第一章 逻辑代数基础

1、1.1 概述概述1.1.1 数字量和模拟量数字量和模拟量模拟量：模拟量： 在时间上和数值上连续的物理量，即可以在一定在时间上和数值上连续的物理量，即可以在一定范围内取任意实数值的物理量，如：温度、压力、范围内取任意实数值的物理量，如：温度、压力、距离和时间等。距离和时间等。u模拟信号波形模拟信号波形t对模拟信号进行传输、处理的电子电路称为对模拟信号进行传输、处理的电子电路称为模拟电路模拟电路。模拟信号：模拟信号： 表示模拟量的信号。表示模拟量的信号。缺点：很难度量、容易受噪声缺点：很难度量、容易受噪声的干扰、难以保存等。的干扰、难以保存等。优点：用精确的值表示事物。优点：用精确的值表示事物。一

2、、概念一、概念第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础1.1 概述概述1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式1.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理1.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法1.6 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法 1.7 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简 数字量：数字量： 在时间上和数值上都不连续的（即离散的）在时间上和数值上都不连续的（即离散的）物理量。如：自动生产线上的零件记录量、物理量。如：自动生

3、产线上的零件记录量、台阶的阶数。台阶的阶数。u数字信号波形数字信号波形t对数字信号进行传输、处理的电子电路称为对数字信号进行传输、处理的电子电路称为数字电路数字电路。数字信号：数字信号： 表示数字量的信号。表示数字量的信号。1.1.2 数制和码制数制和码制1. 十进制十进制(Decimal)数码数码： 09 规则：规则： 逢十进一逢十进一 即：即：9110。一、一、 数制数制5 5 5 55103 = 5 0 0 05102 = 5 0 05101 = 5 05100 = 5= 5 5 5 5即：即：(5555)105103 510251015100-以十为基数的记数体制以十为基数的记数体制1

4、03、102、101、100称为十进制的权称为十进制的权2. 二进制二进制(Binary)数码：数码：0、1 规则：规则： 逢二进一逢二进一 即：即：1110 2( 101. 11 )210121 20 21 21 21 2 任意十进制数展开式的普遍形式：任意十进制数展开式的普遍形式：110i niiimDk ki：第第 i 位的系数位的系数10i：第第 i 位的权位的权m：小数部分的位数小数部分的位数n：整数部分的位数整数部分的位数任意任意(N)进制数展开式的普遍形式：进制数展开式的普遍形式：iiDk NN：基数基数Ni：第第 i 位的权位的权ki：第第 i 位的系数位的系数-以二为基数的记

5、数体制以二为基数的记数体制3. 八进制八进制(Octal)和十六进制和十六进制 (Hexadecimal)数码：数码：0 7十六进制十六进制八进制八进制数码：数码： 09,A(10),B(11) ,C(12),D(13),E(14), F(15)8) 41 .37 (210181848783 16) 7F 2A. (210116151671610162 二、数制转换二、数制转换1. 二二-十转换十转换方法：将二进制数按位权展开后相加方法：将二进制数按位权展开后相加2) 11 .101 (210122121212021 10)75 . 5(25 . 05 . 014 2.十十-二转换二转换(1)

6、整数部分整数部分210) () 26 ( 262132余余 0 k0 62余余 1 k132余余 0 k22 1余余 1 k30余余 1 k411010-除除2取余法取余法102( 26.375 )( )(2)小数部分小数部分102( 0. 375 )( )0. 375 20. 750 21. 500010. 7500. 500 21. 0001取整取整0.011若连乘多次后若连乘多次后不为不为0，一般，一般按照精确度要按照精确度要求求(如小数点后如小数点后保留保留 n 位位)得得到到 n 个对应位个对应位的系数即可。的系数即可。11010.011-乘乘2取整法取整法3. 二二-八转换八转换8

7、2) () 111 101 10 ( 25757082) () 1 1 0 0 0 1. 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 ( 002 二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每右，每3位分成一组，位分成一组，不够不够3位补零位补零(高位不足高位不足3位时，位时，前面前面补补0，低位不足，低位不足3位时，位时，后面补后面补0) ，则每组二进制数便是一，则每组二进制数便是一位八进制数。位八进制数。2341.064. 八八-二转换二转换每位每位八八进制数转换为相应进制数转换为相应 3 位二进制数位二进制数82( 31. 47 )( )0

8、11 001 . 100 11182( 375. 64 )( )011 111 101. 110 1005.二二-十六转换十六转换每每 4 位二进制数相当一位位二进制数相当一位十六十六进制数进制数6.十六十六-二转换二转换每位每位十六十六进制数换为相应的进制数换为相应的 4 位二进制数位二进制数162( 8 F A . C 6 )( )0 0 0 1216) () F 2 . 8 D E ( 0 1 1 11 1 1 1. 0 1 0 10 0 1 10 1 1 0 1 0 1 1. 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1216( 1 1 0 1 1 0 1 1 0 . 0 0 1 )

9、( ) 2 . 6 B 1000062B1 当数码表示不同的对象（或信息）时数码被称为代码当数码表示不同的对象（或信息）时数码被称为代码 。编制代码遵循的规则叫做编制代码遵循的规则叫做“码制码制”。 用用4位位二进制数码表示二进制数码表示1位位十进制十进制数码的数码的09十个十个状态状态，这些代码这些代码称为二十进制代码，称为二十进制代码，简称为简称为 BCD 码（码（Binary Coded Decimal ）。）。常见常见BCD码码8421码码余余 3 码码2421码码 5211码码余余 3 循环码循环码三、码制三、码制恒权码恒权码(有权码有权码)无权码无权码每位有固定的权每位有固定的权十

10、进十进制数制数0123456789权权8421 码码0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 18 4 2 1余余 3 码码 2421(A)码码5211 码码余余3循环码循环码0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 01 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 00 1 1 10 0 0 00 0 0 10 1 0 00 1

11、 0 10 1 1 11 0 0 01 0 0 11 1 0 01 1 0 11 1 1 10 1 0 00 1 0 11 1 0 11 1 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 11 1 0 01 1 1 01 0 1 02 4 2 15 2 1 1几种常见的几种常见的 BCD 代码代码 注意：注意：BCD码用码用4位二进制码表示的只是十进制数的一位。位二进制码表示的只是十进制数的一位。如果是多位十进制数，应先将每一位用如果是多位十进制数，应先将每一位用BCD码表示，然后组合码表示，然后组合起来。起来。例例将十进制数将十进制数3091分别用分别用8421码和余码和余3码表示。码表示。

12、 3 0 9 1十进制数：十进制数：对应的对应的8421BCD码：码：00110000 1001 0001011000111100 0100对应的余对应的余3BCD码：码：(3091)10=(0011 0000 1001 0001) 8421BCD码码 =(0110 0011 1100 0100) 余余3BCD码码最高位为符号位，正数为最高位为符号位，正数为0，负数为，负数为1；正数的补码和其原码相同；正数的补码和其原码相同；负数的补码是其原码逐位求反后在最低位加上负数的补码是其原码逐位求反后在最低位加上1。例例1：设求十进制数：设求十进制数 +65、-65的原码、反码和补码。的原码、反码和补

13、码。1.先求先求(65)10 = (1000001)22. (+65)10的原码的原码 = 反码反码 = 补码补码 = 010000013. (-65)10的原码的原码 = 11000001 (-65)10的反码的反码 = 10111110 (-65)10的补码的补码 = 101111111.1.3 算术运算和逻辑运算算术运算和逻辑运算1.原码、补码的相关知识原码、补码的相关知识2.举例举例例例2：设机器码长度为：设机器码长度为16，求十进制数，求十进制数 +65、-65的原码、反的原码、反码和补码。码和补码。1.先求先求(65)10 = (1000001)22.用用0补足数值位的位数补足数值

14、位的位数-15位位 (65)10 = (000000001000001)23. (+65)10的原码的原码 = 反码反码 = 补码补码 = 00000000010000014. (-65)10的原码的原码 = 1000000001000001 (-65)10的反码的反码 = 1111111110111110 (-65)10的补码的补码 = 11111111101111111.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 数字电路研究的是电路的输入输出之间的因果关系，即逻辑数字电路研究的是电路的输入输出之间的因果关系，即逻辑关系，所以数字电路又称关系，所以数字电路又称逻辑电路逻辑电路，相

15、应的研究工具是，相应的研究工具是逻辑代数逻辑代数，由于是英国数学家布尔首先提出的，所以又叫由于是英国数学家布尔首先提出的，所以又叫布尔代数布尔代数）逻辑代数与普通代数的区别：逻辑代数与普通代数的区别：1.逻辑代数中变量取值范围小；逻辑代数中变量取值范围小；2.逻辑代数是状态运算；逻辑代数是状态运算； 0、1 分别代表分别代表两种对立的状态两种对立的状态。3.逻辑运算种类较少。逻辑运算种类较少。只能取两个值只能取两个值( (二值变量二值变量) ) ，即，即0 0和和1 1。另一状态另一状态一种状态一种状态高电平高电平低电平低电平真真假假是是非非有有无无1001一、三种基本运算一、三种基本运算1.

16、与逻辑与逻辑(1) 定义定义 当决定某一事件的所有条件都具备时，事件才能发生。当决定某一事件的所有条件都具备时，事件才能发生。这种决定事件的因果关系称为这种决定事件的因果关系称为“与逻辑关系与逻辑关系”。(2) 电路电路开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源功能表功能表暗暗暗暗暗暗亮亮断断断断断断合合合合断断合合合合开关开关A 开关开关B灯灯Y(4) 表达式表达式YAB AB状态赋值状态赋值: : 开关开关合合为逻辑为逻辑“1”，断断为逻辑为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”， 灯灯暗暗为逻辑为逻辑“0”逻辑乘逻辑乘 逻辑与逻辑与(3) 真值表真值表(5) 逻辑符号逻辑符号功能表功能表暗暗暗暗

17、暗暗亮亮断断断断断断合合合合断断合合合合开关开关A 开关开关B灯灯Y设定变量：设定变量： A-开关开关A B-开关开关B Y-开关开关Y000100011011ABYABY&2.或逻辑或逻辑 当决定某一事件的一个或多个条件满足时当决定某一事件的一个或多个条件满足时, ,事件便事件便能发生。这种决定事件的因果关系称为能发生。这种决定事件的因果关系称为“或逻辑关系或逻辑关系”。(1) 定义定义(2) 电路电路(3) 表达式表达式 Y=A+B逻辑加逻辑加 逻辑或逻辑或(4) 逻辑符号逻辑符号真值表真值表011100011011ABYABY1开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源3. 非非逻辑逻辑

18、 条件具备时，事件不能发生；条件不具备时事件一定条件具备时，事件不能发生；条件不具备时事件一定发生。这种决定事件的因果关系称为发生。这种决定事件的因果关系称为“非逻辑关系非逻辑关系”。 (4) 逻辑符号逻辑符号(3) 表达式表达式(2) 电路电路(1) 定义定义真值表真值表逻辑非逻辑非R开关开关A灯灯Y电源电源1001AYA Y AY 11. 与非逻辑与非逻辑 2. 或非逻辑或非逻辑3. 与或非逻辑与或非逻辑(真值表略真值表略)YABYABCDAB&YYAB二、几种常用复合逻辑运算二、几种常用复合逻辑运算11100 00 11 01 1ABY真值表真值表10000 00 11 01 1

19、ABY真值表真值表ABY1AB&CDY14. 异或逻辑异或逻辑5. 同或逻辑同或逻辑 ( (异或非异或非) )YABABABYAB= ABABABAB=1YAB=1Y01100 00 11 01 1 ABY10010 00 11 01 1ABY三、逻辑符号对照三、逻辑符号对照曾用符号曾用符号美国符号美国符号ABYABYAY国标符号国标符号AB&BAY A1AY ABBAY 1ABYAYABY国标符号国标符号曾用符号曾用符号美国符号美国符号ABYABYABY AB&BAY AB=1BAY ABBAY 1ABYABYABY1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公

20、式和常用公式 在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是在二值逻辑中，变量的取值不是 1 就是就是 0 。2.原变量和反变量原变量和反变量字母上面无反号的称为字母上面无反号的称为原变量原变量，有反号的叫做，有反号的叫做反变量反变量。1.逻辑变量逻辑变量 由逻辑变量和与、或、非由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成种运算符连接起来所构成的式子。的式子。3.逻辑表达式逻辑表达式概念概念1.3.1 基本公式基本公式或：或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 与：与：0 0 = 00 1 =

21、01 1 = 1 非：非： 1 0 0 1 二、变量和常量的关系二、变量和常量的关系( (变量：变量：A、B、C) )或：或：A + 0 = AA + 1 = 1与与: :A 0 = 0A 1 = A 非：非： 0 AA AA1 一、一、 常量之间的关系常量之间的关系( (常量：常量：0 和和 1 ) )互互补补律律三、与普通代数相似的定理三、与普通代数相似的定理交换律交换律ABBA ABBA 结合律结合律)()(CBACBA )()(CBACBA 分配律分配律ACABCBA )()( )(CABABCA 四、逻辑代数的一些特殊定理四、逻辑代数的一些特殊定理BABA BABA 重叠律重叠律(同

22、一律同一律)A + A = AA A = A还原律还原律AA 德德摩根定理摩根定理( (反演律反演律) )用真值表法证明用真值表法证明德德摩根定理摩根定理 A B 0 0 0 1 1 0 1 1BA BA 00 0 1 1110ABBA 11 0 0 10101110相等相等真值表法：真值表法：将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中。将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中。BA BA BA 011110001000相等相等1.3.2 若干常用公式若干常用公式3. ABABA1. AABA2. AABAB( )AAA()ABABA BB(1)AABABA推广推广4. ()A

23、ABA()A A BAA ABA ABA1AA AABAABAB()AB AAAB5. ABACBCABAC()ABACBCABAAC BCAABACABCABCABAC推论推论ABACBCDABAC在两个乘积项中，若有一个变量是互反的，那么由这两个乘在两个乘积项中，若有一个变量是互反的，那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的，可以消去。积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的，可以消去。冗余律冗余律6. A A BA BA A BA()A A BAABA AA BA B()A ABAABA A A BA A B A1.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理一、代入定理一、代入定

24、理 在任何一个包含变量在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。的位置，则等式仍然成立。例如，已知例如，已知BABA 若用逻辑式若用逻辑式 A + C 代替代替 A，则，则BCABCABCA )(摩根定理推广摩根定理推广(n变量变量)：1212 nnA AAAAA1212nnAAAA AA注意：注意：运算优先顺序运算优先顺序“先括号，再乘法先括号，再乘法( (与与) )，后加法，后加法( (或或)”)”。“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0”原变量原变量换

25、成换成反变量反变量，反变量反变量换成换成原变量原变量二、反演定理二、反演定理Y该定理简单记为：该定理简单记为：“.”“+”“0”“1”原变量原变量 反变量反变量反演定理的应用：反演定理的应用： 求逻辑函数的反函数求逻辑函数的反函数任意逻辑式任意逻辑式Y注意注意: :(1)仍然遵守仍然遵守运算优先次序运算优先次序-先与后或，必要时适当地先与后或，必要时适当地加入括号。加入括号。(2)不属于单个变量上的非号要保留。不属于单个变量上的非号要保留。反演定理：反演定理：“.”“+”、“0”“1”、原变量原变量 反变量反变量例例1：已知：已知 ，求，求 。 )( 1CDCBAY 1Y运算顺序：运算顺序：括

26、号括号 与与 或或1()()YA BC C DACBCAD BCDAC AD BC1YA BC C D 本例容易写成：本例容易写成：2()YABC D CCDCBAY 2 例例2：已知：已知 ，求，求 。2Y不属于单个变量上不属于单个变量上的反号应保留不变的反号应保留不变三、对偶定理三、对偶定理对偶式的定义：对偶式的定义：将将 Y 中中 “.”换成换成“+”，“+”换成换成“.”； “0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”。)()(1DC BCAY )( 1CDCBAY CDCBA Y 2 CD CBAY )(2例如例如 ) ( 对对偶偶式式Y 对偶定理：对偶定理：如果两个表达式相等，则它们

27、的对偶式也一定相等。如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。对偶规则的应用对偶规则的应用：证明等式成立：证明等式成立0 0 = 01 + 1 = 1 0 AA AA1 例例1.4.4 证明等式：证明等式：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C) AB+AC= 1. .求对偶式时求对偶式时运算顺序不变运算顺序不变，且它只，且它只变换运算符和常变换运算符和常量量，其，其变量是不变变量是不变的。的。 2. 对对偶式再求对偶得原函数本身。对对偶式再求对偶得原函数本身。注意：注意：基本公式中存在的对偶式：基本公式中存在的对偶式：1.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法1.5.1 逻辑函数

28、逻辑函数 如果输入逻辑变量如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值确定之后，输的取值确定之后，输出逻辑变量出逻辑变量 Y 的值也被唯一确定，则称的值也被唯一确定，则称Y 是是 A、B、C 的逻辑函数，并记作的逻辑函数，并记作Y = F (A、B、C )。 例例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A) 和两名副和两名副裁判裁判 (B、C) 中，必须有两人以上中，必须有两人以上(必有主裁判必有主裁判)认定运动员认定运动员的动作合格，试举才算成功。的动作合格，试举才算成功。逻辑函数：逻辑函数：Y=A(B+C)1.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法1. 真值表

29、真值表 将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。 左侧是左侧是输入变量输入变量的所有取值，右侧是的所有取值，右侧是输出变量输出变量的值，的值，即函数值。即函数值。ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111优点：优点：直观明了，便于将实际逻辑问题直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。抽象成数学表达式。缺点：缺点：难以用公式和定理进行运算和变难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。较繁琐。一、表示方法一、表示方法2. 逻辑函数式逻辑函

30、数式把逻辑函数的输入、输出关系写成把逻辑函数的输入、输出关系写成与与、或或、非非等逻辑运等逻辑运算的组合式，即算的组合式，即逻辑代数式逻辑代数式，又称为，又称为逻辑函数式逻辑函数式，通常采用，通常采用“与或与或”的形式。的形式。ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111优点：优点：书写简洁方便，易用公式和定书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换，同时也理进行运算、变换，同时也便便于画逻辑图；于画逻辑图；缺点：缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。从变量取值看出函数的值。Y=AB+AC3

31、. 逻辑图逻辑图-把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。Y=AB+AC优点：优点：最接近实际电路。最接近实际电路。缺点：缺点：不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。4.卡诺图卡诺图(在本章第七节中讲在本章第七节中讲)ABYC&1ABAC5.波形图波形图-输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形。输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形。ABY ABY优点：优点： 形象直观地表示了变量取值与函数值在时间形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。上的对应关系。缺点：缺点： 难以用公式和

32、定理进行运算和变换，当变量难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。个数增多时，画图较麻烦。二、逻辑函数表示方式的相互转换二、逻辑函数表示方式的相互转换1. 真值表真值表逻辑式逻辑式Y每组每组输入变量取值的组合对应一个输入变量取值的组合对应一个乘积项乘积项，其中，其中如果输入变量为如果输入变量为“1”1”，则取其则取其原变量原变量；如果输入变量为；如果输入变量为“0”0”，则取其，则取其反变量反变量。ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111找出真值表中使逻辑函数找出真值表中使逻辑函数 Y = 1 的输入变量取值

33、组合；的输入变量取值组合；将这些乘积项将这些乘积项相加相加，即得，即得Y 的逻辑函数式。的逻辑函数式。ABCABCABC逻辑图逻辑图(1)真值表真值表逻辑式逻辑式逻辑式逻辑式ABCCABCBAY 卡诺图化简卡诺图化简ABC010001 11 1011010000ACABY (2)逻辑式逻辑式逻辑图逻辑图ABY&C&1ACABY 2.逻辑图逻辑图逻辑逻辑式式真值表真值表BAY&ABABA ABB ABBABAY ABBABA )()(BABBAA BABA BA 0110ABY00011011逻辑逻辑式式: :真值表真值表1.5.3 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标

34、准形式) ( A ,B ,CFY CBABCACABABC CAAB )()(BBCACCAB 标准与标准与或式或式 标准与或式标准与或式(最小项之和的形式最小项之和的形式)是最常用的逻辑是最常用的逻辑函数的标准形式。函数的标准形式。最小项最小项一、最小项一、最小项(m)1. 最小项的概念最小项的概念 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式在乘积项中出现，且仅仅出现一次。量的形式在乘积项中出现，且仅仅出现一次。) ( A ,B FY ( ( 2 变量共有变量共有 4 个最小项个最小项) )BABABAAB) (A ,B ,C ,DF

35、Y ( ( 4 变量共有变量共有 16 个最小项个最小项) )( ( n 变量共有变量共有 2n 个最小项个最小项) )DCBADCBADABCABCDDCBA) ( A ,B ,CFY ( ( 3 变量共有变量共有 8 个最小项个最小项) )CBACBACBABCACBACBACABABC 2. 最小项的编号最小项的编号 当各最小项变量按一定顺序排好后，用当各最小项变量按一定顺序排好后，用 1 代替其中的代替其中的原原变量变量(原变量原变量1)， 0 代替其中的代替其中的反变量反变量(反变量反变量0)，便得一，便得一个二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，个二进制数，与之相应的十

36、进制数，就是该最小项的编号，用用 mi 表示。表示。 CBACBACBABCACBACBACABABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m7注意：变量的顺序。注意：变量的顺序。3. 最小项的性质最小项的性质00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B CCBACBACBABCACBACBACABABC(1) 任一最小项，只有一组对应变

37、量取值使其值为任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；1 CBA1 CBA对应规律：对应规律：1 原变量原变量 0 反变量反变量 A B C 0 0 1 A B C 1 0 1注意：不同的最小项，使其为注意：不同的最小项，使其为 1的取值不同的取值不同(2) 任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为 0，即：，即：mi mj = 0 (ij)；(3) 全体最小项之和为全体最小项之和为 1，记为，记为 m i 1 ；(4) 具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。0000000100000010000001000000100000

38、0100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B CCBACBACBABCACBACBACABABC二、二、逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 任何逻辑函数都可以表示成为任何逻辑函数都可以表示成为标准与或表达式标准与或表达式(最小项最小项之和的形式之和的形式)或或标准与或表达式标准与或表达式(最大项之积的形式最大项之积的形式)，并且，并且都是唯一的。都是唯一的。如何化为最小项之和的形式？如何化为最小项之和的形式？ 例例 将逻辑函数将逻辑函数 展开成最小展开成最小项之和的形式。项之和的形式

39、。CAABA ,B ,CFY ) ( BCA CBAABCCAB 6713mmmm1 , 3 , 6 , 7m()()YACCBBBAC 解解 或或m6m7m1m31 , 3 , 6 , 71.6 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法YABACBCABAC逻辑函数表达式是多样性的逻辑函数表达式是多样性的AB AC()()ABAC 化简的意义：将逻辑函数化成最简形式便于在用电路实化简的意义：将逻辑函数化成最简形式便于在用电路实现时节省器件。现时节省器件。 最简逻辑电路：门数最少；门的输入端最少；门的级数最简逻辑电路：门数最少；门的输入端最少；门的级数最少。最少。1.6.1 逻辑函数的最简表达

40、式及相互转换逻辑函数的最简表达式及相互转换一、常见的最简表达式一、常见的最简表达式1.最简与或式最简与或式 乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式。最少的与或表达式。2.最简与非最简与非- -与非式与非式 非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非非-与非表达式。与非表达式。3.最简或与式最简或与式 括号个数最少，每个括号中相加的变量个数也最少的括号个数最少，每个括号中相加的变量个数也最少的或与表达式。或与表达式。 最简最简或与式或与式最简最简与或非式与或非式二、二、最简表

41、达式间的相互转换最简表达式间的相互转换BCCAABY 最简最简与或式与或式CAAB 最简最简与非与非-与非式与非式最简最简或与非式或与非式CBCABA )()(CA BA )(CABA 核心核心核心核心核心核心1.6.2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法(代数化简法代数化简法)(与或式与或式最简与或式最简与或式)公式公式定理定理一、一、并项法并项法BACABABCY BAAB B CBACABCBAABCY )()(CBCBA C BBCA A )(CBACBA 例例 例例 ABAAB 利用公式利用公式 ，两项，两项合并合并为一项，且为一项，且消去一个变量消去一个变量。二、二、吸收法吸

42、收法EBDAABY EBDABA BA BCDC BA BCAAY )( )()()(DC BA BCABCA BCA 例例 例例 例例 CDBCDAABY CDBAAB )( CDABAB AB BA 利用公式利用公式 A+AB=A ，消去，消去AB项。项。三、三、消项法消项法CAABBCCAAB 利用公式利用公式 消去多余项消去多余项 YABCABCABDABDABCDBCDE 例例 ()()()ABAB CABAB DBCD AE()() ()AB CAB DCD B AE()()AB CAB DAB ABCACB 或或BCCACACB BCCABA BA BCCACACBY 例例 冗余

43、项冗余项四、四、消因子法消因子法CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB ABCCBABABAY )()(BCBA CBB A )()(CBA CB A ACCABABA CBABA 例例 例例 BABAA 利用公式利用公式 ，消去因子。，消去因子。A五、五、配项法配项法利用利用 配项配项AAAYABCABCABC()()AB CCBC AAABCABCABCABCABBC利用配项利用配项1 AAYABABBCBCCBACBACBCBABCABA(1)(1)()ABCBCAAC BB()()CCABABBACBCAABBCAC 例例 例例 综合练习综合练习EACDECBEDCBBEA

44、ACEY DCBACDCBBAACE ) (DCBEADEBECE DCBEADCBE )(DCBEADCBE DCBEAE DCBE DCBADBCE ) (1.7 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法一、表示最小项的卡诺图一、表示最小项的卡诺图1.卡诺图卡诺图卡诺图：卡诺图： 将变量的取值组合按将变量的取值组合按循环码规则循环码规则进行排列所得的进行排列所得的最小项方格图最小项方格图（真值表的一种方块表示形式真值表的一种方块表示形式）。）。循环码：循环码： 相邻变量组合之间只有一个变量值不同的编码。相邻变量组合之间只有一个变量值不同的编码。二二变量的循环码：变量的循环码： 00 0

45、1 11 1000 01 11 10三三变量的循环码：变量的循环码： 000 001 011 010 110 111 101 100000 001 011 010 110 111 101 1001.7.1 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法2.卡诺图的画法卡诺图的画法(1)二变量的卡诺图：二变量的卡诺图：四个最小项四个最小项ABAABBBABABAAB0mAB01011m2m3m(2)三变量的卡诺图：三变量的卡诺图：八个最小项八个最小项ABC010001 11 10m0m1m2m3m4m5m6m7ABC0001111001m0m1m2m3m4m5m6m7或或AB0101(3)四变量的

46、卡诺图：四变量的卡诺图：十六个最小项十六个最小项ABCD0001111000 01 11 10m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11(4)五变量的卡诺图：五变量的卡诺图：三十二个最小项三十二个最小项ABCDE00011110m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21000 001 011 010 110 111 101 100以此轴为对称轴（对折后位置重合）以此轴为对称轴（对折后位置重合）ABCDE00011110000 001

47、 011 010 110 111 101 100以此轴为对称轴（对折后位置重合）以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m213.卡诺图的特点：卡诺图的特点： 用几何相邻表示逻辑相邻用几何相邻表示逻辑相邻(1)几何相邻：几何相邻：相接相接 - 紧挨着紧挨着相对相对 - 行或列的两头行或列的两头相重相重 - 对折起来位置重合对折起来位置重合(2)逻辑相邻：逻辑相邻： 两个最小项只有一个变量不同两个最小项只有一个变量不同几何相邻几何相邻几几何

48、何相相邻邻ABCCBACBACBACBAF逻辑相邻逻辑相邻CBCBACBA 逻辑相邻的项可以合并，逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子消去一个因子卡诺图化简的基本原理：卡诺图化简的基本原理：具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。卡诺图的缺点：卡诺图的缺点： 函数的变量个数不宜超过函数的变量个数不宜超过 6 个。个。二、用卡诺图表示逻辑函数二、用卡诺图表示逻辑函数2. 根据变量个数画出相应的卡诺图；根据变量个数画出相应的卡诺图；1. 将函数化为最小项之和的形式；将函数化为最小项之和的形式； 3. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入在卡诺图上

49、与这些最小项对应的位置上填入 1 ，其余，其余位置填位置填 0 或不填。或不填。 例例 ) (C B , A ,FY ACBCAB CBABCACABABC ABC010001 11 1011110000一、卡诺图中最小项合并规律一、卡诺图中最小项合并规律(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC010001 11 101111CBCBACBA BACBACBA ABCD0001111000 01 11 101111DCBDCBADCBA DBADCBADCBA 1.7.2 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数(2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因

50、子四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD0001111000 01 11 101111DC 1111CB ABCD0001111000 01 11 101111BD1111DB 81240mmmm DCBADCABDCBADCBA DC 111023mmmm DCBADCBADCBADCBA CB 151375mmmm DCBADCBADCBADCBA BD 10820mmmm DCBADCBADCBADCBA DB (3) 八个相邻最小项合并可以消去三个因子八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD0001111000 01 11 101111C 1111B ABCD0001111000

51、 01 11 101111B1111D11111111ABCD0001 11 1000010000010 0011 10 00100 001110不是矩形不是矩形 如果有如果有2n 个最小项相邻个最小项相邻(n= 1、2、3.)并排列成一个并排列成一个矩形组，则它们可以合并为一项，并可以消去矩形组，则它们可以合并为一项，并可以消去 n 个因子。个因子。总结：总结：二、卡诺图化简法二、卡诺图化简法( (图形法图形法) )(1)画函数的卡诺图画函数的卡诺图(表达式表达式卡诺图卡诺图) )；(2)合并最小项合并最小项( (画包围圈画包围圈) )；(1)先包孤立的先包孤立的1格格(卡诺图中填卡诺图中填

52、1的方格称为的方格称为1格格，填，填0的方格的方格称为称为0格格)；(2)再包围只有再包围只有-种圈法的种圈法的1格；格；(3)余下的有几种圈法的余下的有几种圈法的1格选择一种圈法；格选择一种圈法；(可能有几种答案，但乘积项的个数唯一，每项的变量数唯一可能有几种答案，但乘积项的个数唯一，每项的变量数唯一)(3)写出最简与或表达式。写出最简与或表达式。1.步骤步骤2.合并最小项合并最小项(画包围圈画包围圈) )的方法的方法合并最小项合并最小项(画包围圈画包围圈)时，应注意：时，应注意：(1) 每个包围圈应包围每个包围圈应包围2n个个1格格(n=0 、 1、2、3.)； (2) 圈越大越好，但圈的

53、个数越少越好；圈越大越好，但圈的个数越少越好； (3) 1格可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的格可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的1格；格；(4) 所有的所有的1格都应被圈住。格都应被圈住。ABCD0001111000 01 11 1011111111不正确的画圈不正确的画圈ABCD0001111000 01 11 1011111111正确的画圈正确的画圈 解解 (1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111111(2) 合并最小项：画包围圈合并最小项：画包围圈(3) 写出最简与或表达式写出最简与或表达式YABCDABDABDCDBC 例例1 利

54、用卡诺图法化简函数利用卡诺图法化简函数: : Y=F(A,B,C,D)= m(0,2, 5,6,7,9,10,14,15)a.先包孤立的先包孤立的1格格b.再包只有一种圈法的再包只有一种圈法的1格格95-70-210-2-6-14 15-6-7-1411 解解 (1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 1011111111(2) 合并最小项：画包围圈合并最小项：画包围圈(3) 写出最简与或表达式写出最简与或表达式多余多余的圈的圈DBAABDDCADCAY 例例2 利用卡诺图法化简函数利用卡诺图法化简函数: : Y=F(A,B,C,D)= m(1,4,5,6,

55、8,12,13,15)a.先包孤立的先包孤立的1格格b.再包只有一种圈法的再包只有一种圈法的1格格无无4-6注意：不要一开始就把包含最小项注意：不要一开始就把包含最小项(1格格)最多最多的主要项圈出来，应该从小到逐步扩大。的主要项圈出来，应该从小到逐步扩大。1-58-12 13-154-5-12-13ABCD0001111000 01 11 10111111YABCACDADABC 例例3 利用卡诺图法化简函数利用卡诺图法化简函数: : Y=F(A,B,C,D)= m(1,2,3,5,7,8,12,13)11YABCACDADBCD 例例4 化简化简 Y=F(A,B,C,D)= m(0,2,3

56、,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001 11 1000011011010 0111 11 11111 111110YACDBCBDBCD利用卡诺图可以求反函数的最简与或表达式。利用卡诺图可以求反函数的最简与或表达式。 合并函数值为合并函数值为 0 的最小项，可得到的最小项，可得到Y 的反函数的最的反函数的最简与或表达式。简与或表达式。方法：方法： 例例 已知已知Y=AB+BC+AC，用卡诺图法求其反函数的最简与，用卡诺图法求其反函数的最简与或表达式。或表达式。ABC010001 11 1011110000CACBBAY 1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简一、无关项一、无关项(1) 约束：约束：输入变量取值所受的限制输入变量取值所受的限制例如