集合与简易逻辑、函数

1、集合与简易逻辑、函数主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略1、集合与简易逻辑在中学数学教材中并不是新增内容，在过去的教材中散见于各章知识。而在新教材中将其整合到一起，单独列为一章，置于高中数学教材之首，足见其在数学中的基础地位，是进一步学习近现代数学的必要基础知识。其内容为集合的概念及其运算、逻辑联结词、四种命题及其相互关系、充要条件。本单元内容还初步体现了中学数学中的数形结合、分类讨论、函数与方程、化归的数学思想。由于其在数学中的基础地位，在复习中不宜深入展开，只要灵活掌握知识点的小型综合即可。2、函数概念的复习当然应该从函数的定义开始函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下

2、的定义复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用具体要求是：(1)深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系(2)系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用(3)通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函

3、数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础复习的重点是求得对这些

4、问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题二、典例剖析考点一：集合的概念与运算例1、集合，集合，则等于（）A BCD解析：集合中的元素是，它表示函数的值域，从而，集合中的元素是，它表示函数的定义域，从而易得=，因此，正确答案选C点评：同学们在求解此题时，常常误认为是求两条曲线的交点，而导致解题产生差错搞清楚集合中元素的特征，运用元素分析法，就可以有效地避免这样的解题错误例2、已知集合(1)若，求m的取值范围(2)若点的坐标为且集合、所表示的两个平面区域的边界交于点、N，求QMN的面积的最大值解析：(1)如图(a)，当射线与圆相切时，由，得m=2或m=6(舍去)当射线与圆相切时，由得m=6或m=2

5、(舍去)故所求m的取值范围是(2，6)(2)显然点Q在圆的直径上，如图(b)所示，由对称性和圆幂定理可得设，则，于是(当且仅当时取等号，故QMN的面积的最大值为4).点评：本题是一个综合性题目考查到了数形结合，转化与化归的思想方法；在这里，集合是一种工具，解题中善于把集合语言向函数语言转化，进而得出解题的思路与方向考点二：简易逻辑与四种命题例3、已知条件和条件，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为构造命题：“若则”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题解析：已知条件：，或，已知条件：，或；令，则即，或，此

6、时必有成立，反之不然故可以选取的一个实数是，设，则对应的命题“若则”是一个真命题，而其逆命题“若则”是一个假命题注意：所找到的实数只需满足，且即可(请同学们思考这是为什么？)点评：由于本题答案不唯一，使得求解的方法没有固定模式，考生既能在一般性的指导中找出一个满足条件的a，也能先猜后证例4、已知函数(1)若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求出和的解析式；(2)若，求的值；(3)命题：函数在区间上是增函数命题：函数是减函数；如果命题有且仅有一个是真命题，求a的取值范围解：(1)(2)，故(3)，若真，则或即或(且)若真，则(且)而命题有且仅有一个是真命题，则真假时，；假真时故所求a的取值范围

7、是 考点三：函数的性质例5、定义在(1，1)上的函数满足：对任意，都有：，且当时，(1)求证：是奇函数；(2)判断在(1，1)上的单调性，并加以证明；(3)设，试求不等式的解集解：(1)证明：又，故是奇函数(2)设且，且而故故在（1，0上递减又是奇函数，在0，1)上也递减故在(1，1)上递减(3)解：例6、设是定义在1，1上的偶函数，与的图象关于直线x=1对称，当时，为常数)(1)求的表达式；(2)当时，求在0，1上取最大值时，对应的值；(3)当时，是否存在，使图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解析：(1)设是图象上任一点，则是图象上的一点，当时，又是偶函数，

8、时，(2)当时，由，得(负值已舍)，当时，为增函数；当时，为减函数当时，取最大值(3)当时，在0，1上为增函数又为偶函数，当x=±1时，取最大值，由题意知：，存在实数，使的最高点落在直线上点评：由函数性质求函数解析式的题目多以解答题的形式出现，是高考考查的重点，求函数最值的方法较多，解题时要注意灵活多变，有选择地使用较为简便的方法，使解题快捷准确，解答此题时，要注意以下几个问题：(1)由函数的奇偶性及对称性，可较快求出函数表达式，应注意定义域的变化，准确求出定义域是解答以下各题的关键；(2)求函数最值的方法很多，如：配方法、数形结合法、判别式法、求导法、换元法、分离参数法、单调性法、

9、有界性法、反函数法、基本不等式法等，此题便是利用导数法求最值的典型求导时，应注意求导法则的应用(3)分类讨论在解决此题中起了重要作用，分类时要注意：不重不漏；标准要统一，层次要分明；不要盲目分类，能不分类的可整体解决考点四：函数的图象例7、设定义域为R的函数若关于的方程有3个不同的实数解，则（）A4BC9D答案：C解析：如图，作出函数的图象，可知关于的方程有一正根和零根，不妨设由图象的对称性可知，又，例8、已知二次函数的图象以原点为顶点且过点(1，1)，反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为8(1)求函数的表达式；(2)证明：当时，关于x的方程有三个实数解解析：(1)由已知，易得(2)证明：

10、由得即在同一坐标系内作出和的大致图象，其中的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，的图象是以为顶点，开口向下的抛物线因此，有一个负数解又当时，所以当时，在第一象限的图象上存在一点在图象的上方与的图象在第一象限有两个交点，即的两个正数解，因此，方程有三个实数解点评：本题运用了待定系数法、数形结合法、函数思想、构建思想等思想方法，综合考查了学生的数学素养考点五：抽象函数例9、定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，求的值解析：由于为任意实数，可以取一些特殊值，按照题目中的条件的变化规律，反反复复进行下去由这个“桥梁”，得，共进行670次，将上述同向不等式相加可得，即由得共进行100

11、5次，将上述同向不等式相加可得，即从而点评：如果函数不易具体化或简约化，但可以根据题设中“桥梁”，使自变量取一些特殊值，使数值特殊化，反复进行，从而达到目标到底取何特殊值，要经过多种尝试、探索，充分发挥学生的直觉、探索、逆向思维等方面的能力，有利于培养学生从一般到特殊解决问题的能力例10、( 2006年重庆高考题)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)x2x)=f(x)x2x(1)若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)= x0，求函数f(x)的解析表达式解：(1)因为对任意xR，有f(f(x)x2x)=f(x)x2x，所以f

12、(f(2)222)=f(2)222又由f(2)=3，得f(3222)=3222，即f(1)=1若f(0)=a，则f(a020)=a020，即f(a)=a(2)因为对任意，有f(f(x)x2x)=f(x)x2x又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)= x0。所以对任意，有f(x)x2x= x0。在上式中令x= x0，有f(x0)xx0=x0。又因为f(x0)= x0，所以x0x=0，故x0=0或x0=1若x0=0，则f(x)x2x=0，即f(x)= x2x但方程x2x=x有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x00若x0=1，则有f(x)x2x=1，即f(x)= x2x1易验证该函数满足题设条件综上，所求函数为f(x)= x2x1(xR)考点六：函数的应用例11、沿海地区某农村在2007年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万，从2008年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2008年起的第x年(2008年为第一年)该村人均产值为y万元.(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？分析：本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学知识解决实际问题的能力。(1)解：依题意得第x年该