形状，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。对应于线性分布应力。3 4 用多项式构造应力函数用多项式构造应力函数(x,y) 的方法的方法 逆解法只能处理简单直逆解法只能处理简单直线应力边境问题。线应力边境问题。按应力求解平面问题，其根本未知量为：按应力求解平面问题，其根本未知量为： ，本节阐明，本节阐明如何由如何由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？xyyx,xyyx,问题：问题：3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出以纯弯曲梁为例，阐明如何由以纯弯曲梁为例，阐明如何由 求出形变分量

10、、位移分量？求出形变分量、位移分量？xyyx,xyl1hMM1. 形变分量与位移分量形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：由前节可知，其应力分量为：12/3hMyyIMx0 xy0y平面应力情况下的物理方程：平面应力情况下的物理方程：1形变分量形变分量)(1xyyE)(1yxxEGxyxy(a)将式将式a代入得：代入得：IMyEyIMyEx10 xy(b)2位移分量位移分量将式将式b代入几何方程得：代入几何方程得：0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)2位移分量位移分量0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)将式将式c前两式积分，得：前两式积分，得：)(222x

11、fyEIMv)(1yfxyEIMu(d)将式将式 (d) 代入代入 (c) 中第三式，得：中第三式，得：)(),(21xfyf式中：式中：为待定函数。为待定函数。)()(12yfxfxEIM整理得：整理得：0)()(21xfyfxEIM仅为仅为 x 的函数的函数仅为仅为 y 的函数的函数要使上式成立，须有要使上式成立，须有)(2xfxEIM)(1yf(e)式中：式中：为常数。为常数。 积分上式，得积分上式，得01)(uyyf022)(vxxEIMxf将上式代入式将上式代入式d，得，得0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)1(f)讨论：讨论：式中：式中：u0、v0、 由位移边境

12、条件确定。由位移边境条件确定。常数00 xEIMyuxx当当 x = x0 =常数常数xEIMyu2位移分量位移分量0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMvxyl1hMM u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。常数00 xEIMyuxxyu0|xx阐明：阐明： 同一截面上的各铅垂同一截面上的各铅垂线段转角一样。线段转角一样。横截面坚持平面横截面坚持平面 材力中“平面坚持平面的假设成立。2常数EIMxv22102222vxxEIMyEIMv将下式中的第二式对将下式中的第二式对 x 求二阶导数：求二阶导数：0uyxyEIMu阐明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲阐明：在微小位移下，

13、梁纵向纤维的曲率一样。即率一样。即EIMxv221 资料力学中挠曲线微分方程资料力学中挠曲线微分方程2. 位移边境条件的利用位移边境条件的利用1两端简支两端简支02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)其边境条件：其边境条件：000yxu000yxv将其代入将其代入(f)式，有式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2将其代回将其代回(f)式，有式，有ylxEIMu)2( 22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：xxlEIMvy)(20 与材力中结果一样与材力中结果一样00ylxv2悬臂梁悬臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEI

14、Mu(f)边境条件边境条件0lxv0lxu22hyhh/2h/2由式由式f可知，此边境条件无法满足。可知，此边境条件无法满足。边境条件改写为：边境条件改写为：0, 000ylxylxvu中点不动中点不动00ylxxv轴线在端部不转动轴线在端部不转动代入式代入式f，有，有00u0202vllEIM0lEIM可求得：可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMvyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv(3-4)h/2h/2挠曲线方程：挠曲线方程：20)(2|xlEIMvy与资料力学中结果一样与资料力学中结果一样阐明：阐明： 1求位移的过程：求

15、位移的过程：a将应力分量代入物理方程将应力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxyb再将应变分量代入几何方程再将应变分量代入几何方程xvyuxyxuxyvyc再利用位移边境条件，确定常数。再利用位移边境条件，确定常数。2假设为平面应变问题，那么将资料常数假设为平面应变问题，那么将资料常数E、作相应交作相应交换。换。3假设取固定端边境条件为：假设取固定端边境条件为：h/2h/20, 000ylxylxvu中点不动中点不动00ylxyu中点处竖向线段转角为零中点处竖向线段转角为零00u得到：得到：0202vlEIMl0EIMl02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu求得：求

16、得：00uEIMlv220EIMl此结果与前面情形一样。此结果与前面情形一样。为什么？为什么？1024422444yyxx(2-27)2xyyx,然后将然后将 代入式代入式2-26求出应力分量：求出应力分量：),(yx先由方程先由方程2-27求出应力函数：求出应力函数：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)3再让再让 满足应力边境条件和位移单值条件多连体问题。满足应力边境条件和位移单值条件多连体问题。xyyx,04按应力求解平面问题的根本步骤：按应力求解平面问题的根本步骤：按应力求解平面问题的方法：按应力求解平面问题的方法：逆逆解解法法1根据问题的条件根据问题的条件几何外形、

17、受力特点、边境条件等，几何外形、受力特点、边境条件等，假设各种满足相容方程假设各种满足相容方程2-27的的(x,y) 的方式；的方式；2然后利用应力分量计算式然后利用应力分量计算式2-26，求出，求出 具有待具有待定系数；定系数；xyyx,3再利用应力边境条件式再利用应力边境条件式2-18，来调查这些应力函数，来调查这些应力函数(x,y) 对对应什么样的边境面力问题，从而得知所设应力函数应什么样的边境面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求可以求解什么问题。解什么问题。1根据问题的条件根据问题的条件几何外形、受力特点、边境条件等，几何外形、受力特点、边境条件等，假设部分应力分量假设部分

18、应力分量 的某种函数方式的某种函数方式 ；xyyx,2根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y) 的方式；的方式；xyyx,043最后利用式最后利用式2-26计算出计算出 并让其满足边境条件和并让其满足边境条件和位移单值条件。位移单值条件。xyyx, 半逆解法的数学根底：数理方程中分别变量法。半逆解法的数学根底：数理方程中分别变量法。半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：1将已求得的应力分量将已求得的应力分量23xyyx,代入物理方程，求得应变分量代入物理方程，求得应变分量xyyx,将应变分量将应变分量xyyx,代入几何方程，并积分求得位移分量代入几

19、何方程，并积分求得位移分量表达式；表达式；由位移边境条件确定表达式中常数，得最终结果。由位移边境条件确定表达式中常数，得最终结果。3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷要点要点 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。用半逆解法求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q1. 应力函数确实定应力函数确实定(1) 分析：分析：y 主要由弯矩引起；主要由弯矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起挤压应力。引起挤压应力。又又 q =常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。y推得：推得：)(yfy(2)由应力分量表达式

20、确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的方式：的方式：),(yx)(22yfxy积分得：积分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 恣意的待定函数恣意的待定函数xyllqlql1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 恣意的待定函数恣意的待定函数(3) 由由 确定：确定：04)(),(),(21yfyfyf)(22)2(224yfyx044x)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxy代入相容方程：代入相容方程：444224442

21、yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfxxyllqlql1yzh/2h/2q方程的特点：方程的特点：关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。内方程均成立。由由“高等代数实际，须有高等代数实际，须有x 的一、二次的系数、自在项同时为零。即：的一、二次的系数、自在项同时为零。即：0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf对前两个方程积分：对前两个方程积分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)此处略去了此处

22、略去了f1(y)中的常数项中的常数项对第三个方程得：对第三个方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412积分得：积分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)xyllqlql1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)将将(c) (d) 代入代入 (b) ，有，有)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)此处略去了此处略去了f2(y)中的一次项和常数项中的一次项和常数项式中含有式中含有

23、9个待定常数。个待定常数。)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)2. 应力分量确实定应力分量确实定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3. 对称条件与边境条件的运用对称条件与边境条件的运用22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3. 对称条件与边境条件的运用对称条件与边境条件的运用1对称条件

24、的运用：对称条件的运用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称：yx, x 的偶函数的偶函数xy x 的奇函数的奇函数由此得：由此得：026 FEy0232GFyEy要使上式对恣意的要使上式对恣意的 y 成立，须有：成立，须有：0GFExyllqlql1yzh/2h/2qKHyByAyBAyxx2622)26(2232DCyByAyy23)23(2CByAyxxy2边境条件的运用：边境条件的运用：(a) 上下边境主要边境：上下边境主要边境：; 0,2xyhy;,2qhyy; 0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA

25、0432CBhhA由此解得：由此解得：,23hqA, 0B2qDhqC23代入应力公式代入应力公式xyllqlql1yzh/2h/2qKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )(b) 左右边境次要边境：左右边境次要边境：由于对称，只思索右边境即可。由于对称，只思索右边境即可。, lx 未知22hyhlxxy022hyhlxx 难以满足，需借助于圣维南原理。难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：静力等效条件：轴力轴力 N = 0；弯矩弯矩 M = 0；剪力剪力 Q = ql；qldyQhhlxxy22022d

26、yNhhlxx022dyyMhhlxxKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhqqllyhqyhqlhy2232323620)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223可见，这一条件自动满足。可见，这一条件自动满足。qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxxxyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)截

27、面上的应力分布：截面上的应力分布：xyxy)()(103)(3222qxlhq三次抛物线三次抛物线q22112hyhyqy22346yhxhqxy4. 与资料力学结果比较与资料力学结果比较xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)22112hyhyqy22346yhxhqxy4. 与资料力学结果比较与资料力学结果比较材力中几个参数：材力中几个参数：截面宽：截面宽：b=1 ,3121hI截面惯矩：截面惯矩：静矩：静矩：2822yhS弯矩：弯矩：)(222xlqM剪力：剪力：qxQ将其代入式将其代入式 ( p ) ，有，有53422hyhyqyIMx

28、22112hyhyqybIQSxy3-6xyllqlql1yzh/2h/2q53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy3-6比较，得：比较，得：1xxy第一项与材力结果一样，为主要项。第一项与材力结果一样，为主要项。第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h / l1，该，该项误差很小，可略；当项误差很小，可略；当 h / l较大时，较大时，须修正。须修正。2y为梁各层纤维间的挤压应力，材力为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不思索。中不思索。3与材力中一样。与材力中一样。留意：留意：按式按式3-6，梁的左右，梁的左右边境存在程度面力：边境存在程度面力：lxxX53422hyhy

29、q阐明式阐明式3-6在两端不在两端不适用。适用。解题步骤小结：解题步骤小结：123根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点面力分布规根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点面力分布规律、对称性等，估计某个应力分量律、对称性等，估计某个应力分量 的变化方的变化方式。式。xyyx,由由 与应力函数与应力函数 的关系式的关系式2-26，求得应，求得应力函数力函数 的详细方式具有待定函数。的详细方式具有待定函数。xyyx,),(yx),(yx45将具有待定函数的应力函数将具有待定函数的应力函数 代入相容方程：代入相容方程： 确确定定 中的待定函数方式。中的待定函数方式。),(yx04),(yx

30、由由 与应力函数与应力函数 的关系式的关系式2-26，求得应，求得应力分量力分量 。xyyx,),(yxxyyx,由边境条件确定由边境条件确定 中的待定常数。中的待定常数。xyyx,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的根本步骤：用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的根本步骤：应力函数法求解平面问题的根本步骤：应力函数法求解平面问题的根本步骤：1024422444yyxx(2-27)2xyyx,然后将然后将 代入式代入式2-26求出应力分量：求出应力分量：),(yx先由方程先由方程2-27求出应力函数：求出应力函数：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)3再让

31、再让 满足应力边境条件和位移单值条件多连体问题。满足应力边境条件和位移单值条件多连体问题。xyyx,04求解方法：求解方法：逆逆解解法法1根据问题的条件根据问题的条件几何外形、受力特点、边境条件等，几何外形、受力特点、边境条件等，假设各种满足相容方程假设各种满足相容方程2-27的的(x,y) 的方式；的方式；2然后利用应力分量计算式然后利用应力分量计算式2-26，求出，求出 具有待具有待定系数；定系数；xyyx,3再利用应力边境条件式再利用应力边境条件式2-18，来调查这些应力函数，来调查这些应力函数(x,y) 对对应什么样的边境面力问题，从而得知所设应力函数应什么样的边境面力问题，从而得知所

32、设应力函数(x,y) 可以求可以求解什么问题。解什么问题。 半逆解法的数学根底：数理方程中分别变量法。半逆解法的数学根底：数理方程中分别变量法。1根据问题的条件根据问题的条件几何外形、受力特点、边境条件等，几何外形、受力特点、边境条件等，假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数方式的某种函数方式 ；xyyx,2根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y) 的方式；的方式；xyyx,043最后利用式最后利用式2-26计算出计算出 并让其满足边境条件和并让其满足边境条件和位移单值条件。位移单值条件。xyyx,半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：1将已

33、求得的应力分量将已求得的应力分量23xyyx,代入物理方程，求得应变分量代入物理方程，求得应变分量xyyx,将应变分量将应变分量xyyx,代入几何方程，并积分求得位移分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；表达式；由位移边境条件确定表达式中常数，得最终结果。由位移边境条件确定表达式中常数，得最终结果。1. 应力函数确实定应力函数确实定(1) 分析：分析：y 主要由弯矩引起；主要由弯矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起挤压应力。引起挤压应力。又又 q =常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。y推得：推得：)(yfy(2)由

34、应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的方式：的方式：),(yx)(22yfxy积分得：积分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 恣意的待定函数恣意的待定函数简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷xyllqlql1yzh/2h/2q)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)442244442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yfxyllqlql1yzh/2h/

35、2q2. 应力分量确实定应力分量确实定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyyxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)DCyByAy233. 由边境条件确定待定常数由边境条件确定待定常数xyllqlql1yzh/2h/2q附：附：应力函数确定的应力函数确定的“资料力学方法资料力学方法要点：要点：利用资料力学中应力与梁内力的关系，假设某个利用资料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数方式。应力分量的函数方式。适用性：适用性：直梁、长板条等受延续分布面力、杆端集中直梁、长板条等受延续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。

36、力、杆端集中力偶等。应力函数常可表示为：应力函数常可表示为：)()(),(ygxfyx设法由边境面力先确定设法由边境面力先确定 其中之一，然后将其其中之一，然后将其代入代入 确定另外一个函数。确定另外一个函数。)()(ygxf或04材力中，应力分量与梁内力的关系为：材力中，应力分量与梁内力的关系为：)()(2yfxQxy)()(1yfxMx式中：式中： M(x) 弯矩方程；Q(x) 剪力方程。当有横向分布力当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力作用时，纵向纤维间存在挤压应力 ，y同时，横向分布力同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力的挤压作用时，对轴向应力 也也产生影响

37、。产生影响。x应力分量与梁内力的关系可表示为：应力分量与梁内力的关系可表示为：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy)()(4yfxQxy思索挤压应力影响导致思索挤压应力影响导致然后由：然后由：xyxy222xy22yx04确定应力函数确定应力函数 的详细方式。的详细方式。例：例：悬臂梁，厚度为单位悬臂梁，厚度为单位1，=常数。求：常数。求：应力函数应力函数 及梁内应力。及梁内应力。xyObl解：解：(1) 应力函数确实定应力函数确实定xQM取恣意截面，其内力如图：取恣意截面，其内力如图：bxQ)(0)()()(xlbbxlxM取取 作为分析对象，可假设：作为分析对象，可假

38、设：xy)()()(ybfyfxQxya f(y)为待定函数为待定函数xy由由 与应力函数与应力函数 的关系，有：的关系，有：)(2ybfyxb对对 x 积分一次，有：积分一次，有：对对 y 再积分一次，有：再积分一次，有：)()()(321xfyfybxf)()(0yfybxfy其中：其中：dyyfyf)()(02dyyfyf)()(1cxyOblxQM)()()(321xfyfybxfc04由由 确定待定函数：确定待定函数：024422444yyxx0)()()()4(3)4(2)4(1xfyfybxfd要使上式对恣意的要使上式对恣意的x，y成立，有成立，有0)()()4(3)4(2xfy

39、f0)()4(1yfef由式由式 e求得求得CyByAyyf231)(g由式由式 f得得)()4(3xf)()4(2yfhi积分式积分式 h和和i得得2232423)(xCxBxAxf2131412)(yCyByAyfjkxyOblxQM)(223242xCxBxA)(23CyByAybx)(213141yCyByA( l )包含包含9个待定常数，由边境条件确定。个待定常数，由边境条件确定。(2) 应力分量确实定应力分量确实定1121222612)26(CyByABAybxyx)23(22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy( m )(3) 利用边境条件确定常数利用边境条件确

40、定常数xyOblxQM1121222612)26(CyByABAybxyx)23(22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy(3) 利用边境条件确定常数利用边境条件确定常数22, 0byxybyylxxylxx, 022, 0byxybyy( o )代入可确定常数为：代入可确定常数为：0222CBA0111CBABAbC1代入式代入式m得得xyOblxQMxy0 x0yxy注：注：也可利用也可利用 Mx= 0，思索，思索0)()(yfxMx进展分析。此时有：进展分析。此时有：022yx)(1xfy)()(21xfxyf)(),(21xfxf为待定函数，由相容方程确定。为待定函数

41、，由相容方程确定。llqlql1yzh/2h/2qqxxQ)(剪力：剪力：可假设剪应力：可假设剪应力：)(yqxfxy)(yxfy0y)(yfy3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力要点要点半逆解法因次或量纲分析法半逆解法因次或量纲分析法ggxyO问题的提法：问题的提法：楔形体，下部可无限延伸。楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：侧面受水压作用：g)m/N(3水的容重；水的容重；自重作用：自重作用：g)m/N(3楔形体的容重；楔形体的容重；求：楔形体应力分布规律求：楔形体应力分布规律 。 xyyx,1. 应力函数及应力分量应力函数及应力分量(1) 分析：分析：(a),

42、gg,x 的量纲为：的量纲为：,gg)m/N(3 的方式应为：的方式应为：xgygxgygx,的线性组合。的线性组合。x 的量纲为：的量纲为：2N/m(b) 由由 推理得：推理得：22yx应为应为 x、y 的三次函数。的三次函数。应力函数可假设为：应力函数可假设为：3223eycxyybxaxgggyxyO(2) 应力分量应力分量3223eycxyybxax思索到：思索到：X = 0，Y = 常膂力常膂力gcybx22Xxyx22eycx62Yyxy22yxxy2gybyax26(a)显然，上述应力函数满足相容方程。显然，上述应力函数满足相容方程。2. 边境条件的利用边境条件的利用(1) x=

43、0 应力边境：应力边境：gyxx000 xxygyey602 cy0c6ge代入式代入式a，那么应力分量为：，那么应力分量为：gggyxyON2bxxy2gyxgybyaxy26(b)(2) 应力边境：应力边境： tanyx 0YX0tantanxyxxyml0tantanxxyxxmlcosl其中：其中：sin将将(b)代入，有代入，有0)tan2()(bymgyl0)2()(bxmgyl0)26()2(gybyaxmbxl0)2tan6()tan2(gybyaymbyl0)2tan6(tan2gbambl0tan2bmgl)2cos(m代入，可求得：代入，可求得：gggyxyObxxy2g

44、yxgybyaxy26(b)3cot3cot6ggacot2gb 代入式代入式b，有：，有：gyxyggxggy)cot()cot2cot(232cotgxyxxy(3-7)xyx)(y)( 李维李维Levy解答解答沿程度方向的应力分布沿程度方向的应力分布与材力结果比较：与材力结果比较：xyxy 沿程度方向不变，在材力中无法求得。沿程度方向不变，在材力中无法求得。 沿程度方向线性分布，与材力中偏心受压沿程度方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果一样。公式算得结果一样。 沿程度方向线性分布，材力中为抛物线分布。沿程度方向线性分布，材力中为抛物线分布。gyxyggxggy)cot()cot2c

45、ot(232cotgxyxxy(3-7) 李维李维Levy解答解答gggyxyOxyx)(y)(沿程度方向的应力分布沿程度方向的应力分布结果的适用性：结果的适用性：1当坝的横截面变化时，不再当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误为平面应变问题，其结果误差较大。差较大。2假定坝下端无限延伸，可自在假定坝下端无限延伸，可自在变形。而实践坝高有限，底部变形。而实践坝高有限，底部与根底相连，有地基约束，故与根底相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。底部处结果误差较大。3实践坝顶非尖顶，坝顶处有其它实践坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。载荷，故坝顶处结果误差较大。 三角形重

46、力坝的准确分析，常借助于有限元数值方法求解。三角形重力坝的准确分析，常借助于有限元数值方法求解。工程运用：工程运用： 求使坝稳定时的角度求使坝稳定时的角度 ，称为安息角。，称为安息角。因次分析法量纲分析法：因次分析法量纲分析法：ggxyO楔形体，下部可无限延伸。楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：侧面受水压作用：g)m/N(3水的溶重；水的溶重；自重作用：自重作用：g)m/N(3楔形体的溶重；楔形体的溶重；求：楔形体应力分布规律求：楔形体应力分布规律 。 xyyx,分析思绪：分析思绪：(a),gg,x 的量纲为：的量纲为：,gg)m/N(3 的方式应为：的方式应为：xgygxgygx,的线

47、性组合。的线性组合。x 的量纲为：的量纲为：2N/m(b) 由由 推理得：推理得：22yx应为应为 x、y 的三次函数。的三次函数。应力函数可假设为：应力函数可假设为：3223eycxyybxax平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答一、多项式解答一、多项式解答逆解法逆解法二、梁、长板类弹性体应力函数方法二、梁、长板类弹性体应力函数方法应力分量与梁内力的关系可表示为：应力分量与梁内力的关系可表示为：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy)()(4yfxQxy思索挤压应力影响导致思索挤压应力影响导致然后由：然后由：xyxy222xy22yx04确定应力函数确定应力函数

48、的详细方式。的详细方式。三、三角形板、楔形体的求解方法三、三角形板、楔形体的求解方法因次分析法量纲分析法：因次分析法量纲分析法：ggxyO楔形体，下部可无限延伸。楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：侧面受水压作用：g)m/N(3水的溶重；水的溶重；自重作用：自重作用：g)m/N(3楔形体的溶重；楔形体的溶重；分析思绪：分析思绪：(a),gg,x 的量纲为：的量纲为：,gg)m/N(3 的方式应为：的方式应为：xgygxgygx,的线性组合。的线性组合。x 的量纲为：的量纲为：2N/m(b) 由由 推理得：推理得：22yx应为应为 x、y 的三次函数。的三次函数。应力函数可假设为：应力函数可

49、假设为：3223eycxyybxax例：例：图示矩形板，长为图示矩形板，长为 l ，高为，高为 h ，膂力不计，膂力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能处理什试证以下函数是应力函数，并指出能处理什么问题。式中么问题。式中k、q为常数。为常数。xyOlhhkxyhkxy23233解：解：(1) 应力分量：应力分量：32212hkxyx022xyhkhkyyxxy236322边境条件：边境条件：02326322hkhhkhyxy02hyy显然，上下边境无面力作用。显然，上下边境无面力作用。上下边境上下边境(2)xyOlh:0 x01222322hhhhxdyhkxydy012223222hhhh

50、xdyhkxyydy左边境左边境223222236hhhhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232k右边境右边境: lx 01222322hhhhxdyhklydy22322212hhhhxdyhklyydy2233312hhhklykl223222236hhhhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232kkl结论：可处理悬臂梁左端结论：可处理悬臂梁左端受集中力问题。受集中力问题。例：例：图示矩形截面简支梁，长为图示矩形截面简支梁，长为 l ，高为，高为 h ，受，受有三角形分布载荷作用，膂力不计。试求其有三角形分布载荷作用，膂力不计。试求其应力分布。应力分布。解：解

51、：1应力函数方式确实定应力函数方式确实定梁截面上弯矩和剪力为：梁截面上弯矩和剪力为：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy)()(4yfxQxylxqxM3)(30lxqxQ2)(20lxqxq0)(由资料力学方法可确定应力分量的分别变量方式：由资料力学方法可确定应力分量的分别变量方式：)()(320130yflxqyflxq)(30yflxq)(2420yflxq取应力分量取应力分量 分析，分析，y取应力分量取应力分量 与应力函数的关系：与应力函数的关系：y22xy)(10yflxq对此式积分：对此式积分：22xy)(10yflxq对此式积分：对此式积分：)()(210y

52、fdxyflxqx)()(22120yfyflxq)()()(3210yfdxyfdxyflxq )()()(232120yfdxyfyflxq)()()(632130yfyxfyflxq为待定函数为待定函数)(),(),(321yfyfyf2由相容方程确定待定函数由相容方程确定待定函数044x)()()(6)4(3)4(2)4(13044yfyxfyflxqy)(22)2(10224yflxqyx代入代入024422444yyxx0)()(2)()(6)4(310)4(2)4(130yfyflxqyxfyflxq0)()(2)()(6)4(3)2(10)4(2)4(130yfyflqyfxy

53、flxq要使上述方程对恣意的要使上述方程对恣意的 x 成立，有成立，有0)()4(1yf0)(2)(210)4(2yflqyf0)()4(3yf)()()(632130yfyxfyflxq(a)(b)(c)积分式积分式a，得，得DCyByAyyf231)(将上式代入将上式代入b积分，得积分，得GyFyyEyByAlqyf2345023610)(积分式积分式c，得，得233)(KyHyyf(d)(e)(f)将求得的将求得的)(),(),(321yfyfyf代入应力函数，有代入应力函数，有3计算应力分量计算应力分量22yxBAylxq26630FEyByAylxq2222230KHy2622xyD

54、CyByAylxq230yxxy2CByAylxq232220GFyEyByAylq23222340GyFyyEyByAlxq234503610DCyByAylxq2330623KyHy (g)(h)3利用边境条件确定待定常数利用边境条件确定待定常数上边境：上边境：2hy xlqy00 xyDhChBhAlxq222230CBhhAlxq2202320412322340GFhEhBhAhlq124823DhChBhA0832CBhhA041232234GFhEhBhAh(i)(j)(k)下边境：下边境：2hy 0y0 xy024823DhChBhA0832CBhhA041232234GFhEh

55、BhAh(l)(m)(n)左边境：左边境：0 x0220hhxxdy0220hhxxydy0220hhxxydy0)26(22hhdyKHy0)26(222hhdyKyHy02322222340dyGFyEyByAylqhh左边境：左边境：lx 022hhlxxdyMydyhhlxx22620lqQdyhhlxxy2220lq(o)(p)(q)(r)(s)(t)联立求解式联立求解式it,可得详细的可得详细的应力分量。应力分量。注：位移边境条件转化为应力边境条件。注：位移边境条件转化为应力边境条件。12试按资料力学中确定应力的方法，写出试按资料力学中确定应力的方法，写出图示两梁一切应力分量方式。

56、含有待定函图示两梁一切应力分量方式。含有待定函数数课堂练习：课堂练习：3-5 3-5 级数式解答级数式解答问题的提出问题的提出多项式解答：多项式解答： 只能求解载荷简单，且延续分布的问题。只能求解载荷简单，且延续分布的问题。不能求解载荷复杂，且延续分布的问题。不能求解载荷复杂，且延续分布的问题。级数式解答：级数式解答：),(yx其根本思绪是将应力函数其根本思绪是将应力函数 分解成关于分解成关于 xy 的的两个单变量函数的乘积。两个单变量函数的乘积。 分别变量法。分别变量法。属逆解法属逆解法1. 级数方式的应力函数级数方式的应力函数假设：假设：)(sin),(yfxyx(a)式中：式中：为恣意常

57、数，其量纲为为恣意常数，其量纲为 ,1长度)(yf为为 y 的恣意待定函数。的恣意待定函数。)(sin)2(2224yfxyx)(sin444yfxx)(sin)4(44yfxy将其代入将其代入 ：04载荷复杂，且延续分布的问题，可由级数式解答处理。载荷复杂，且延续分布的问题，可由级数式解答处理。有：有：)(cos),(1yfxyx442244442yyxx)(sin)(sin2)(sin)4()2(24yfxyfxyfx0)()(2)(sin4)2(2)4(yfyfyfx(b)解上述方程，得解上述方程，得0)()(2)(4)2(2)4(yfyfyf其中：其中：A、B、C、D 都是恣意常数，都

58、是恣意常数， 将其代入应力函数将其代入应力函数 ，得，得ychyshyBchysh)(DyCyAyf(c)再取如下应力函数：再取如下应力函数：y)chyshyBchysh(sin),(DyCyAxyx式中：式中：也为恣意常数也为恣意常数 ,为为 y 的恣意待定函数。的恣意待定函数。)(1yf类似于上面的运算，可得应力函数的另一解：类似于上面的运算，可得应力函数的另一解：(d)显然，将式显然，将式(c) 与与(d)相加，仍为可作为应力函数：相加，仍为可作为应力函数：)chshchsh(cos),(yyDyyCyByAxyx1)chshchsh(cosmmmmmmmmmmyyDyyCyByAx)c

59、hshchsh(sin),(yDyyCyyByAxyx(e)取取 和和 的一系列值，即取：的一系列值，即取：m,m)(m将由此构成的将由此构成的 加起来，有加起来，有),(yx)chshchsh(cosyyDyyCyByAx1)chshchsh(sinmmmmmmmmmmyyDyyCyByA(3-8)显然，式显然，式(3-8) 满足相容方程，可作为应力函数。且在其上满足相容方程，可作为应力函数。且在其上再加假设干个满足相容方程的应力函数，仍可作为应力函数。再加假设干个满足相容方程的应力函数，仍可作为应力函数。2. 级数方式的应力分量级数方式的应力分量将上述应力函数将上述应力函数 代入应力分量表

60、达式代入应力分量表达式2-26，有，有),(yx12ch)2(sh)2(cosmmmmmmmmmmmyCByDAx1222ch)2(sh)2(sinmmmmmmmmmmmxyCByDAxyyyDyyCmmmmchshyyDyyCmmmmchsh122myx12mxyyx(3-9) 式式3-9满足相容方程、平衡方程，满足相容方程、平衡方程，只需适中选取：只需适中选取： mmmmmmmmmmDCBADCBA,;,使其满足边境条件，即为某问题的解。使其满足边境条件，即为某问题的解。3-6 3-6 简支梁受恣意横向载荷简支梁受恣意横向载荷边境条件边境条件1. 边境条件的级数表示边境条件的级数表示上下边